Moto in una dimensione

Cinematica

[studio del moto indipendentemente dalla causa]

Moto in una dimensione

ƒ moto esclusivamente rettilineo

ƒ si trascurano le forze

ƒ oggetto in moto assimilabile ad una particella

[tutte le parti si muovono solidali nella stessa direzione]

i r 0

grafico posizione –tempo: ^{x = x (t )}

∆x x

_i

∆t

x

_f

t

_i

t

_f

O

P

Q

spostamento intervallo di tempo

i x x

x r = (

_f

−

_i

) r

∆

i

f

t

t t = −

∆

velocità media:

pendenza della retta PQ non dipende dal percorso [v] = [L]/[T] ⇒ m/s

( )

i f

i f

x def

t t

x x

t v x

−

= −

∆

= ∆

esempio: moto di un’auto

x(m) x(m)

t(s) x(m) A 0 30 B 10 52 C 20 38 D 30 0 E 40 -37 F 50 -53

s m

s m t

v x

/ 7 . 1

) 0 50 (

) 30 53 (

−

=

−

−

= −

∆

= ∆

x(m)

t(s)

grafico

posizione -tempo

s s m

m t

v_AB x 2.2 /

) 0 10 (

) 30 52

( =

−

= −

∆

= ∆

N.B. velocità media fra A e B:

pendenza della retta tra i punti A e B

v (m/s)

t(s)

∆t

_n grafico velocità -tempo

∑

∑

∑

∑

∆

=

∆

=

∆

∆

=

∆

=

∆

→

∆

→

∆ n

n t n

n t n

n

n n n

n

t v x

x

t v x

x

n

n 0 lim0

lim

N.B. spostamento totale ∆x:

area sotto la curva

[interpretazione geometrica]

esercizi velocità media

Quanto velocemente mi muovo in un dato istante di tempo ?

esempi:

auto che si muove in città:

pedone che cammina per strada:

la velocità istantanea è diversa

[ad esempio: semafori, strisce pedonali, ingorghi …]

s s m

m h

v km 8.3 /

60 60 30 10 30

3 =

= ×

=

s m v = 2 /

x

_i

O t P

∆t

₂

∆t

₃

∆t

₁

Q” Q’

Q dt

dx t

v x

t

x def

=

∆

= ∆

→

∆

lim

0

velocità istantanea:

pendenza della retta tangente in P dipende dal punto nel percorso

N.B. v_x può essere positiva, negativa o nulla

quando la velocità varia nel tempo si dice che il corpo è accelerato

esempi:

velocità auto aumenta quando riparto da un semaforo diminuisce durante una frenata

accelerazione media:

variazione della velocità in ∆t [a] = [v]/[t]

= [L/T]/[T]= [L/T

²

] ⇒ m/s

²

t v t

t

v

a v

^x

i f

x x

x def

i f

∆

= ∆

−

= ( − )

2 2

lim

0

dt x d dt

dx dt

d

dt dv t

a v

^{x x}

t x def

 =



 



= 

∆ =

= ∆

→

∆

accelerazione istantanea:

derivata prima della velocità

derivata seconda dello spostamento

⇒ accelerazione istantanea = pendenza grafico velocità tempo

N.B. spostamento infinitesimo è segmentino di traiettoria

velocità istantanea è sempre tangente alla traiettoria

accelerazione può avere un orientamento qualsiasi rispetto alla traiettoria

v_x

a_x

t

t

accelerazione istantanea:

pendenza della tangente alla curva velocità-tempo

[ad ogni istante]

a_x>0

a_x=0

a_x<0

derivazione a istantanea

a partire da v(t) esempi

N.B. il corpo umano reagisce alle accelerazioni (accelerometro) non alle velocità (non è un tachimetro) esempio: macchina 90 km/h

aereo 900 km/h non sento la velocità costante

ma le accelerazioni e decelerazioni

sulle montagne russe del Luna Park sento i veloci cambiamenti di velocità

Caso particolare: accelerazione costante

t v v t

t

v a v

a ^{x x}

i f

x x

x x

i

f ) 0

( = −

−

= −

=

t_i = 0, t_f = t v_xf = v_x, v_xi = v_x0

accelerazione media coincide con accelerazione istantanea

t a v

v

_x

=

_x0

+

_x

2

0 x

x x

v

v v +

=

^{(per ax costante)}

v t t v

v

x _x ^{x x} )

( ⁰2+

=

∆

=

∆

t v v

x

x ( _{x x})

2 1

0

0 = +

− (per a_x costante)

t t a v

v x

x ( _{x x x} )

2 1

0 0

0 = + +

−

2 0

0 2

1 a t t

v x

x− = _x + _x (per a_x costante) t v

v t

v v t

v

x = _x ∆ + _x − _x ∆ = _x + _x ∆

∆ ( )

2 ) 1

2( 1

0 0

0

∆ t v

x

espressione che non contiene il tempo:

x x x x

x x x

x a

v x v

a v v v

v x

x 2

) (

) )(

2(

1 ^{2 2}₀

0 0

0 0

+ −

− = +

+

=

v

_x²

= v

₀²_x

+ 2 a

_x

( x − x

₀

)

le equazioni precedenti valgono solo per a

_x costante

!!!

moto UNIFORMEMENTE accelerato

Equazioni

moto con accelerazione costante

a

_x

, v

_x0

, x

₀

valori noti iniziali

t a v

v

_x

=

_x0

+

_x

t v v

x

x (

_{x x}

)

2 1

0

0

= +

−

2 0

0

2

1 a t t

v x

x − =

_x

+

_x

) (

2

₀

2 0

2

v a x x

v

_x

=

_x

+

_x

−

1.

2.

3.

4.

velocità in funzione del tempo

posizione in funzione di tempo e velocità

posizione in funzione di tempo

velocità in funzione di posizione

esercizi accelerazione costante

Corpi in caduta libera

Galileo: in assenza di attrito (aria) tutti i corpi

cadono con la stessa accelerazione , indipendentemente dalla forma e dalla massa

j g a r − = r

y

O

accelerazione di gravità g = 9.8 m/s

²

1971- filmato fatto dagli astronauti sulla Luna:

http://www.history.nasa.gov/alsj/a15/a15v.1672206.mov - Alt – Invio -

valgono le equazioni cinematiche precedenti con

x → y e a

_y

→ -g

a v

Corpi in caduta libera nel vuoto:

r

accelerazione costante

r

velocità aumenta linearmente nel tempo

esempio: caduta libera

Calcolare posizione, velocità ed accelerazione di un corpo di massa M in caduta libera dopo 1,2,3,4,5 secondi

g

9.8 m/s² 9.8 m/s² 9.8 m/s²

9.8 m/s²

9.8 m/s²

y 0

/

2

8 .

9 m s g

a = − = −

2 2

0

0

2

1 2

1 g t g t t

v y

y = + − = −

accelerazione spostamento

velocità v = v

₀

− gt = − gt

y g y

y g v

v

²

=

₀²

− 2 ( −

₀

) = − 2

vale per ogni corpo, indipendentemente dalla massa !!!

esercizi cinematica in una dimensione

Moto in due dimensioni

ƒ ^{moto in un} piano (esempio: proiettile, satellite …)

ƒ si trascurano le forze

ƒ oggetto in moto assimilabile ad una particella

[tutte le parti si muovono solidali nella stessa direzione]

traiettoria della particella

1

2 r

r r

j y i x rr r r

r r r

−

≡

∆

+

= vettore posizione vettore spostamento nell’intervallo ∆t

dalla composizione di vettori:

j y i

x

j y y i

x x

j y i x j

y i x r

r r

r r

r r

r r r

∆ +

∆

=

− +

−

=

+

− +

=

∆

) (

) (

) (

) (

1 2 1

2

1 1

2 2

N.B. il formalismo può essere facilmente esteso a 3 dimensioni:

k z j

y i

x r

k z j y i x

rr r r r

r r r r

∆ +

∆ +

∆

=

∆

+ +

=

Velocità media e istantanea

velocità media

(indipendente dal percorso)

per componenti:

t v r

def

∆

= ∆ r

t j i y t x

t j y i

v x

r r

r r

∆ + ∆

∆

= ∆

∆

∆ +

= ∆

P ∆r Q’ Q ^v

_{def t}

^r _t ^d _dt ^r r

r r =

∆

= ∆

→

∆

lim

0

velocità istantanea

ƒdirezione tangente

alla traiettoria

ƒ

verso del moto

per componenti:

dt j i dy dt dx

j y i dt x v d

r r

r r r

+

=

= +

= ( )

dt v dy dt

v_x = dx, _y =

Accelerazione media e istantanea

t v t

v a v

^{f i}

def

∆

= ∆

∆

= r − r r

ha stessa direzione di ∆v

a

accelerazione media

dt v d t

a v

t def

r r =

∆

= ∆

→

∆

lim

0

accelerazione istantanea

a≠0 ^{se v} cambia intensità o direzione per componenti:

dt j i dv dt dv

j v i dt v a d

x y

y x

r r

r r r

+

=

= +

= ( )

dt a dv

dt

a_x = dv^x , _y = ^y

Moto in Due dimensioni con accelerazione costante

si generalizzano le leggi del moto

in una dimensione con accelerazione costante

costante j

a i

a a

j y i

x r

y

x

+ =

=

+

= r r

r

r r r





=

=

costante a

costante a

y

⇒

x

applico le equazioni della cinematica separatamente per le componenti x ed y del vettore velocità

4

t a v

j v i v t v

a v

v v

t a v

v v

i yf

xf f

y yi

yf y

x xi

xf

x

r = r + r = r + r



 

 +

=

=

+

=

= ⇒

analogamente per il vettore posizione

2 2

2

2 1 2

1 2 1

t a t

v r j y i x r

t a t

v y y

t a t

v x x

i i f

f f

y yi

i f

x xi

i

f r = r + r = r + r + r









+ +

=

+ +

=

⇒

4

moto in due dimensioni con accelerazione costante:

equivale

a due moti indipendenti nelle direzioni x ed y con accelerazioni costanti a

_x

ed a

_y

moto in x non influenza moto in y e viceversa

Applicazione: moto del proiettile

[qualunque oggetto lanciato in aria]

Ipotesi:

ƒ

accelerazione di gravità

g

costante

ƒ

resistenza dell’aria trascurabile

⇓

r moto orizzontale e verticale sono indipendenti

r la traiettoria è sempre una parabola [da dimostrare !!!]

0 0

0

0 0

0 0

sin cos

θ θ v

v

v v

j v i v v

y x

oy ox

=

=

+

= r r

velocità iniziale:r

g

accelerazione:

g a

a

j g j

a i a a

y x

y x

−

=

=

−

= +

= 0

r r

r r

applico le equazioni della cinematica monodimensionale:

moto orizzontale [rettilineo ed uniforme]:

t v

t v x x

v v

v

x x x

) cos (

cos

0 0

0 0

0 0

0

θ θ

= +

=

=

=

2 0

0 2

0 0

0 0

0

2 ) 1 sin 2 (

1 sin

gt t

v gt

t v y y

gt v

gt v

v

y y y

−

=

− +

=

−

=

−

=

θ θ

NON ho accelerazione in x ⇒ v costante moto verticale [caduta di un grave]:

verifica indipendenza dei moti

due palle da golf

palla

rossa: in caduta libera

palla gialla: lanciata orizzontalmente

raggiungono terra nello stesso tempo

⇒ moto verticale indipendente da moto orizzontale

palla lanciata verso l’alto da carrello in moto

con velocità costante v:

palla mantiene

velocità orizzontale iniziale

⇒

è sempre sopra carrello

⇒

atterra dentro il carrello

Esempi di indipendenza dei moti 1. pallina di gomma lasciata cadere

rimbalza ^e torna

^SEMPRE

in mano ^,

anche se la persona è in moto

con velocità costante !!!

persona e palla hanno stessa velocità orizzontale

vr

2. ragazzo punta con fionda amico appeso a distanza d : se l’amico si lascia andare appena la fionda parte

viene SEMPRE colpito ^!!!

ragazzo e fionda percorrono stessa distanza verticale

in tempo tempo t impiegato dalla fionda a percorrere distanza d

2

2 1 gt y = −

Esperienza in Laboratorio

3. la pallina colpisce SEMPRE la lattina !!!

8

cerbottana spara pallina mirando lattina

8

lattina è rilasciata quando sparo pallina

pallina e lattina sono soggette a

stessa accelerazione g

⇒ tutte e due coprono

uguale traiettoria verticale

[indipendente dalla massa]

traiettoria del proiettile:

t v

t v

x = _0x = ( ₀ cosθ₀)

2 0

0 2

0 2

) 1 sin 2 (

1 gt v t gt

t v

y = _y − = θ −

risolvo rispetto a t:

2 0 0

2 0

0 0 0

0 0

) cos (

2 1 sin cos

cos

θ θ θ

θ

v g x v

v x y

v t x

−

=

=

2 2

0 2 2

0

0 2 cos x a x b x

v x g

tg

y = − = −

θ θ

parabola

[completamente nota per v₀ e θ₀ noti]

y

O

x

v

₀

t r

½ gt

²

R h

2 0 0

2 0

0

2 1

2 1

t g t v

r

t g t

v r

r

r r

r

r r

r r

+ +

=

+ +

=

posizione del proiettile _^{ =} 0 ⁺ 0 ^{+ 2}_^

2 1 at t

v r

rr r r r

posizione iniziale

spostamento in assenza di accelerazione

j g g r − = r

spostamento dovuto ad accelerazione

Esempi di moto del proiettile

la traiettoria

dei corpi in volo

è di tipo parabolico

2 0 0

0 0

0 0

sin 2

1

sin sin 



 



− 

=

= g

g v g

v v h

y θ θ θ

g h v

2 sin² ₀

2

0 θ

=

altezza h massima raggiunta dal proiettile:

h = altezza massima raggiunta

R = gittata

[distanza orizzontale coperta]

2 0

0 2

0

0 0

0

2 ) 1 sin 2 (

1

0 sin

gt t

v gt

t v h y

gt v

gt v

v

y y y

−

=

−

=

=

=

−

=

−

=

θ

θ g

t₁ v⁰sinθ⁰

⇒

=

0 0

2

max 0 90

2 =

= per θ

g h v

gittata R del proiettile [distanza orizzontale coperta]:

g v

g v v

t v

t v x

t t per R

x

x

0 0

2 0 0

0 0 0

1 0 0

0

1

cos sin

2 sin

)2 cos (

2 ) cos (

2

θ θ

θ θ

θ

=

=

=

=

=

=

g

R v ⁰

2

0 sin2θ

=

0 0

2

max = 0 per θ = 45

g R v

y(m)

x(m)

v_i=50m/s

applicazione: gittata e quota massima

Un proiettile di massa m, viene sparato con velocità v = 25 m/s ad un angolo di 40° rispetto al suolo.

a) quale è la massima quota h raggiunta dal proiettile ? b) quale è la gittata R del cannone ?

c) quale sarebbe l’angolo che massimizza la gittata ?

[trascurare l’attrito]

h

R

a) quota h

g h v

2 sin² ₀

2

= 0 θ

s m m s

m 13.2

/ 8 . 9 2

) 40 ( sin ) / 25 (

2 0 2

2 =

= ×

b) gittata R

g R v₀²sin2 ₀

= θ

s m m s

m 62.8

/ 8 . 9

) 80 sin(

) / 25 (

2 0

2 =

=

c) gittata massima per θ

₀

=45

⁰

s m m

s m g

R v 63.8

/ 8 . 9

) / 25 ) (

2

sin( ²

45 0

2 0 max

0 0

=

=

=

θ =

θ

applicazione: lancio di gravi da aereo

[bomber, lancio di materiale di soccorso, …]

y_f= -1050m v_x0 = 115m/s

il proiettile è sempre sotto l’aereo!!!







− +

= +

=

2 0

0

2 1 gt t

v y y

t v x x

y i f

x i

f

moto orizzontale:

rettilineo ed uniforme

moto verticale:

uniformemente accelerato







−

=

−

⋅ +

=

−

⋅ +

=

2 2

2 1 2

0 1 0 1050

) / 115 ( 0

gt gt

t m

t s m x_f

⇒ _{N.B. v}

x

= v

_x0

= 115m/s v

_y

= v

_y0

-g t= -g t

v

_x ^{è costante}

v

_y ^aumenta al passare del tempo

m s

s m x

s t

s s m t m

f (115 / ) 14.6 1679

6 . 14

3 . / 214

8 . 9

1050

2 ₂

2 2

=

×

=

=

× =

=

esercizi cinematica in due dimensioni

Moto circolare uniforme

Ipotesi:

moto su una circonferenza con velocità costante in modulo

⇓

r ho accelerazione centripeta [v cambia di direzione]

r

periodo

di rivoluzione:

r

velocità angolare

:

in un periodo T:

r a_r v

= 2

v T = 2

π

r

s t rad

t

t /

1 2

1 2

∆

= ∆

−

=

θ

−

θ θ ω

⇒

⋅

=

⋅

=

= v

T

ω π

r

ω

π

θ

2 ²

t s

dt rad

d

θ θ ω

ω

= / ⇒ =

r

v = ω r

r

a v

²

2

= ω

=

0 0

3 . 2 57

1 = 360 ≅

=

= r θ rad π

s se

3600

2 2

2 = = = =

= rad

r r r

r s s

se π θ π π

radiante

r

s = θ

origine accelerazione centripeta

[interpretazione geometrica]

r a _r v

= 2

t v t

v a v

^{f i}

∆

= ∆

∆

= r − r r

accelerazione media:

r r ^∆θ

∆r

O

P v

_i

Q

v

_f

v

_i

v _∆θ

_f

∆v

triangoli simili:

v v r

rr ∆r

∆ =

r v t

r r v t

a v

t

2

→0

∆

→

∆

= ∆

∆

= ∆ r r

r

[infatti r è sempre ⊥ a v]

punta verso il centro della circonferenza

[N.B. [a]=[v]

²

/L=[L/T]

²

/L=L/T

²

]

origine accelerazione centripeta

r a _r v

= 2

x_p y_p

j y i x

r r =

_p

r +

_p

r

θ θ sin cos r y

r x

p p

=

=

r j v x r i

v y

j v

i v

j v i v v

p p

y x

r r

r r

r r r

) (

) (

) cos (

) sin (

+

−

=

+

−

=

+

=

θ θ

r j i v

r v

j r v

i v r v

v

dt j dx r i v dt dy r v dt

v a d

x y

p p

r r

r r

r r

r r

) sin (

) cos (

) ( ) (

) (

) (

2

2 θ + − θ

−

=

+

−

=

+

−

=

=

θ θ φ θ

θ θ

a tg tg a

r v r

a v a a

x y

y x

=

=

=

= +

= +

=

cos sin

sin cos

2 2

2 2

2 2

⇒ θ = φ ⇒ a è diretta come r !!

applicazione: g-LOC

[g-induced loss of consciousness]

aereo che compie il cerchio della morte:

il corpo del pilota subisce una accelerazione centripeta

con la testa rivolta verso il centro di curvatura

4cala la pressione sanguigna al cervello 4 perdita funzioni cerebrali

g a

g a

g g

a

c c c

4 4

3 2

>

=

−

=

_{→ pesantezza}

→ perdita percezione colori / si restringe il campo visivo

→ cessa la visione / perdita di conoscenza

esempio:

qual è l’accelerazione centripeta a cui è sottoposto un pilota di F-22 che vola a velocità di 694 m/s percorrendo un arco di cerchio di raggio di curvatura r = 5.8 km ?

sebbene la velocità scalare sia costante,

esiste accelerazione centripeta causata da traiettoria circolare.

g s

m m s m r

a_c v 83.0 / 8.5

) 10 8 . 5 (

) / 649

( ₂

3 2

2 = = =

=

il pilota cade incosciente prima di avvertire il segnale di allarme !!!

Traiettoria curva arbitraria

[velocità variabile in direzione e modulo]

traiettoria

a

_t

a

_r

a

approssimo la curva con archi di circonferenza:

a

_t

a

_r

a

t

r

a

a

a r = r + r dt

v a

_t

d

r = r

accelerazione tangenziale:

dovuta a

variazione del modulo della velocità accelerazione radiale [o centripeta]:

dovuta a

variazione della direzione della velocità

r a

_r

v

=

2

r

2 2

t

r

a

a a r = +

N.B. moto circolare uniforme [v costante]:

a

_t

= 0 sempre; ho solo a

_r

Ordini di grandezza velocità

luce nel vuoto ………. 300 000 km/s = 3 10⁸ m/s suono (in aria) ………... ………. 330 m/s

(in acqua) ………1493 m/s aereo (record NASA) ………...7 v_suono ≈ 2310 m/s aereo di linea ………... 800 km/h = 222 m/s auto in città ……… 30 km/h = 8.3 m/s a piedi ………... 2 m/s paracadutista ……….50 km/h = 65 m/s (caduta libera)

cavallo al galoppo ………..250 m/min = 4.2 m/s palla da baseball……… 40 m/s

accelerazione

gravità g_Terra………...9.8 m/s² gravità g_Luna………....1.7 m/s² a_c centripeta Terra (attorno asse) ………...3.37 10^-2 m/s² a_c centripeta Terra (attorno Sole) ………...4.4 10^-3 m/s²

treno………... 1.2 m/s²

auto……… 4 m/s²

(da 0 a 100 km/h in 7 sec)

palla da baseball 100 g………..≈10⁴ m/s²