Compito di Fisica Matematica, 10/2/2012
Prof. F. Bagarello
Lo studente di 9 cfu risolva almeno sei dei seguenti quesiti, quello di 6 cfu almeno quattro:
(1) Studiare la regione di convergenza della serie∑∞
n=−∞4|n|(z− 3i)n.
(2) Risolvere l’equazione differenziale 2y′′(t) + y′(t)− 6y(t) = 1, con le condizioni iniziali y(0) = y′(0) = 1 usando la tecnica delle trasformate di Laplace.
(3) Supponendo che la funzione complessa intera f (z) abbia parte reale u(z) = u(x, y) = cos(x)ey, ricavare la forma di v(z) assumendo inoltre che f (0) = i.
(4) Sviluppare in serie di Laurent nell’intorno del punto z = i la funzione f (z) = z2e1/(z−i). Calcolarne poi il residuo in z = i.
(5) Ottenere la derivata debole della f (t) = rect(−t − 1)et
(6) Calcolare trasformata ed antitrasformata di Fourier della funzione f (x) = e−2π|x|u(x− 1), u(x) essendo il segnale gradino.
(7) Verificare che la funzione
f (x) = N { x2
2, −5 ≤ x ≤ 5;
0, altrove
`e una densit`a di probabilit`a per un qualche valore di N , calcolarne la funzione cumulativa associ- ata, e calcolare la probabilit`a che effettuando una misura si ottenga un risultato inferiore ad 1 o compreso tra 4 e 5.
(8) Ottenere la funzione caratteristica della f (x) dell’esercizio precedente. Dedurre poi, ad- operando la funzione caratteristica, i momenti di ordine 1,2 e 3. Verificare questi risultati ad- operando la definizione di momento in termini della densit`a di probabilit`a.
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