Sbarra appoggiata su rulli
Figure 1:
Una sbarra di lunghezza l e massa m `e appoggiata su due rulli di raggio ρ i quali ruotano in direzioni con velocit`a angolare ω0 ma in versi opposti e convergenti, come indicato in figura. La distanza fra i rulli `e 2a < l e tra essi e la sbarra c’`e attrito descritto dai coefficienti µs e µd.
Determinare il moto orizzontale della sbarra, considerando la sua velocit`a trascurabile rispetto a ρω0 e verificare la possibilit`a di soluzioni oscillatorie.
Soluzione
Sia data un asse orizzontale x con origine nel punto centrale fra i due rulli e sia x il valore della coordinata del centro di massa della sbarra. I due rulli si trovano alle coordinate −a e +a.
Siano ~N1 = N1eˆy e ~F1d= µdN1ˆex rispettivamente la reazione normale e la forza di attrito dinamico del cilindro con x = −a. Per il secondo cilindro si ha ~N2 = N2eˆy e ~F2d = −µdN2eˆx. Possiamo, pertanto, scrivere la prima equazione cardinale per il centro di massa della sbarra:
m¨x = µdN1− µdN2
0 = N1+ N2− mg (1)
La terza equazione, necessaria date le tre incognite x, N1, N2 `e natural- mente la componente z del momento delle forze. Prendiamo come polo il centro di massa G della sbarra. Siccome la sbarra non ruota, il momento delle forze rispetto a G deve essere nullo:
0 = (a − x)N2− (a + x)N1 = a(N2− N1) − x(N1+ N2) (2) Ricavando (N1− N2) e (N1+ N2) dalla prima equazione cardinale, sia ha:
am¨x/µd+ mgx = 0
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da cui:
¨ x +µdg
a x = 0 (3)
Il moto `e quindi oscillatorio intorno all’origine con periodo T = 2π
r a µdg
Se invece i cilindri ruotano in senso divergente, si inverte il segno delle forze di attrito ed il sistema (1) diventa:
m¨x = −µdN1+ µdN2
0 = N1+ N2− mg (4)
Di conseguenza, l’equazione (3) diventa:
¨ x −µdg
a x = 0 (5)
e la soluzione non `e pi`u oscillatoria ma esponenziale. Cio`e la soluzione `e del tipo:
x(t) = Aeωt+ Be−ωt (6)
con A e B determinati dalle condizioni iniziali.
Si noti che se la sbarra parte da ferma con il centro di massa nell’origine, per la simmetria del sistema, essa rimane ferma in questa posizione che quindi risulta essere una posizione di equilibrio. Equilibrio stabile, per ro- tazione convergente, e instabile, per rotazione divergente.
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