A.A. 2014/2015 Corso di Analisi Matematica 1

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A.A. 2014/2015

Corso di Analisi Matematica 1

Stampato integrale delle lezioni

(Volume 1)

Massimo Gobbino

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Indice

Lezione 001: Logica elementare (a livello intuitivo): proposizioni, predicati, and e vel, quantificatori. Negazione di una proposizione. . . 6 Lezione 002: Tavole di verit`a. Implicazione e sua negazione. Insiemi e notazioni

insiemistiche. Insieme delle parti. . . 10 Lezione 003: Funzioni tra insiemi: definizione operativa e formale. Grafico, compo-

sizione, iniettivit`a, surgettivit`a, funzione inversa. Immagine e controimmagine. 14 Lezione 004: Principio di induzione. Dimostrazione di uguaglianze e disuguaglianze

mediante il principio di induzione. Disuguaglianza di Bernoulli. . . 18 Lezione 005: Interpretazioni grafiche di iniettivit`a, surgettivit`a, immagine e con-

troimmagine per funzioni reali. Operazioni sui grafici. Funzioni pari, dispari, periodiche. Funzioni monotone. . . 23 Lezione 006: Definizione assiomatica dei numeri reali. Enunciato della loro esi-

stenza ed unicit`a. Insiemi limitati superiormente/inferiormente, maggioran- ti/minoranti, massimo/minimo. . . 27 Lezione 007: Estremo inferiore e superiore. Dimostrazione della loro esistenza.

Caratterizzazione di inf e sup. Dimostrazione che l’insieme dei naturali non `e superiormente limitato. . . 31 Lezione 008: Funzioni elementari: potenze e radici, esponenziali e logaritmi. Di-

scussione di cosa bisognerebbe dimostrare per avere una definizione rigorosa. . 35 Lezione 009: Funzioni elementari: funzioni trigonometriche e relative inverse. Iniet-

tivit`a ed equazioni. Monotonia e disequazioni. . . 39 Lezione 010: Significato dei termini ’definitivamente’ e ’frequentemente’. Definizio-

ne di successione e sue rappresentazioni. Definizioni di limite per successioni.

Limitatezza delle successioni convergenti. . . 44 Lezione 011: Primi esempi e risultati sui limiti di successione: permanenza del

segno, unicit`a del limite, teorema di confronto a 2, teorema di confronto a 3 (teorema dei carabinieri). . . 48 Lezione 012: Teorema delle successioni monotone. In numero e (monotonia e

limitatezza della successione che lo definisce). . . 52 Lezione 013: Retta reale estesa. Enunciato del teorema algebrico sui limiti di suc-

cessione. Primi esempi di limiti calcolati usando teoremi algebrici e di confronto. 57 Lezione 014: Criterio della radice, del rapporto e rapporto → radice per limiti di

successione: enunciati e dimostrazioni. Dimostrazione di un caso del limite della somma. . . 63 Lezione 015: Applicazione dei criteri della radice, rapporto e rapporto → radice al

confronto di ordini di infinito. Dimostrazione di un caso del limite del prodotto. 68 3

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Lezione 016: Limiti di funzioni: definizioni. Definizione di funzione continua in un punto ed in un insieme. . . 73 Lezione 017: Enunciato dei limiti notevoli. Enunciato della continuit`a delle funzioni

ottenute a partire da quelle elementari. Esempi di cambi di variabile nei limiti. 77 Lezione 018: Criterio successioni → funzioni. Dimostrazione dei limiti notevoli

classici. . . 82 Lezione 019: Criterio funzioni → successioni. Trucco del passaggio all’esponenziale.

Esempi di limiti calcolati sfruttando i limiti notevoli. . . 87 Lezione 020: Sottosuccessioni e loro limiti. Utilizzo di successioni e sottosuccessioni

per mostrare la non esistenza di limiti di funzioni e successioni. . . 92 Lezione 021: Razionalizzazioni di radici. Esercizi sui limiti che sfruttano le tecniche

viste finora. . . 97 Lezione 022: Definizione di o piccolo e di equivalenza asintotica. Principali propriet`a

di o piccolo. . . 101 Lezione 023: Sviluppini delle funzioni elementari. Utilizzo degli sviluppini per il

calcolo di limiti. . . 106 Lezione 024: Rapporto incrementale, derivata e differenziale. Retta tangente ad

un grafico. Equivalenza tra le definizioni e interpretazione geometrica. Limiti notevoli vs sviluppini vs derivate delle funzioni elementari. . . 111 Lezione 025: Derivata delle funzioni elementari e delle relative inverse. Teoremi

algebrici sulle derivate. Derivata della composizione e dell’inversa (enunciati e dimostrazioni abusive). . . 116 Lezione 026: Enunciato del teorema di De L’Hˆopital. Esempi in cui si pu`o e non si

pu`o applicare. Pericoli del fare i limiti met`a per volta o mediante equivalenza asintotica. . . 121 Lezione 027: Enunciato della formula di Taylor con resto di Peano e centro in 0.

Dimostrazione degli sviluppi di Taylor delle funzioni elementari. . . 125 Lezione 028: Enunciato della formula di Taylor con resto di Peano e centro in un

punto qualunque. Polinomio di Taylor della somma, prodotto e composizione di due funzioni. . . 130 Lezione 029: Funzioni iperboliche. . . 134 Lezione 030: Definizione di ordine di infinitesimo e parte principale. Esercizi misti

sui limiti. . . 139 Lezione 031: Esercizi misti sui limiti. . . 144 Lezione 032: Serie numeriche: definizione come limite delle somme parziali. Serie

telescopiche e geometriche. Propriet`a algebriche. . . 149 Lezione 033: Condizione necessaria per la convergenza di una serie numerica. Serie

a termini di segno costante. Criteri di convergenza: confronto, radice, rapporto. 154 Lezione 034: Criterio del confronto asintotico (casi standard e casi limite) per la

convergenza di una serie numerica. Serie armonica generalizzata. Criterio di condensazione di Cauchy. . . 158 Lezione 035: Esercizi sulla convergenza di serie numeriche a termini di segno costante.163 Lezione 036: Criterio di Leibnitz per le serie a segno alterno. Assoluta convergen-

za. Teorema dei carabinieri per le serie. Esempi di serie convergenti ma non assolutamente convergenti. . . 167

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Lezione 037: Esercizi sulle serie. Il numero e (e la funzione esponenziale) come somma di una serie. . . 172 Lezione 038: Teoremi che legano la monotonia al segno della derivata per funzioni

di una variabile. . . 176 Lezione 039: Studio locale di una funzione nell’intorno di un punto stazionario:

criterio delle derivate successive e sua interpretazione in termini di polinomi di Taylor. Esempi di comportamenti patologici che sfatano luoghi comuni. . . 180 Lezione 040: Teorema di esistenza degli zeri: enunciato e tre possibili dimostrazioni.

Teorema dei valori intermedi. . . 185 Lezione 041: Esercizi sulle funzioni che sfruttano il teorema di esistenza degli zeri

e lo studio locale. Esempio classico di funzione non nulla con tutte le derivate nulle in uno stesso punto. . . 190 Lezione 042: Definizioni di max/min e di punti di max/min. Enunciato del teorema

di Weierstrass in un intervallo. Ricerca dei candidati punti di max/min: punti stazionari interni, singolari interni, bordo. Teorema di Weierstrass per funzioni periodiche continue. . . 195 Lezione 043: Varianti del teorema di Weierstrass su insiemi non limitati. Esempi

ed esercizi sulle funzioni che sfruttano gli strumenti visti finora. . . 200 Lezione 044: Schema classico per lo studio di funzioni: simmetrie, continuit`a, li-

miti agli estremi, zeri e segno, monotonia, classi di regolarit`a, punti di massimo/minimo locale/globale, asintoti. . . 204 Lezione 045: Esempi e controesempi relativi agli asintoti obliqui. Definizione geome-

trica di convessità/concavità. Legami tra convessità e derivata seconda. Punti di flesso. . . 209 Lezione 046: Esempi di equazioni e disequazioni risolte mediante studi di funzione.

Rischi legati al confronto di due grafici. Disuguaglianze classiche (confronti tra funzioni elementari e loro polinomi di Taylor) che si dimostrano con studi di funzione. . . 214 Lezione 047: Ulteriori esempi di problemi che si affrontano con studi di funzione. . 218 Lezione 048: Funzioni lipschitziane. Legami tra lipschitzianit`a e limitatezza della

derivata prima. . . 222 Lezione 049: Esempi ed esercizi che utilizzano in vario modo gli studi di funzione. 227 Lezione 050: Formula di Taylor con resto di Lagrange: enunciato ed applica-

zioni classiche: approssimazione di funzioni, dimostrazione di disuguaglianze, convergenza di serie di Taylor. Accenno alle funzioni analitiche. . . 232 Lezione 051: Esempi ed esercizi con visione globale su limiti e funzioni. . . 236

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6 Corso di Analisi Matematica 1 – A.A. 2014/2015

Lezione 001

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