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Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Gestionale Sede di Fermo Anno Accademico 2010/2011 Probabilit`a e Statistica

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Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Gestionale Sede di Fermo

Anno Accademico 2010/2011 Probabilit` a e Statistica

Nome ...

N. Matricola ... Fermo, 12 aprile 2011

1. (8 punti)

(i) Sia Y una v.a. continua di densit`a f

Y

(y). Dimostrare che, per ogni z ∈ R, si ha E[|Y − z|] =

Z

z

−∞

(z − y) f

Y

(y) dy + Z

+∞

z

(y − z) f

Y

(y) dy

(ii) Sia X una v.a. uniforme sull’intervallo [a, b].

• Calcolare la media di X;

• determinare per quali m ∈ R si ha P ({X ≤ m}) = 1/2;

• calcolare E[|X − z|];

• determinare per quale valore di z la quantit`a E[|X − z|] `e minima.

2. (6 punti) Da un’urna che contiene 20 palline bianche e 30 nere vengono estratte 4 palline con reimbussolamento. Qual`e la probabilit`a che venga estratta per 3 (tre) volte una pallina bianca?

3. (9 punti) Introdurre la definizione delle funzioni caratteristiche e discuterne le propriet`a pi` u importanti.

4. (7 punti) Enunciare e dimostrare la formula di Bayes in uno spazio di probabilit`a.

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