A.A. 2014/2015 Corso di Analisi Matematica 1

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A.A. 2014/2015

Corso di Analisi Matematica 1

Stampato integrale delle lezioni

(Volume 2)

Massimo Gobbino

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Indice

Lezione 052: Introduzione agli integrali: notazioni, significato geometrico, funzioni a gradino, definizione di integrale inferiore e superiore. Funzione di Dirichlet. . 6 Lezione 053: Prime proprietà dell’integrale: linearità, monotonia, additività rispet-

to alla zona di integrazione, disuguaglianza con il valore assoluto. Enunciato dell’integrabilit`a delle funzioni monotone e delle funzioni continue. . . 11 Lezione 054: Definizione di primitiva e di funzione integrale. Due primitive in un

intervallo differiscono per una costante. Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Lipschitzianit`a della funzione integrale. . . 16 Lezione 055: Dimostrazione dell’integrabilit`a delle funzioni monotone. Dimostra-

zione che il valore assoluto di una funzione integrabile `e integrabile. Discorso sul +c negli integrali. Primitive elementari. . . 21 Lezione 056: Formula di integrazione per parti. Esempi classici di applicazione.

Tecnica del grande ritorno e dell’1 nascosto. Esempio paradossale utilizzando la formula senza estremi. . . 26 Lezione 057: Formula di integrazione per sostituzione. Esempi classici di applica-

zione. Primitive di potenze di seno e coseno. . . 31 Lezione 058: Integrazione delle funzioni razionali: descrizione dell’algoritmo. . . . 36 Lezione 059: Precisazioni sui passi dell’algoritmo per integrare le funzioni razionali:

fattorizzazione reale/complessa di polinomi, dimostrazione della decomposizione in fratti semplici, integrazione dei fratti semplici. . . 41 Lezione 060: Esempi di calcolo di integrali propri, anche di integrande con valori as-

soluti. Utilizzo delle simmetrie per il calcolo di integrali di funzioni pari/dispari.

Integrali del quadrato di seno e coseno tra estremi multipli di un angolo retto. 45 Lezione 061: Trucco per il calcolo rapido dei coefficienti in una scomposizione in

fratti semplici. Sostituzioni razionalizzanti 1: funzioni razionali di esponenziali.

Sostituzioni razionalizzanti 2: funzioni razionali di radici di polinomi di primo grado. . . 50 Lezione 062: Sostituzioni razionalizzanti 3: funzioni razionali di radici di polinomi

di secondo grado. Sostituzioni razionalizzanti 4: funzioni razionali di seno e coseno. . . 55 Lezione 063: Interpretazione delle sostituzioni razionalizzanti in termini di parame-

trizzazioni razionali di curve algebriche. Primitive e derivare vs o piccolo. . . . 60 Lezione 064: Introduzione agli integrali impropri: definizione nel caso monoproble-

ma e spezzamento nel caso con pi`u problemi. Comportamento degli integrali impropri con potenze negative della x, sia a 0 sia all’infinito. . . 63

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4 INDICE

Lezione 065: Criteri di convergenza per integrali impropri: confronto, confronto asintotico (casi standard e casi limite), assoluta integrabilit`a. Esempi di applicazione. Osservazione della mancanza di un analogo per gli integrali impropri della condizione necessaria per la convergenza delle serie. . . 68 Lezione 066: Integrali impropri con problemi in punti diversi dall’origine. Esempio

di integrale improprio con problema in un punto che non si calcola esplicitamente. 73 Lezione 067: Confronto serie-integrali e applicazioni. . . 78 Lezione 068: Integrali oscillanti: trucco dell’integrazione per parti e metodo dei

triangolini (o rettangolini). Esempi classici: integrale di Dirichlet e integrali di Fresnel. . . 83 Lezione 069: Lemma di sommazione per parti (per le serie) di Abel. Applicazione

classica: criterio di Dirichlet per la convergenza di una serie. Enunciato analogo per gli integrali impropri. . . 88 Lezione 070: Funzione Gamma di Eulero. Esercizi sulla dipendenza di un integrale

proprio/improprio dall’insieme di integrazione. . . 93 Lezione 071: Esercizi con funzioni definite mediante integrali. . . 98 Lezione 072: Introduzione alle equazioni differenziali: nomenclatura. . . 103 Lezione 073: Introduzione alle equazioni differenziali: primi esempi di famiglie di

soluzioni dipendenti da parametri, problema di Cauchy, enunciato dei teoremi di sola esistenza e di esistenza ed unicit`a, esempio di non unicit`a (pennello di Peano). . . 108 Lezione 074: Equazioni differenziali a variabili separabili: descrizione della pro-

cedura per determinare una soluzione ed esempi di applicazione. Studio della soluzione: intervallo massimale di esistenza, tempo di vita, eventuali blow up e break down. . . 112 Lezione 075: Equazioni differenziali a variabili separabili: giustificazione della pro-

cedura per determinare una soluzione (che dimostra pure esistenza ed unicit`a).

Discussione di un primo esempio con valori soglia. . . 117 Lezione 076: Teoria generale delle equazioni differenziali lineari: struttura dello

spazio delle soluzioni nel caso omogeneo e non omogeneo. . . 121 Lezione 077: Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti: come determinare

una base dello spazio delle soluzioni passando per le radici del polinomio caratteristico. Primo esempio di ricerca per tentativi di una soluzione per un’equazione non omogenea. . . 126 Lezione 078: Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti non omogenea:

ricerca per tentativi di una soluzione in casi semplici. Descrizione del metodo di variazione delle costanti. . . 131 Lezione 079: Equazioni differenziali lineari del primo ordine a coefficienti qualunque:

formula risolutiva, sua giustificazione (mediante fattore integrante o variazione delle costanti), esempi di applicazione. . . 137 Lezione 080: Esempi classici di studio di equazioni differenziali con parametri: oscil-

latore armonico con risonanza, oscillatore armonico con dissipazione, equazione lineare del primo ordine con valore soglia. . . 142 Lezione 081: Sistemi di equazioni differenziali vs equazioni singole di ordine su-

periore. Legami con autovalori ed autovettori nel caso lineare. Ricerca degli autovalori della derivata seconda con condizioni al bordo. . . 146

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Lezione 082: Esercizi misti sullo studio di soluzioni di equazioni differenziali al variare di parametri. . . 151 Lezione 083: Successioni per ricorrenza lineari omogenee: formula risolutiva median-

te le radici del polinomio caratteristico. Interpretazione matriciale e polinomiale della formula (nel caso della successione di Fibonacci). . . 156 Lezione 084: Sistemi di successioni per ricorrenza lineari: riduzione ad una succes-

sione singola. Successioni per ricorrenza lineari non omogenee: ricerca euristica di una soluzione (analoga alle equazioni differenziali). . . 161 Lezione 085: Interpretazione polinomiale della formula per le ricorrenze lineari

del secondo ordine. Introduzione alle successioni per ricorrenza non lineari autonome: primi esempi di studio mediante un piano basato sulla monotonia. . 165 Lezione 086: Interpretazione grafica delle successioni per ricorrenza autonome del

primo ordine. Esempi di studio mediante un piano basato sulla distanza dal presunto limite. . . 170 Lezione 087: Successioni per ricorrenza autonome spiraleggianti: studio mediante

il piano basato sulla monotonia ed il piano basato sulle due sottosuccessioni. . 175 Lezione 088: Primi esempi di studio di successioni per ricorrenza non autonome:

piani con la monotonia, con il rapporto, con limitatezza e carabinieri. . . 180 Lezione 089: Ulteriori esempi di successioni per ricorrenza, autonome e non auto-

nome. Legami tra la stabilit`a dei punti fissi di una funzione e valore assoluto della derivata. Esempio di successione per ricorrenza senza limite (caos). . . . 185 Lezione 090: Esempio di studio di una successione per ricorrenza non autonoma

con valori soglia. . . 190 Lezione 091: Ulteriori esempi di studio di successioni per ricorrenza non lineari. . 195

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6 Corso di Analisi Matematica 1 – A.A. 2014/2015

Lezione 052

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