A.A. 2014/2015 Corso di Analisi Matematica 1

(1)

A.A. 2014/2015

Corso di Analisi Matematica 1

Stampato integrale delle lezioni

(Volume 3)

Massimo Gobbino

(2)

(3)

Indice

Lezione 092: Liminf e limsup di successioni: definizione, primi esempi, caratterizzazione, rapporto con l’eventuale limite. Teorema del confronto in versione liminf/limsup. . . 6 Lezione 093: Teorema dei carabinieri e teorema delle sottosuccessioni in versione li-

minf/limsup. Caratterizzazione di liminf/limsup come minlim/maxlim. Utilizzo di stime e sottosuccessioni per determinare liminf/limsup. . . 11 Lezione 094: Criterio della radice, del rapporto e del rapporto → radice in versione

liminf/limsup. Liminf/limsup della somma e del prodotto per una costante. . . 16 Lezione 095: Liminf/limsup di funzioni: definizione, primi esempi, caratterizzazione

come minlim/maxlim di successioni. . . 21 Lezione 096: Dato un sottoinsieme dei reali, esiste una successione monotona a valori

nell’insieme che tende al sup. Esempi di calcolo di liminf/limsup di funzioni.

Teorema algebrico per la somma nel caso in cui una delle due successioni ha limite reale. . . 26 Lezione 097: Linguaggio topologico nella retta reale: parte interna, chiusura, fron-

tiera, punti isolati, punti di accumulazione. Insiemi aperti e chiusi. Famiglie infinite di sottoinsiemi, e loro unione/intersezione. . . 31 Lezione 098: In un punto di massimo/minimo interno la derivata, se esiste, si

annulla. Teoremi di Rolle, Cauchy, Lagrange. . . 36 Lezione 099: Dimostrazione dei teoremi di De L’Hˆopital. . . 42 Lezione 100: Teoremi di Stolz-Cesaro: enunciato, dimostrazione, esempi. Teorema

delle medie di Cesaro. Criterio rapporto → radice come applicazione di Stolz- Cesaro. . . 47 Lezione 101: Enunciato e dimostrazione della formula di Taylor con resto di Peano

e di Lagrange. . . 52 Lezione 102: Teorema di Bolzano-Weierstrass. Definizione di sottoinsieme com-

patto. Dimostrazione del teorema di Weierstrass per funzioni continue su un compatto. . . 58 Lezione 103: Definizione di successione di Cauchy e prime propriet`a. Completez-

za dei numeri reali: dimostrazione via liminf/limsup e via Bolzano-Weiertrass.

Equivalenza tra assioma di continuità e completezza + proprietà archimedea. . 62 Lezione 104: Quattro facce della continuità: con i limiti, epsilon/delta, con le

successioni, topologica. Equivalenza tra continuità epsilon/delta e continuità per successioni. Continuità della composizione di funzioni continue. . . 67

3

(4)

4 INDICE

Lezione 105: Tre facce della compattezza: limitato e chiuso, compattezza per successioni, compattezza per ricoprimenti. Equivalenza tra le prime due. Compatto per ricoprimenti implica limitato e chiuso. Le funzioni continue non mandano chiusi in chiusi e limitati in limitati. . . 71 Lezione 106: Le funzioni continue mandano compatti per successioni/ricoprimenti

in compatti per successioni/ricoprimenti. Lemma del raggio magico (numero di Lebesgue). Compatto per successioni implica compatto per ricoprimenti.

Dimostrazione alternativa del teorema di Weierstrass. . . 76 Lezione 107: Lemma dei distributori (esistenza della epsilon rete). Funzioni se-

micontinue inferiormente e superiormente: definizioni equivalenti ed esempi.

Teorema di Weierstrass per funzioni semicontinue. . . 81 Lezione 108: Funzioni uniformemente continue: definizione, commenti, prime pro-

prietà. Lipschitzianità implica uniforme continuità. . . 86 Lezione 109: Enunciato e dimostrazione del teorema di Heine-Cantor. Enunciato e

dimostrazione del teorema di estensione. . . 91 Lezione 110: Uniformemente continua in una semiretta implica subadditiva. Conti-

nua in una semiretta più limite finito implica uniformemente continua. Idea per una dimostrazione alternativa di Heine-Cantor. Esercizi sull’uniforme continuità. 96 Lezione 111: Funzioni Holderiane: definizione, commenti, prime proprietà. Rap-

porti tra Lipschitzianità, Holderianità, uniforme continuità, continuità, sia su insiemi generali, sia su insiemi limitati. . . 101 Lezione 112: Strategie per dimostrare che una funzione è (o non è) Lipschitzia-

na/Holderiana/uniformemente continua. Holderianità vs Lipschitzianità di op- portune potenze. Esempi di applicazione delle strategie. . . 106 Lezione 113: Moduli di continuità per funzioni uniformemente continue. Integrabi-

lità secondo Riemann delle funzioni continue in un intervallo. Integrabilità delle funzioni limitate con un numero finito di punti di discontinuità. . . 111 Lezione 114: Se l’integrale improprio su una semiretta converge, cosa possiamo

dire del limite all’infinito? Esercizi su uniforme continuità, Lipschitzianità e Holderianità di una funzione integrale. . . 116 Lezione 115: Sottoinsiemi convessi della retta. Funzioni convesse: definizione alge-

brica e significato geometrico. Lemma dei tre rapporti incrementali. Esistenza delle derivate sinistra e destra in tutti i punti interni e relazione tra le due. . . 121 Lezione 116: Funzioni convesse: continuit`a nei punti interni e locale lipschitzianit`a,

debole crescenza delle derivate destra e sinistra, legami tra convessit`a e debole crescenza della derivata prima (posto che questa esista). Le funzioni convesse stanno sopra le rette tangenti. . . 126 Lezione 117: Funzioni convesse: esistenza della derivata nei punti in cui la derivata

destra (o sinistra) `e continua. Funzioni strettamente convesse. Legami tra convessit`a e segno della derivata seconda (posto che questa esista). Massimo tra funzioni convesse. Interpretazione in termini di sopragrafico. . . 131 Lezione 118: Dimostrazione che la debole monotonia della derivata implica la con-

vessità. Disuguaglianza di Jensen. Disuguaglianze di convessità e formula di Taylor con resto di Lagrange. Disuguaglianza di Bernoulli come disuguaglianza di convessità. . . 135

(5)

INDICE 5

Lezione 119: Esempi di applicazione di Jensen: disuguaglianze tra medie, disuguaglianza di Young a due o più termini, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e generalizzazioni. Prodotto di funzioni convesse. . . 140 Lezione 120: Relazioni tra monotonia, iniettività, continuità. Lemma della sotto-

sotto-successione. Continuit`a della funzione inversa (insieme di partenza compatto). . . 145 Lezione 121: Continuit`a della funzione inversa (insieme di partenza convesso). De-

rivata della funzione inversa. Ulteriore regolarit`a della funzione inversa e calcolo dei suoi polinomi di Taylor. . . 150 Lezione 122: Ricapitolazione sui simboli di Landau: o piccolo, O grande, equivalenza

asintotica. Rapporti tra le definizioni ed esempi. . . 155 Lezione 123: Propriet`a di Darboux delle derivate. Come dimostrare che una

funzione `e derivabile o non derivabile in un punto. . . 160 Lezione 124: Esempi di funzioni di classe C-infinito con tutte le derivate nulle in

un punto. Raccordo C-infinito tra due costanti. Approssimazione di funzioni integrabili mediante funzioni di classe C-infinito. . . 165 Lezione 125: Formula di Stirling per l’approssimazione del fattoriale e prodotto di

Wallis. . . 169 Lezione 126: Due esercizi ispirati da Stirling (confronto tra un integrale e l’area di

un trapezio) e Wallis (limite di una successione di integrali). Primo accenno ai rapporti tra la definizione di integrale alla Darboux ed alla Riemann. . . 174 Lezione 127: Confronto tra integrale definito alla Darboux e alla Riemann. Sti-

ma della differenza tra l’integrale di una funzione continua ed una somma di Riemann in termini di modulo di continuit`a e diametro della partizione. . . 179 Lezione 128: Dimostrazione che una funzione integrabile alla Darboux `e integrabile

anche alla Riemann. Dimostrazione che il massimo tra due funzioni integrabili

`

e integrabile. Dimostrazione che il prodotto di funzioni integrabili `e integrabile. 184 Lezione 129: Propriet`a di riordinamento e di raggruppamento per serie numeriche

assolutamente convergenti. Teorema di riordinamento di Riemann (riordinamento di serie convergenti, ma non assolutamente convergenti). . . 189 Lezione 130: Definizioni formali degli insiemi numerici: numeri naturali via assiomi

di Peano, interi via quoziente su coppie di naturali, razionali via quoziente su coppie di interi, reali via sezioni di Dedekind (o semirette sinistre) di razionali. 193 Lezione 131: Funzioni elementari rivisitate: continuit`a e surgettivit`a delle potenze

ad esponente intero e delle relative inverse. Definizione dell’esponenziale via equazione funzionale, e sua monotonia e continuit`a. Accenno alla definizione delle funzioni trigonometriche via equazioni funzionali. . . 198 Lezione 132: Postilla alla dimostrazione del teorema di De L’Hˆopital. Dimostrazione

della formula per la derivata della funzione composta. Accenno alla densit`a dei naturali sulla circonferenza trigonometrica. . . 203 Lezione 133: Dimostrazione dell’irrazionalit`a del numero e. Serie armonica genera-

lizzata ristretta agli interi che si scrivono in base 10 senza usare una data cifra.

Divergenza della serie dei reciproci dei primi. . . 208

(6)

6 Corso di Analisi Matematica 1 – A.A. 2014/2015

Lezione 092

(7)

Stampato integrale delle lezioni (Volume 3) 7

Lezione 092

(8)

Lezione 092

(9)

Lezione 092

(10)

Lezione 092

(11)

Lezione 093

(12)

Lezione 093

(13)

Lezione 093

(14)

Lezione 093

(15)

Lezione 093

(16)

Lezione 094

(17)

Lezione 094

(18)

Lezione 094

(19)

Lezione 094

(20)

Lezione 094

(21)

Lezione 095

(22)

Lezione 095

(23)

Lezione 095

(24)

Lezione 095

(25)

Lezione 095

(26)

Lezione 096

(27)

Lezione 096

(28)

Lezione 096

(29)

Lezione 096

(30)

Lezione 096

(31)

Lezione 097

(32)

Lezione 097

(33)

Lezione 097

(34)

Lezione 097

(35)

Lezione 097

(36)

Lezione 098

(37)

Lezione 098

(38)

Lezione 098

(39)

Lezione 098

(40)

Lezione 098

(41)

Lezione 098

(42)

Lezione 099

(43)

Lezione 099

(44)

Lezione 099

(45)

Lezione 099

(46)

Lezione 099

(47)

Lezione 100

(48)

Lezione 100

(49)

Lezione 100

(50)

Lezione 100

(51)

Lezione 100

(52)

Lezione 101

(53)

Lezione 101

(54)

Lezione 101

(55)

Lezione 101

(56)

Lezione 101

(57)

Lezione 101

(58)

Lezione 102

(59)

Lezione 102

(60)

Lezione 102

(61)

Lezione 102

(62)

Lezione 103

(63)

Lezione 103

(64)

Lezione 103

(65)

Lezione 103

(66)

Lezione 103

(67)

Lezione 104

(68)

Lezione 104

(69)

Lezione 104

(70)

Lezione 104

(71)

Lezione 105

(72)

Lezione 105

(73)

Lezione 105

(74)

Lezione 105

(75)

Lezione 105

(76)

Lezione 106

(77)

Lezione 106

(78)

Lezione 106

(79)

Lezione 106

(80)

Lezione 106

(81)

Lezione 107

(82)

Lezione 107

(83)

Lezione 107

(84)

Lezione 107

(85)

Lezione 107

(86)

Lezione 108

(87)

Lezione 108

(88)

Lezione 108

(89)

Lezione 108

(90)

Lezione 108

(91)

Lezione 109

(92)

Lezione 109

(93)

Lezione 109

(94)

Lezione 109

(95)

Lezione 109

(96)

Lezione 110

(97)

Lezione 110

(98)

Lezione 110

(99)

Lezione 110

(100)

Lezione 110

(101)

Lezione 111

(102)

Lezione 111

(103)

Lezione 111

(104)

Lezione 111

(105)

Lezione 111

(106)

Lezione 112

(107)

Lezione 112

(108)

Lezione 112

(109)

Lezione 112

(110)

Lezione 112

(111)

Lezione 113

(112)

Lezione 113

(113)

Lezione 113

(114)

Lezione 113

(115)

Lezione 113

(116)

Lezione 114

(117)

Lezione 114

(118)

Lezione 114

(119)

Lezione 114

(120)

Lezione 114

(121)

Lezione 115

(122)

Lezione 115

(123)

Lezione 115

(124)

Lezione 115

(125)

Lezione 115

(126)

Lezione 116

(127)

Lezione 116

(128)

Lezione 116

(129)

Lezione 116

(130)

Lezione 116

(131)

Lezione 117

(132)

Lezione 117

(133)

Lezione 117

(134)

Lezione 117

(135)

Lezione 118

(136)

Lezione 118

(137)

Lezione 118

(138)

Lezione 118

(139)

Lezione 118

(140)

Lezione 119

(141)

Lezione 119

(142)

Lezione 119

(143)

Lezione 119

(144)

Lezione 119

(145)

Lezione 120

(146)

Lezione 120

(147)

Lezione 120

(148)

Lezione 120

(149)

Lezione 120

(150)

Lezione 121

(151)

Lezione 121

(152)

Lezione 121

(153)

Lezione 121

(154)

Lezione 121

(155)

Lezione 122

(156)

Lezione 122

(157)

Lezione 122

(158)

Lezione 122

(159)

Lezione 122

(160)

Lezione 123

(161)

Lezione 123

(162)

Lezione 123

(163)

Lezione 123

(164)

Lezione 123

(165)

Lezione 124

(166)

Lezione 124

(167)

Lezione 124

(168)

Lezione 124

(169)

Lezione 125

(170)

Lezione 125

(171)

Lezione 125

(172)

Lezione 125

(173)

Lezione 125

(174)

Lezione 126

(175)

Lezione 126

(176)

Lezione 126

(177)

Lezione 126

(178)

Lezione 126

(179)

Lezione 127

(180)

Lezione 127

(181)

Lezione 127

(182)

Lezione 127

(183)

Lezione 127

(184)

Lezione 128

(185)

Lezione 128

(186)

Lezione 128

(187)

Lezione 128

(188)

Lezione 128

(189)

Lezione 129

(190)

Lezione 129

(191)

Lezione 129

(192)

Lezione 129

(193)

Lezione 130

(194)

Lezione 130

(195)

Lezione 130

(196)

Lezione 130

(197)

Lezione 130

(198)

Lezione 131

(199)

Lezione 131

(200)

Lezione 131