Compito di Fisica Matematica, 20/7/2006
Prof. F. Bagarello
Lo studente con in piano di studi MM, 9 crediti, risolva almeno 6 quesiti.
Lo studente con in piano di studi FM, 6 crediti, risolva almeno 4 quesiti, scelti tra quelli che non coinvolgono la Teoria delle Probabilit`a.
(1) Sviluppare in serie di Fourier, ottenendo l’uguaglianza di Parceval, la funzione f (x) = ei 15 x.
(2) Lo studente ottenga le singolarit`a ed i residui corrispondenti della funzione f (z) = (z2−1)(zeiαz2+1), α reale.
(3) Calcolare l’integrale I =R∞
−∞
cos(π x/2) (x2−1)(x2+1)dx.
(4) Sviluppare in serie di Laurent nell’intorno di z0= 0 la funzione f (z) = z(z21+1).
(5) Sia f (x) ∈ L2(R) dotata di derivata prima f0(x), con f0(x) ∈ L2(R) essa stessa. Dimostrare che, allora, lim|x|→∞f (x) = 0. Mostrare con un controesempio che, qualora non valga la f0(x) ∈ L2(R), la f (x) non decresce necessariamente a zero quando |x| → ∞.
(6) Mostrare che la funzione f (x) = e−|x| non appartiene allo spazio S(R).
(7) Dimostrare che il prodotto di convoluzione tra due funzioni di L∞(R) appartiene ad L∞(R).
Cosa si pu`o dire per funzioni di L∈(R)?
(TdP1) Dimostrare che la funzione f (x) = N u(x) eλx`e una densit`a di probabilit`a per un’opportuna scelta di N , λ essendo una costante positiva ed u(x) la funzione gradino. Ricavare la funzione caratteristica associata ed i momenti di ordine 1,2,3. Ricavare inoltre la funzione cumulativa.
(TdP2) Data un’urna con 10 palline bianche e 10 nere trovare, adoperando la definizione di evento condizionato, la probabilit`a che vengano estratte, nell’ordine, due palline bianche ed una nera. Ritrovare lo stesso risultato usando la teoria degli eventi indipendenti.
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