R3|12p x2+ y2 ≤ 1 − z ≤p x2+ y2, z ≥ 0} 2

(1)

Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica M/Z

Prova scritta parziale di Analisi Matematica 2 del 8 giugno 2019

1. Calcolare Z Z Z

C

x + 1 dxdydz dove

C = {(x, y, z) ∈ R³|¹₂p

x²+ y² ≤ 1 − z ≤p

x²+ y², z ≥ 0}

2. Determinare la soluzione del problema di Cauchy







y⁰⁰− 2y⁰+ 5y = 2 sin x − cos x y(0) = 2

y⁰(0) = ¹₂

Risoluzione

1. Per calcolare Z Z Z

C

x + 1 dxdydz dove

C = {(x, y, z) ∈ R³|¹₂p

x²+ y² ≤ 1 − z ≤p

x²+ y², z ≥ 0}

possiamo procedere integrando per strati. Osserviamo che C `e il solido compreso tra i coni circolari (z − 1)² = x²+ y² e 4(z − 1)² = x²+ y² con z ∈ [0, 1]

z

y x

1 1

2

Abbiamo che C = {(x, y, z) ∈ R³| z ∈ [0, 1], (x, y) ∈ C_z} dove

C_z = {(x, y) ∈ R² | (z − 1)² ≤ x² + y² ≤ 4(z − 1)², z ∈ [0, 1]}

1

(2)

`

e una corona circolare per ogni z ∈ [0, 1]. Si ha pertanto Z Z Z

C

x + 1 dxdydz = Z 1

0

( Z Z

Cz

x + 1 dxdy)dz e per calcolare l’integrale doppio possiamo utilizzare le coordinate polari

Φ :

(x = ρ cos θ y = ρ sin θ

Abbiamo che C_z = Φ(T_z) dove T_z = {(ρ, θ) | ρ ∈ [1 − z, 2(1 − z)], θ ∈ [0, 2π]} per ogni z ∈ [0, 1]. Dalla formula di cambiamento di variabili otteniamo

Z Z

Cz

x + 1 dxdy = Z Z

Tz

ρ(ρ cos θ + 1) dρdθ =

Z 2(1−z) 1−z

Z 2π 0

ρ²cos θ + ρ dθ

dρ

= π

Z 2(1−z) 1−z

2ρ dρ = πρ²2(1−z)

1−z = 3π(1 − z)² e pertanto

Z Z Z

C

x + 1 dxdydz = Z 1

0

( Z Z

Cz

x + 1 dxdy)dz = Z 1

0

3π(1 − z)²dz = π(z − 1)³1 0 = π In alternativa, volendo integrare per fili, osserviamo che C = C⁺∪ C⁻ con

C⁺ = {(x, y, z) ∈ R³ | (x, y) ∈ D, 1 −p

x²+ y² ≤ z ≤ 1 −¹₂p

x²+ y²} dove D = {(x, y) ∈ R² | x²+ y² ≤ 1} e

C⁻= {(x, y, z) ∈ R³ | (x, y) ∈ C, 0 ≤ z ≤ 1 − ¹₂p

x²+ y²} dove C = {(x, y) ∈ R² | 1 ≤ x²+ y² ≤ 4}

z

y x

1 1

2 C

D C⁺

C⁻

2

(3)

In tal caso, dalle propriet`a di additivit`a otteniamo Z Z Z

C

x + 1 dxdydz = Z Z Z

C⁺

x + 1 dxdydz + Z Z Z

C⁻

x + 1 dxdydz

= Z Z

D

( Z 1−¹₂

√

x²+y² 1−

√

x²+y²

x + 1 dz)dxdy + Z Z

C

( Z 1−¹₂

√

x²+y² 0

x + 1 dz)dxdy

= Z Z

D

(x + 1)¹₂p

x²+ y²) dxdy + Z Z

C

(x + 1)(1 − ¹₂p

x²+ y²) dxdy Utilizzando le coordinate polari per calcolare gli integrali doppi, otteniamo

Z Z Z

C

x + 1 dxdydz = ¹₂ Z Z

[0,1]×[0,2π]

ρ²(ρ cos θ + 1) dρdθ +

Z Z

[1,2]×[0,2π]

ρ(ρ cos θ + 1)(1 − ¹₂ρ) dρdθ

= ¹₂ Z 1

0

( Z 2π

0

ρ²(ρ cos θ + 1) dθ)dρ +

Z 2 1

( Z 2π

0

ρ(ρ cos θ + 1)(1 −¹₂ρ) dθ)dρ

= π Z 1

0

ρ²dρ + 2π Z 2

1

ρ(1 −¹₂ρ) dρ = π hρ³

3

i1 0+ 2π

hρ²

2 −^ρ₆³i2 1 = π Come ulteriore possibilit`a, si poteva osservare che C = C1\ C2 dove

C₁ = {(x, y, z) ∈ R³ | (x, y) ∈ D₁, 0 ≤ z ≤ 1 − ¹₂p

x²+ y²} con D₁ = {(x, y) ∈ R² | x²+ y² ≤ 4} e

C₂ = {(x, y, z) ∈ R³ | (x, y) ∈ D₁, 0 ≤ z ≤ 1 −p

x²+ y²}

dove D₂ = {(x, y) ∈ R² | x² + y² ≤ 1}. Integrando per fili e utilizzando le coordinate polari per calcolare l’integrale doppio otteniamo

Z Z Z

C

x + 1 dxdydz = Z Z Z

C₁

x + 1 dxdydz − Z Z Z

C₂

x + 1 dxdydz

= Z Z

D1

(

Z 1−¹₂√

x²+y² 0

x + 1 dz)dxdy − Z Z

D2

( Z 1−√

x²+y² 0

x + 1 dz)dxdy

= Z Z

D1

(1 −¹₂p

x²+ y²)(x + 1)dxdy − Z Z

D2

(1 −p

x²+ y²)(x + 1)dxdy

3

(4)

= Z 2

0

( Z 2π

0

(1 − ¹₂ρ)(ρ cos θ + 1)ρ dθ)dρ − Z 1

0

( Z 2π

0

(1 − ρ)(ρ cos θ + 1)ρ dθ)dρ

= 2π Z 2

0

(1 −¹₂ρ)ρ dρ − 2π Z 1

0

(1 − ρ)ρ dρ

= π Z 2

0

2ρ − ρ²dρ − π Z 1

0

2ρ − 2ρ²dρ

= πh

ρ²− ^ρ₃³i2 0− πh

ρ²− ^2ρ₃³i1 0 = π

2. L’equazione y⁰⁰− 2y⁰+ 5y = 2 sin x − cos x `e equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenea. Per risolverla determiniamo innanzitutto l’integrale generale dell’equazione omogenea associata y⁰⁰ − 2y⁰ + 5y = 0. Il polinomio caratteristico associato, p(λ) = λ²− 2λ + 5, ha radici complesse coniugate date da 1 ± 2i.

L’integrale generale dell’equazione omogenea `e dunque

y0(x) = e^x(c1cos(2x) + c2sin(2x)), dove c₁, c₂ ∈ R sono costanti arbitrarie.

Cerchiamo ora una soluzione particolare dell’equazione non omogenea. Utilizzando il metodo della somiglianza, cerchiamo tale soluzione della forma yp(x) = A cos x + B sin x (non siamo in un caso risonante). Derivando due volte e sostituendo nell’equazione otteniamo A = 0 e B = ¹₂. Dunque, la soluzione particolare cercata `e

y_p(x) = ¹₂sin x e l’integrale generale dell’equazione data `e

y(x) = y₀(x) + y_p(x) = e^x(c₁cos(2x) + c₂sin(2x)) + ¹₂sin x

dove c₁, c₂ ∈ R sono costanti arbitrarie. Determiniamo ora c1 e c₂ di modo che risultino soddisfatte le condizioni iniziali y(0) = 2 e y⁰(0) = ¹₂:

(y(0) = c₁ = 2

y⁰(0) = c₁+ 2c₂+¹₂ = ¹₂ ⇔

(c₁ = 2 c₂ = −1 La soluzione del problema di Cauchy proposto `e quindi

y(x) = e^x(2 cos(2x) − sin(2x)) + ¹₂sin x

4