P S 22/4/2010 C P

(1)

C

ALCOLO DELLE

P

ROBABILITÀ

S

OLUZIONI DELLA PROVA SCRITTA DEL

22/4/2010

P

RIMA PARTE

Esercizio 1

La diagnosi di un tumore è effettuata mediante un esame radiologico che risulta positivo nel 90%

dei soggetti malati e nel 7% dei soggetti non malati. Scelto a caso un soggetto, si considerino gli eventi M = {soggetto malato} e R = {soggetto positivo all’esame radiologico}.

(1.1) Si stabilisca se M e R sono incompatibili e/o indipendenti, motivando le risposte.

Sapendo, inoltre, che nella popolazione considerata 8 soggetti su mille sono malati, si calcolino e si interpretino le seguenti probabilità:

(1.2) P( M | R ) e P(M |R ).

Sia X il numero di malati presenti in un campione di numerosità 500 estratto con reinserimento dalla popolazione.

(1.3) Si specifichi la distribuzione della v.c. X e se ne determini la varianza.

(1.4) Si calcoli P(X > 1) mediante un’opportuna approssimazione di Poisson per X e si enunci la proprietà che giustifica tale approssimazione.

(1.5) Si enunci e si dimostri il teorema di Bayes nel caso in cui si abbiano n possibili cause C₁,…,C_n di un effetto E.

Soluzione

Definiti gli eventi M = {soggetto malato} e R = {soggetto positivo all’esame radiologico}, si ha P( R | M ) = 0.9 e P( R |M ) = 0.07.

(1.1) M e R non sono incompatibili [se lo fossero, P(R | M) = 0] e non sono indipendenti [se lo fossero, P( R | M ) = P( R |M )].

Inoltre, se P( M ) = 0.008, allora, per la Legge delle alternative,

P( R ) = P( R | M )P( M ) + P( R |M )P(M ) = (0.9)(0.008) + (0.07)(1-0.008) = 0.0072 + 0.06944

= 0.07664;

(1.2) P( M | R ) = P( R | M )P( M ) / P( R ) = (0.9)(0.008) / 0.07664 = 0.0072 / 0.07664 =

= 0.093946.

La probabilità che un soggetto sia effettivamente malato sapendo che l’esame radiologico è risultato positivo è circa del 9.39%.

P(M |R ) = P(R |M )P(M ) / P(R ) = (1-0.07)(1-0.008) / (1-0.07664) =

= 0.92256 / 0.92336 = 0.99913.

(2)

(1.5) Enunciato. In un qualsiasi spazio probabilistico, se E è un evento con probabilità non nulla e

{ }

Cn è una famiglia finita e disgiunta di eventi con probabilità non nulla tali che

U

n

Cn

E⊆ , allora m∀

( ) ( ) ( )

( ) ( )

=

∑

n

n n

m m

m P E C PC

C P C E E P

C

P |

| | .

Dimostrazione. Dalle seguenti:

definizione di probabilità condizionata

( ) ( ) ( )

^B

P B A B P

A

P | = ∩ ,

formula della probabilità composta ^P

(

^A∩^B

) (

=^P ^A^|^B

) ( )

^P ^B ^,

legge delle alternative

( )

⁼

∑ ( ) ( )

i

i i P B B A P A

P | ,

deriva che

∀m

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

=

∑

∩ =

=

n

n n

m m m

m m

m P E C P C

C P C E P E

P C P C E P E

P E C E P

C

P |

|

| | .

(3)

S

ECONDA PARTE

Esercizio 2

Il 34% dei cittadini residenti in un comune è favorevole ad un progetto proposto dal Sindaco, il 45%

è contrario e il restante 21% è indifferente. Sia X il numero dei cittadini contrari al progetto in un campione di numerosità 200 estratto con reinserimento.

(2.1) Si stabilisca se sono soddisfatte le ipotesi del Teorema Centrale del Limite e si fornisca un’opportuna approssimazione Normale per X.

(2.2) Sulla base dell’approssimazione Normale fornita, si calcolino la probabilità che la maggioranza del campione sia contraria al progetto e P(15 ≤ X ≤ 95).

(2.3) Si determini il quantile di ordine 0.7 dell’approssimazione Normale fornita per X e si spieghi il significato di tale quantile.

Sia Y il numero dei cittadini indifferenti al progetto presenti nel campione.

(2.4) Si specifichi la distribuzione della v.c. bidimensionale (X,Y) con particolare riferimento al valore dei parametri che la caratterizzano e si calcoli P(X = 1 , Y = 1).

(2.5) Si stabilisca se le v.c. X e Y sono indipendenti, motivando la risposta.

Soluzione

(2.1) Essendo X ~ Binomiale(n,p) con n = 200 e p = 0.45 vale X = ΣiYi dove Yi ~ Bernoulli(p) per i = 1, …, n . Visto che X può essere considerata come somma di n v.c.

di Bernoulli i.i.d. le ipotesi del TCL sono soddisfatte.

Allora: X ≈ N(µ,σ²) con µ = np = 90 e σ² = np(1−p) = 49.5.

(2.2) P(X ≥ 101)= P[(X−µ)/ σ ≥ (101−µ)/ σ] ≅ P(Z ≥ 1.56347) = 1 − Φ(1.56347) = 1 − 0.94103 =

= 0.05897;

P(15 ≤ X ≤ 95) = P[(15−µ)/ σ ≤ (X−µ)/ σ ≤ (95−µ)/ σ)] ≅ P(-10.66 ≤ Z ≤ 0.71067) =

= 0.76136 − 0 = 0.76136.

(2.3) Da 0.7 = P(X ≤ x) ≅ P[Z ≤ (x−90) / 7.0356] si ottiene 0.5244 = z0.7 ≅ (x−90) / 7.0356 ovvero x ≅ 93.6895 .

Il quantile è così interpretabile: estraendo con reinserimento un campione di cittadini di numerosità 200, in 70 casi su 100 si ottiene un valore di X ≤ 93.6895.

(2.4) (X,Y) ~ Trinomiale(n,p,q) con n = 200, p = 0.45 e q = 0.21;

( )

¹ ¹ ¹¹ ⁰^.⁴⁵¹⁰^.²¹¹⁰^.³⁴¹⁹⁸

! 198

! 1

! ) 200

1 )! ( 1 1 (

! 1

! 1 1 ! ,

1 − − =

−

= −

=

= p q p q ⁿ⁻⁻

n Y n

X

P ≅ 0.

(2.5) Le v.c. X e Y non sono indipendenti poiché le marginali di una v. c. Trinomiale sono correlate negativamente. Se fossero indipendenti le probabilità di X e Y coinciderebbero sempre con le probabilità delle condizionate, quindi per dimostrare che non lo sono è sufficiente osservare che P

(

X >¹⁰⁰

) (

>P X >¹⁰⁰^|Y >¹⁰⁰

)

=⁰.

(4)

Esercizio 3

(3.1) Si verifichi che la funzione

( )

4

, 3 y y e x

−x

ϕ = (x > 0 e y > 1) rappresenta la funzione di densità di una v.c. bidimensionale (X,Y).

(3.2) Si determinino le funzioni di densità delle v.c. marginali.

(3.3) Si stabilisca se X e Y sono indipendenti e/o identicamente distribuite, motivando le risposte.

Siano X₁ e X₂ v.c. indipendenti e distribuite come X e sia S = X₁ + X₂. (3.4) Si determini la distribuzione di S / 2, motivando la risposta.

Siano Y1,…,Yn v.c. indipendenti e distribuite come Y e sia Tn = Y1 + … + Yn.

(3.5) Si determini il limite a cui T_n / n converge in probabilità, motivando la risposta.

Soluzione

(3.1) Deve valere ϕ(x,y) > 0 e ∫∫ ϕ(x,y) dxdy = 1 . La prima proprietà è soddisfatta perché il rapporto tra un esponenziale per una costante positiva e una potenza pari è una funzione sempre positiva. Anche la seconda proprietà è verificata:

[ ]

^e ^dy

dy y dx y e

y dxdy

e x x

x

∫ ∫ ∫

∫ ∫

^+∞ ^+∞ ⁻ ^+∞ ⁻ ⁺^∞

+∞+∞ −

−

 =











= 

1 4 0

1 0

4 1 0

4

3 3

3 ³

(

⁰ ¹

)

³ ⁰ ¹ ¹

1 3 1

4  = + =



 



−

= +

=

+∞ +∞

∫

_y ^dy _y

.

(3.2) Le funzioni di densità delle v.c. marginali sono:

ϕ(x) = ^x ^x ^x e ^x e ^x

e y y dy e y dy

e ₋ ^+∞ ₋ ^+∞ ₋ ₋

+∞ −

= +

 =



 



−

=

∫

³ ³ ³ ⁽⁰ ¹⁾

1 3 1

4 1

4 (x > 0)

ψ(y) = 4

[ ]

0 4 ⁴

0 4 0

4 3 3 3 (0 1) 3

3 +∞ − +∞ ₋

+∞ − −

= +

=

−

=

∫

^y

e y dx y

y e y dx

e x x

x

(y > 1).

(3.3) X e Y sono indipendenti [ la funzione di densità di Y non dipende da X e viceversa], ma non sono identicamente distribuite [visto che supporti e funzioni di densità sono differenti].

Siano X1 e X2 v.c. indipendenti e distribuite come X e sia S = X1 + X2.

(3.4) X ~ Gamma(1,1) e, per la proprietà riproduttiva della Gamma, S ~ Gamma(2,1) . Una Gamma(α,β) moltiplicata per una costante positiva θ si distribuisce come una Gamma(α,β/ θ) , dunque S / 2 ha distribuzione Gamma(2,2) .

Siano Y₁,…,Y_n v.c. indipendenti e distribuite come Y e sia T_n = Y₁ + … + Y_n. (3.5) Per la Legge dei grandi numeri, Tn / n converge in probabilità a

( )

2

) 3 1 0 2( 3 1

2 3 3 1

) (

1 2 1

3  =− + =



 



− 

=

+∞ +∞

+∞

∞

−

∫ ∫

dx y dy y

y y Y

E ψ ^.

(5)

Quesito

Si enunci e si dimostri la proprietà riproduttiva della v.c. di Poisson.

Soluzione Enunciato.

Se X1,…, Xm sono v.c. indipendenti con distribuzioni di Poisson con parametri λi (i = 1,…,m), allora la v.c.

∑

=

= ^m

1 i

Xi

S ha distribuzione di Poisson con parametro

∑

=

= ^m

i i 1

λ

λ ^.

Dimostrazione.

) t (

G_S

( ) _∏ ( )

=

∑ =









= 

= ⁼ ^m

1 i X tX

tS t _i

m 1

i i

e E e

E e

E per l’indipendenza di X1, …, Xm

( ) ^λ( ) ( )^λ

λ 1

1

1 ₁ − −

=

− ∑ =

=

∏

⁼ ^t

m i

t t i

i e

m e

i

e e e

e con

∑

=

= ^m

i i 1

λ

λ ^,

che rappresenta la f.g.m. di una v.c. di Poisson con parametro

∑

=

= ^m

i i 1

λ

λ , cioè S ~ Poisson(λ^{) .}

P S 22/4/2010 C P

C

P

S

22/4/2010

P

{ }

U

( ) ( ) ( )

( ) ( )

∑

( ) ( ) ( )

(

) (

) ( )

( )

∑ ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

∑

S

( )

(

) (

)

( )

[ ]

∫ ∫ ∫

∫ ∫

(

)

∫

∫

∫

[ ]

∫

∫

( )

∫ ∫

∑

∑

( ) ∏ ( )

∏

∑

∑

( ) _∏ ( )