Compito di Fisica Matematica, 18/10/2010
Prof. F. Bagarello
(1) Verificare se l’integrale ∫∞
−∞(2 + πf′(x))(2 + πg′(x)) dx definisce un prodotto scalare sul sottoinsieme delle funzioni diL2(R) che ammettono derivata prima (almeno).
(2) Ottenere lo sviluppo in serie di Fourier per la funzione f (x) = 2x + e.
(3) Calcolare trasformata ed antitrasformata di Fourier della funzione
f (x) = 1 (x + πi)2.
(4) Risolvere l’equazione differenziale y′′(t)+3 y′(t)+2y(t) = e, con le condizioni iniziali y(0) = 1 e y′(0) = 1 usando la tecnica delle trasformate di Laplace.
(5) Calcolare la derivata nel senso debole della distribuzione φ(t) = u(t) sin(t2).
(6) Sviluppare in serie di Taylor nell’intorno di z0= 2π la f (z) = ez+1sin (z) e determinarne il raggio di convergenza.
(TdP1) Dimostrare che la funzione f (x) = N e−|x|/3`e una densit`a di probabilit`a per un’opportuna scelta di N . Ricavare la funzione caratteristica associata ed i momenti di ordine 1 e 2.
(TdP2) Un codice di sicurezza `e composto da 4 lettere estratte dalle 21 dell’alfabeto italiano.
Nell’ipotesi che ogni combinazione sia ugualmente probabile determinare la probabilit`a che le lettere del codice siano tutte differenti.
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