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Esercizi su stimatori
1. Considerato un campione casuale semplice di tre elementi estratto con ripetizione, si determini valore atteso e varianza del seguente stimatore del parametro
𝑇 = 𝑋1 −1
4𝑋2+1 4𝑋3 si verifichi se lo stimatore è corretto e consistente Soluzione
𝐸(𝑇) = 𝐸(𝑋1) −1
4𝐸(𝑋2) +1
4𝐸(𝑋3) = 𝜇 −1
4𝜇 +1
4𝜇 = 𝜇 quindi lo stimatore è corretto
𝑉(𝑇) = 𝑉(𝑋1) + 1
16𝑉(𝑋2) + 1
16𝑉(𝑋3) = 𝜎2+ 1
16𝜎2+ 1
16𝜎2 = 18 16𝜎2
quindi lo stimatore non è consistente, dato che la sua varianza non tende a zero per una numerosità campionaria che tende a infinito
2. Considerato un campione casuale semplice di due elementi estratto con ripetizione, si determini se i seguenti stimatori del parametro sono corretti e si determini quello più efficiente
𝑇1 =2
3𝑋1 +1 3𝑋2 𝑇2 =1
2𝑋1+1 2𝑋2 Soluzione
𝐸(𝑇1) = 2
3𝐸(𝑋1) +1
3𝐸(𝑋2) = 2
3𝜇 +1
3𝜇 = 𝜇 𝐸(𝑇2) = 1
2𝐸(𝑋1) +1
2𝐸(𝑋2) = 1
2𝜇 +1
2𝜇 = 𝜇
Entrambi gli stimatori sono quindi corretti e il confronto sull’efficienza si baserà sul valore delle varianze dei due stimatori.
2
𝑉(𝑇1) = 4
9𝑉(𝑋1) +1
9𝑉(𝑋2) = 4
9𝜎2+1
9𝜎2 = 5
9𝜎2 = 0. 5̄𝜎2 𝑉(𝑇2) =1
4𝑉(𝑋1) +1
4𝑉(𝑋2) = 1
4𝜎2+1
4𝜎2 =2
4𝜎2 = 0.5𝜎2 Dato che risulta
𝑉(𝑇2) < 𝑉(𝑇1) si conclude che T2 è più efficiente di T1
3. Considerato un campione casuale semplice di 10 elementi estratto con ripetizione, si determini se i seguenti stimatore del parametro
𝑇1 = 𝑋1+ 𝑋3+ 𝑋5 3
𝑇2 =𝑋1 + 2𝑋5+ 𝑋10 4
𝑇3 =𝑋2+ 2𝑋4 + 3𝑋6 + 2𝑋8+ 𝑋10 5
sono corretti, se ne calcoli l’errore quadratico medio supponendo che 2 sia pari a 5 e si individui quello più efficiente
Soluzione
𝐸(𝑇1) = 𝐸(𝑋1) + 𝐸(𝑋3) + 𝐸(𝑋5)
3 = 3𝜇
3 = 𝜇 𝐸(𝑇2) = 𝐸(𝑋1) + 2𝐸(𝑋5) + 𝐸(𝑋10)
4 = 4𝜇
4 = 𝜇
𝐸(𝑇3) = 𝐸(𝑋2) + 2𝐸(𝑋4) + 3𝐸(𝑋6) + 2𝐸(𝑋8) + 𝐸(𝑋10)
5 = 9
5𝜇 I primi due stimatori sono corretti, mentre il terzo è distorto.
L’errore quadratico medio dei primi due stimatori coincide quindi con la loro varianza, mentre per determinare l’errore quadratico medio di 𝑇3 occorre determinare la sua distorsione e sommare il quadrato di tale distorsione alla varianza dello stimatore
3
Risulta quindi
𝑀𝑆𝐸(𝑇1) = 𝑉(𝑇1) = 𝑉(𝑋1) + 𝑉(𝑋3) + 𝑉(𝑋5)
9 =3𝜎2
9 =15
9 = 1. 6̄
𝑀𝑆𝐸(𝑇2) = 𝑉(𝑇2) = 𝑉(𝑋1) + 4𝑉(𝑋5) + 𝑉(𝑋10)
16 =6𝜎2
16 =30
16 = 1.875
𝑉(𝑇3) = 𝑉(𝑋2) + 4𝑉(𝑋4) + 9𝑉(𝑋6) + 4𝑉(𝑋8) + 𝑉(𝑋10)
25 =19𝜎2
25 = 95
25 = 3.8 𝐵(𝑇3) = 9
5𝜇 − 𝜇 = 4 5𝜇 𝑀𝑆𝐸(𝑇3) = 3.8 +16
25𝜇2
Lo stimatore più efficiente è quindi il primo, in quanto 𝑀𝑆𝐸(𝑇1) < 𝑀𝑆𝐸(𝑇2) < 𝑀𝑆𝐸(𝑇3)
4. Considerata una popolazione in cui la variabile Z si distribuisce come una variabile Zero-Uno di parametro ignoto 𝜋, si verifichi se la seguente funzione dei dati campionari
𝑇 = ∑𝑛𝑖=1𝑋𝑖 𝑛 + 1
è uno stimatore corretto e consistente di 𝜋 mediante il calcolo dell’errore quadratico medio
Soluzione
Il valore atteso dello stimatore è pari a
𝐸(𝑇) = ∑𝑛𝑖=1𝐸(𝑋𝑖)
𝑛 + 1 = 𝑛𝜋 𝑛 + 1
Lo stimatore, quindi, non è corretto, ma è asintoticamente corretto, dato che
𝑛→∞𝑙𝑖𝑚𝐸(𝑇) = 𝜋
La sua distorsione risulta pari a
4
𝐵(𝑇) = 𝑛𝜋
𝑛 + 1− 𝜋 = 𝑛𝜋 − (𝑛𝜋 + 𝜋)
𝑛 + 1 = − 𝜋
𝑛 + 1 e quindi tende a zero per 𝑛 che tende a infinito
𝑛→∞𝑙𝑖𝑚𝐵(𝑇) = 0
La varianza è data da 𝑉(𝑇) = ∑𝑛𝑖=1𝑉(𝑋𝑖)
(𝑛 + 1)2 =𝑛𝜋(1 − 𝜋) (𝑛 + 1)2
e quindi tende a zero per 𝑛 che tende a infinito
𝑛→∞𝑙𝑖𝑚𝑉(𝑇) = 0
In conclusione, si ha 𝑀𝑆𝐸(𝑇) = 𝑛𝜋(1 − 𝜋)
(𝑛 + 1)2 + 𝜋2
(𝑛 + 1)2 =𝜋2+ 𝑛𝜋(1 − 𝜋) (𝑛 + 1)2
Dato che l’errore quadratico medio dello stimatore tende a zero per 𝑛 che tende a infinito
𝑛→∞𝑙𝑖𝑚𝑀𝑆𝐸(𝑇) = 0
lo stimatore è consistente
5. Data una popolazione normale N(, 2) si determini la distribuzione del seguente stimatore di
𝑇 = 1
6∑ 𝑋𝑖
3
𝑖=1
+ 1
2(𝑛 − 3)∑ 𝑋𝑖
𝑛
𝑖=4
Soluzione
Una combinazione di v.c. normali ha ancora una distribuzione normale.
I parametri che caratterizzano tale distribuzione sono 𝐸(𝑇) = 1
6∑ 𝐸(𝑋𝑖)
3
𝑖=1
+ 1
2(𝑛 − 3)∑ 𝐸(𝑋𝑖) = 3𝜇
6 +(𝑛 − 3)𝜇 2(𝑛 − 3) = 𝜇
𝑛
𝑖=4
5
𝑉(𝑇) = 1
36∑ 𝑉(𝑋𝑖)
3
𝑖=1
+ 1
4(𝑛 − 3)2∑ 𝑉(𝑋𝑖) = 3𝜎2
36 +(𝑛 − 3)𝜎2 4(𝑛 − 3)2 =
𝑛
𝑖=4
= 𝜎2
12+ 𝜎2
4(𝑛 − 3) =(𝑛 − 3)𝜎2+ 3𝜎2
12(𝑛 − 3) = 𝑛𝜎2 12(𝑛 − 3)
Pertanto
𝑇~𝑁 (𝜇, 𝑛𝜎2 12(𝑛 − 3))
