Analisi Matematica 2 - Appello del 4 settembre 2017

(1)

Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica ed Elettronica Anno Accademico 2016/2017

Analisi Matematica 2 - Appello del 4 settembre 2017

Nome ...

N. Matricola ... Ancona, 4 settembre 2017

1. (8 punti) Risolvere il problema di Cauchy del second’ordine y ⁰⁰ − 9 y = 2 e ^−x , y(0) = 2, y ⁰ (0) = 1 usando le trasformate di Laplace.

2. Utilizzando il teorema dei residui, calcolare l’integrale complesso ^∗ Z

∂D

⁺

z − z ₀ 1 + 16 z ⁴ dz dove

z ₀ = − 1 + i 2 √

2 e ∂D ⁺ ` e la frontiera del dominio D = {z ∈ C : |z| ≤ 1, 0 ≤ arg(z) ≤ 3π/2}, fornendo anche un rappresentazione grafica del dominio.

∗ Per gli studenti da 6 crediti:

Determinare e classificare i punti critici della funzione f (x, y) = sin ² x + cos ² y + 2 cos x sin y nel dominio {(x, y) ∈ [0, 2 π) × [0, 2 π)}.

3. Calcolare il flusso del campo vettoriale F : R ³ → R ³ , F (x, y, z) = y z bi + x z b j + x b k

attraverso la superficie sferica di centro l’origine e raggio R, sia usando il teorema della divergenza che con il calcolo diretto.

4. (8 punti) Sia D ⊂ R ³ il dominio contenuto nel semispazio {z ≥ 0} e costituito dal cono circolare retto di raggio di base R, altezza uguale al raggio, avente l’asse Oz quale asse di simmetria e vertice nell’origine. Determinare per quali valori del parametro reale α l’integrale della funzione

f (x, y, z) = x ² + 2 y ² z ^α

sul dominio D converge e, nei casi in cui converge, calcolarne il valore.

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Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica ed Elettronica Anno Accademico 2016/2017

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Nome ...

N. Matricola ... Ancona, 4 settembre 2017

1. (8 punti) Risolvere il problema di Cauchy del second’ordine y ⁰⁰ − 4 y = −e ^x , y(0) = 1, y ⁰ (0) = 2 usando le trasformate di Laplace.

2. Utilizzando il teorema dei residui, calcolare l’integrale complesso ^∗ Z

∂D

⁺

z − z ₀ 1 + 81 z ⁴ dz dove

z ₀ = − 1 − i 3 √

2 e ∂D ⁺ ` e la frontiera del dominio D = {z ∈ C : |z| ≤ 1, −π/2 ≤ arg(z) ≤ π}, fornendo anche un rappresentazione grafica del dominio.

∗ Per gli studenti da 6 crediti:

Determinare e classificare i punti critici della funzione f (x, y) = sin ² x + cos ² y − 2 cos y sin x nel dominio {(x, y) ∈ [0, 2 π) × [0, 2 π)}.

3. Calcolare il flusso del campo vettoriale F : R ³ → R ³ , F (x, y, z) = y z bi + z b j + x y b k

attraverso la superficie sferica di centro l’origine e raggio R, sia usando il teorema della divergenza che con il calcolo diretto.

4. (8 punti) Sia D ⊂ R ³ il dominio contenuto nel semispazio {z ≥ 0} e costituito dal cono circolare retto di raggio di base R, altezza uguale al raggio, avente l’asse Oz quale asse di simmetria e vertice nell’origine. Determinare per quali valori del parametro reale α l’integrale della funzione

f (x, y, z) = 3 x ² − y ² z ^α

sul dominio D converge e, nei casi in cui converge, calcolarne il valore.

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Nome ...

N. Matricola ... Ancona, 4 settembre 2017

1. (8 punti) Risolvere il problema di Cauchy del second’ordine y 00 − 9 y = 2 e −x , y(0) = 2, y 0 (0) = 1 usando le trasformate di Laplace.

2. Utilizzando il teorema dei residui, calcolare l’integrale complesso ∗ Z

∂D

z − z 0 1 + 16 z 4 dz dove

z 0 = − 1 + i 2 √

2

e ∂D + ` e la frontiera del dominio D = {z ∈ C : |z| ≤ 1, 0 ≤ arg(z) ≤ 3π/2}, fornendo anche un rappresentazione grafica del dominio.

∗ Per gli studenti da 6 crediti:

Determinare e classificare i punti critici della funzione f (x, y) = sin 2 x + cos 2 y + 2 cos x sin y nel dominio {(x, y) ∈ [0, 2 π) × [0, 2 π)}.

3. Calcolare il flusso del campo vettoriale F : R 3 → R 3 , F (x, y, z) = y z bi + x z b j + x b k

attraverso la superficie sferica di centro l’origine e raggio R, sia usando il teorema della divergenza che con il calcolo diretto.

f (x, y, z) = x 2 + 2 y 2 z α

sul dominio D converge e, nei casi in cui converge, calcolarne il valore.

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Nome ...

N. Matricola ... Ancona, 4 settembre 2017

1. (8 punti) Risolvere il problema di Cauchy del second’ordine y 00 − 4 y = −e x , y(0) = 1, y 0 (0) = 2 usando le trasformate di Laplace.

2. Utilizzando il teorema dei residui, calcolare l’integrale complesso ∗ Z

∂D

z − z 0 1 + 81 z 4 dz dove

z 0 = − 1 − i 3 √

2

e ∂D + ` e la frontiera del dominio D = {z ∈ C : |z| ≤ 1, −π/2 ≤ arg(z) ≤ π}, fornendo anche un rappresentazione grafica del dominio.

∗ Per gli studenti da 6 crediti:

Determinare e classificare i punti critici della funzione f (x, y) = sin 2 x + cos 2 y − 2 cos y sin x nel dominio {(x, y) ∈ [0, 2 π) × [0, 2 π)}.

3. Calcolare il flusso del campo vettoriale F : R 3 → R 3 , F (x, y, z) = y z bi + z b j + x y b k

attraverso la superficie sferica di centro l’origine e raggio R, sia usando il teorema della divergenza che con il calcolo diretto.

f (x, y, z) = 3 x 2 − y 2 z α

sul dominio D converge e, nei casi in cui converge, calcolarne il valore.

1. (8 punti) Risolvere il problema di Cauchy del second’ordine y ⁰⁰ − 9 y = 2 e ^−x , y(0) = 2, y ⁰ (0) = 1 usando le trasformate di Laplace.

2. Utilizzando il teorema dei residui, calcolare l’integrale complesso ^∗ Z

z − z ₀ 1 + 16 z ⁴ dz dove

z ₀ = − 1 + i 2 √

e ∂D ⁺ ` e la frontiera del dominio D = {z ∈ C : |z| ≤ 1, 0 ≤ arg(z) ≤ 3π/2}, fornendo anche un rappresentazione grafica del dominio.

Determinare e classificare i punti critici della funzione f (x, y) = sin ² x + cos ² y + 2 cos x sin y nel dominio {(x, y) ∈ [0, 2 π) × [0, 2 π)}.

3. Calcolare il flusso del campo vettoriale F : R ³ → R ³ , F (x, y, z) = y z bi + x z b j + x b k

f (x, y, z) = x ² + 2 y ² z ^α

1. (8 punti) Risolvere il problema di Cauchy del second’ordine y ⁰⁰ − 4 y = −e ^x , y(0) = 1, y ⁰ (0) = 2 usando le trasformate di Laplace.

2. Utilizzando il teorema dei residui, calcolare l’integrale complesso ^∗ Z

z − z ₀ 1 + 81 z ⁴ dz dove

z ₀ = − 1 − i 3 √

e ∂D ⁺ ` e la frontiera del dominio D = {z ∈ C : |z| ≤ 1, −π/2 ≤ arg(z) ≤ π}, fornendo anche un rappresentazione grafica del dominio.

Determinare e classificare i punti critici della funzione f (x, y) = sin ² x + cos ² y − 2 cos y sin x nel dominio {(x, y) ∈ [0, 2 π) × [0, 2 π)}.

3. Calcolare il flusso del campo vettoriale F : R ³ → R ³ , F (x, y, z) = y z bi + z b j + x y b k

f (x, y, z) = 3 x ² − y ² z ^α