La teoria descrittiva degli insiemi, da Cantor a Wadge e oltre

(1)

La teoria descrittiva degli insiemi, da Cantor a

Wadge e oltre

(2)

La teoria descrittiva degli insiemi (DST)

` E lo studio delle propriet` a strutturali dei sottoinsiemi

della retta reale (o degli spazi euclidei, o di altri spazi interessanti).

(3)

La teoria descrittiva degli insiemi (DST)

` E lo studio delle propriet` a strutturali dei sottoinsiemi

della retta reale (o degli spazi euclidei, o di altri spazi interessanti).

(4)

La teoria descrittiva degli insiemi (DST)

` E lo studio delle propriet` a strutturali dei sottoinsiemi definibili della retta reale (o degli spazi euclidei, o di altri spazi interessanti).

(cf., e.g., A. Kanamori, The emergence of descriptive set theory)

(5)

La teoria descrittiva degli insiemi (DST)

` E lo studio delle propriet` a strutturali dei sottoinsiemi semplici della retta reale (o degli spazi euclidei, o di altri spazi interessanti).

(cf., e.g., A. Kanamori, The emergence of descriptive set theory)

L’idea di base ` e: alcune questioni difficili riguardanti insiemi arbitrari,

potrebbero essere pi` u facili se limitate a insiemi sufficientemente semplici.

(6)

La teoria descrittiva degli insiemi (DST)

` E lo studio delle propriet` a strutturali dei sottoinsiemi semplici della retta reale (o degli spazi euclidei, o di altri spazi interessanti).

(cf., e.g., A. Kanamori, The emergence of descriptive set theory)

L’idea di base ` e: alcune questioni difficili riguardanti insiemi arbitrari,

potrebbero essere pi` u facili se limitate a insiemi sufficientemente semplici.

(7)

La teoria descrittiva degli insiemi (DST)

` E lo studio delle propriet` a strutturali dei sottoinsiemi semplici/complicati della retta reale (o degli spazi euclidei, o di altri spazi interessanti).

(cf., e.g., A. Kanamori, The emergence of descriptive set theory) L’idea di base ` e: alcune questioni difficili riguardanti insiemi arbitrari, potrebbero essere pi` u facili se limitate a insiemi sufficientemente semplici.

Nota: ` e spesso preferibile che anche gli spazi siano maneggevoli — e.g.,

spazi polacchi.

(8)

La teoria descrittiva degli insiemi (DST)

` E lo studio delle propriet` a strutturali dei sottoinsiemi semplici/complicati della retta reale (o degli spazi euclidei, o di altri spazi interessanti).

(cf., e.g., A. Kanamori, The emergence of descriptive set theory) L’idea di base ` e: alcune questioni difficili riguardanti insiemi arbitrari, potrebbero essere pi` u facili se limitate a insiemi sufficientemente semplici.

Nota: ` e spesso preferibile che anche gli spazi siano maneggevoli — e.g.,

spazi polacchi.

(9)

Nomi, date, luoghi

L’epoca pionieristica: Parigi

Emile Borel ´ (1898) Ren´ e Baire (1899 − 1909) Henri Lebesgue (1902 − 1905) Nikolai Luzin

La stabilizzazione codificata:

Felix Hausdorff (1914: Grundz¨ uge der Mergenlehre) DST come disciplina autonoma: Mosca

Nikolai Luzin (1914)

Wac law Sierpi´ nski (1915)

Pawel Alexandrov (1916)

Mikhail Suslin (1917)

(10)

Nomi, date, luoghi

L’epoca pionieristica: Parigi

Emile Borel ´ (1898) Ren´ e Baire (1899 − 1909) Henri Lebesgue (1902 − 1905) Nikolai Luzin

La stabilizzazione codificata:

Felix Hausdorff (1914: Grundz¨ uge der Mergenlehre) DST come disciplina autonoma: Mosca

Nikolai Luzin (1914)

Wac law Sierpi´ nski (1915)

Pawel Alexandrov (1916)

Mikhail Suslin (1917)

(11)

Nomi, date, luoghi

L’epoca pionieristica: Parigi

Emile Borel ´ (1898) Ren´ e Baire (1899 − 1909) Henri Lebesgue (1902 − 1905)

Nikolai Luzin La stabilizzazione codificata:

Felix Hausdorff (1914: Grundz¨ uge der Mergenlehre) DST come disciplina autonoma: Mosca

Nikolai Luzin (1914)

Wac law Sierpi´ nski (1915)

Pawel Alexandrov (1916)

Mikhail Suslin (1917)

(12)

Nomi, date, luoghi

L’epoca pionieristica: Parigi

Emile Borel ´ (1898) Ren´ e Baire (1899 − 1909) Henri Lebesgue (1902 − 1905) Nikolai Luzin

La stabilizzazione codificata:

Felix Hausdorff (1914: Grundz¨ uge der Mergenlehre) DST come disciplina autonoma: Mosca

Nikolai Luzin (1914)

Wac law Sierpi´ nski (1915)

Pawel Alexandrov (1916)

Mikhail Suslin (1917)

(13)

Nomi, date, luoghi

L’epoca pionieristica: Parigi

Emile Borel ´ (1898) Ren´ e Baire (1899 − 1909) Henri Lebesgue (1902 − 1905) Nikolai Luzin

La stabilizzazione codificata:

Felix Hausdorff (1914: Grundz¨ uge der Mergenlehre)

DST come disciplina autonoma: Mosca

Nikolai Luzin (1914)

Wac law Sierpi´ nski (1915)

Pawel Alexandrov (1916)

Mikhail Suslin (1917)

(14)

Nomi, date, luoghi

L’epoca pionieristica: Parigi

Emile Borel ´ (1898) Ren´ e Baire (1899 − 1909) Henri Lebesgue (1902 − 1905) Nikolai Luzin

La stabilizzazione codificata:

Felix Hausdorff (1914: Grundz¨ uge der Mergenlehre) DST come disciplina autonoma: Mosca

Nikolai Luzin (1914)

Wac law Sierpi´ nski (1915)

Pawel Alexandrov (1916)

Mikhail Suslin (1917)

(15)

Nomi, date, luoghi

L’epoca pionieristica: Parigi

Emile Borel ´ (1898) Ren´ e Baire (1899 − 1909) Henri Lebesgue (1902 − 1905) Nikolai Luzin

La stabilizzazione codificata:

Felix Hausdorff (1914: Grundz¨ uge der Mergenlehre) DST come disciplina autonoma: Mosca

Nikolai Luzin (1914)

Wac law Sierpi´ nski (1915)

Pawel Alexandrov (1916)

Mikhail Suslin (1917)

(16)

Nomi, date, luoghi

L’epoca pionieristica: Parigi

Emile Borel ´ (1898) Ren´ e Baire (1899 − 1909) Henri Lebesgue (1902 − 1905) Nikolai Luzin

La stabilizzazione codificata:

Felix Hausdorff (1914: Grundz¨ uge der Mergenlehre) DST come disciplina autonoma: Mosca

Nikolai Luzin (1914) Wac law Sierpi´ nski (1915)

Pawel Alexandrov (1916)

Mikhail Suslin (1917)

(17)

Nomi, date, luoghi

L’epoca pionieristica: Parigi

Emile Borel ´ (1898) Ren´ e Baire (1899 − 1909) Henri Lebesgue (1902 − 1905) Nikolai Luzin

La stabilizzazione codificata:

Felix Hausdorff (1914: Grundz¨ uge der Mergenlehre) DST come disciplina autonoma: Mosca

Nikolai Luzin (1914)

Wac law Sierpi´ nski (1915)

Pawel Alexandrov (1916)

Mikhail Suslin (1917)

(18)

La radice: Cantor

Sebbene disciplina autonoma, DST ` e strettamente connesso alla teoria degli insiemi generale, fin dalla sua radice:

il teorema dell’insieme perfetto di Cantor Cantor (1883, 1884); Bendixson (1883)

Se C ` e un sottoinsieme chiuso della retta reale, allora C = P ∪ N, dove: P ` e un chiuso senza punti isolati

C ` e numerabile, cio` e ` e finito o in bijezione con N

(19)

La radice: Cantor

Sebbene disciplina autonoma, DST ` e strettamente connesso alla teoria degli insiemi generale, fin dalla sua radice:

il teorema dell’insieme perfetto di Cantor Cantor (1883, 1884); Bendixson (1883)

Se C ` e un sottoinsieme chiuso della retta reale, allora C = P ∪ N, dove:

P ` e un chiuso senza punti isolati

C ` e numerabile, cio` e ` e finito o in bijezione con N

(20)

La radice: Cantor

Sebbene disciplina autonoma, DST ` e strettamente connesso alla teoria degli insiemi generale, fin dalla sua radice:

il teorema dell’insieme perfetto di Cantor Cantor (1883, 1884); Bendixson (1883)

Se C ` e un sottoinsieme chiuso della retta reale, allora C = P ∪ N, dove:

P ` e un chiuso senza punti isolati

C ` e numerabile, cio` e ` e finito o in bijezione con N

(21)

Il seme: Riemann

Una serie trigonometrica ` e un’espressione della forma

+∞

X

n=−∞

c _n e ^inz , z ∈ S ¹ , c _n ∈ C

Riemann nel suo Habilitationsschrift (1854) ha iniziato lo studio delle funzioni rappresentabili mediante serie trigonometriche:

f (z) =

+∞

X

n=−∞

c n e ^inz

Problema dell’unicit` a: Se f ` e rappresentabile mediante serie trigonometriche, la sua rappresentazione ` e unica?

Equivalentemente: se f = P +∞

n=−∞ c n e ^inz ` e la funzione nulla, segue che tutti i coefficienti c n sono nulli?

Heine ha suggerito a Cantor di studiare questo problema.

(22)

Il seme: Riemann

Una serie trigonometrica ` e un’espressione della forma

+∞

X

n=−∞

c _n e ^inz ,

z ∈ S ¹ , c _n ∈ C

Riemann nel suo Habilitationsschrift (1854) ha iniziato lo studio delle funzioni rappresentabili mediante serie trigonometriche:

f (z) =

+∞

X

n=−∞

c n e ^inz

Problema dell’unicit` a: Se f ` e rappresentabile mediante serie trigonometriche, la sua rappresentazione ` e unica?

Equivalentemente: se f = P +∞

n=−∞ c n e ^inz ` e la funzione nulla, segue che tutti i coefficienti c n sono nulli?

Heine ha suggerito a Cantor di studiare questo problema.

(23)

Il seme: Riemann

Una serie trigonometrica ` e un’espressione della forma

+∞

X

n=−∞

c _n e ^inz , z ∈ S ¹ , c _n ∈ C

Riemann nel suo Habilitationsschrift (1854) ha iniziato lo studio delle funzioni rappresentabili mediante serie trigonometriche:

f (z) =

+∞

X

n=−∞

c n e ^inz

Problema dell’unicit` a: Se f ` e rappresentabile mediante serie trigonometriche, la sua rappresentazione ` e unica?

Equivalentemente: se f = P +∞

n=−∞ c n e ^inz ` e la funzione nulla, segue che tutti i coefficienti c n sono nulli?

Heine ha suggerito a Cantor di studiare questo problema.

(24)

Il seme: Riemann

Una serie trigonometrica ` e un’espressione della forma

+∞

X

n=−∞

c _n e ^inz , z ∈ S ¹ , c _n ∈ C

Riemann nel suo Habilitationsschrift (1854) ha iniziato lo studio delle funzioni rappresentabili mediante serie trigonometriche:

f (z) =

+∞

X

n=−∞

c n e ^inz

Problema dell’unicit` a: Se f ` e rappresentabile mediante serie trigonometriche, la sua rappresentazione ` e unica?

Equivalentemente: se f = P +∞

n=−∞ c n e ^inz ` e la funzione nulla, segue che tutti i coefficienti c n sono nulli?

Heine ha suggerito a Cantor di studiare questo problema.

(25)

Il seme: Riemann

Una serie trigonometrica ` e un’espressione della forma

+∞

X

n=−∞

c _n e ^inz , z ∈ S ¹ , c _n ∈ C

Riemann nel suo Habilitationsschrift (1854) ha iniziato lo studio delle funzioni rappresentabili mediante serie trigonometriche:

f (z) =

+∞

X

n=−∞

c n e ^inz

Problema dell’unicit` a: Se f ` e rappresentabile mediante serie trigonometriche, la sua rappresentazione ` e unica?

Equivalentemente: se f = P +∞

n=−∞ c n e ^inz ` e la funzione nulla, segue che tutti i coefficienti c n sono nulli?

Heine ha suggerito a Cantor di studiare questo problema.

(26)

Il seme: Riemann

Una serie trigonometrica ` e un’espressione della forma

+∞

X

n=−∞

c _n e ^inz , z ∈ S ¹ , c _n ∈ C

Riemann nel suo Habilitationsschrift (1854) ha iniziato lo studio delle funzioni rappresentabili mediante serie trigonometriche:

f (z) =

+∞

X

n=−∞

c n e ^inz

Problema dell’unicit` a: Se f ` e rappresentabile mediante serie trigonometriche, la sua rappresentazione ` e unica?

Equivalentemente: se f = P +∞

n=−∞ c n e ^inz ` e la funzione nulla, segue che tutti i coefficienti c n sono nulli?

Heine ha suggerito a Cantor di studiare questo problema.

(27)

Il seme: Riemann

Una serie trigonometrica ` e un’espressione della forma

+∞

X

n=−∞

c _n e ^inz , z ∈ S ¹ , c _n ∈ C

Riemann nel suo Habilitationsschrift (1854) ha iniziato lo studio delle funzioni rappresentabili mediante serie trigonometriche:

f (z) =

+∞

X

n=−∞

c n e ^inz

Problema dell’unicit` a: Se f ` e rappresentabile mediante serie trigonometriche, la sua rappresentazione ` e unica?

Equivalentemente: se f = P +∞

n=−∞ c n e ^inz ` e la funzione nulla, segue che tutti i coefficienti c n sono nulli?

Heine ha suggerito a Cantor di studiare questo problema.

(28)

Due altre questioni

Problema della caratterizzazione. Si possono caratterizzare le funzioni (o almeno le funzioni continue) che ammettono espansione

trigonometrica?

Problema dei coefficienti. Come si possono calcolare i coefficienti a partire dalla funzione?

I Se una funzione integrabile ` e rappresentabile con serie

trigonometriche, allora i suoi coefficienti sono i coefficienti di Fourier (de la Vall´ ee-Poussin). Ci sono per` o serie convergenti come

P ∞ n=2

sin nx

log n la cui somma non ` e integrabile.

Denjoy, dal 1941 al 1949 ha scritto un libro di 700 pagine che

descrive una procedura generale per il calcolo dei coefficienti.

(29)

Due altre questioni

Problema della caratterizzazione. Si possono caratterizzare le funzioni (o almeno le funzioni continue) che ammettono espansione

trigonometrica?

Problema dei coefficienti. Come si possono calcolare i coefficienti a partire dalla funzione?

I Se una funzione integrabile ` e rappresentabile con serie

trigonometriche, allora i suoi coefficienti sono i coefficienti di Fourier (de la Vall´ ee-Poussin). Ci sono per` o serie convergenti come

P ∞ n=2

sin nx

log n la cui somma non ` e integrabile.

Denjoy, dal 1941 al 1949 ha scritto un libro di 700 pagine che

descrive una procedura generale per il calcolo dei coefficienti.

(30)

Due altre questioni

Problema della caratterizzazione. Si possono caratterizzare le funzioni (o almeno le funzioni continue) che ammettono espansione

trigonometrica?

Problema dei coefficienti. Come si possono calcolare i coefficienti a partire dalla funzione?

I Se una funzione integrabile ` e rappresentabile con serie

trigonometriche, allora i suoi coefficienti sono i coefficienti di Fourier (de la Vall´ ee-Poussin).

Ci sono per` o serie convergenti come P ∞

n=2 sin nx

log n la cui somma non ` e integrabile.

Denjoy, dal 1941 al 1949 ha scritto un libro di 700 pagine che

descrive una procedura generale per il calcolo dei coefficienti.

(31)

Due altre questioni

Problema della caratterizzazione. Si possono caratterizzare le funzioni (o almeno le funzioni continue) che ammettono espansione

trigonometrica?

Problema dei coefficienti. Come si possono calcolare i coefficienti a partire dalla funzione?

I Se una funzione integrabile ` e rappresentabile con serie

trigonometriche, allora i suoi coefficienti sono i coefficienti di Fourier (de la Vall´ ee-Poussin). Ci sono per` o serie convergenti come

P ∞ n=2

sin nx

log n la cui somma non ` e integrabile.

Denjoy, dal 1941 al 1949 ha scritto un libro di 700 pagine che

descrive una procedura generale per il calcolo dei coefficienti.

(32)

Due altre questioni

Problema della caratterizzazione. Si possono caratterizzare le funzioni (o almeno le funzioni continue) che ammettono espansione

trigonometrica?

Problema dei coefficienti. Come si possono calcolare i coefficienti a partire dalla funzione?

I Se una funzione integrabile ` e rappresentabile con serie

trigonometriche, allora i suoi coefficienti sono i coefficienti di Fourier (de la Vall´ ee-Poussin). Ci sono per` o serie convergenti come

P ∞ n=2

sin nx

log n la cui somma non ` e integrabile.

Denjoy, dal 1941 al 1949 ha scritto un libro di 700 pagine che

descrive una procedura generale per il calcolo dei coefficienti.

(33)

Insiemi di unicit` a

Teorema. (Cantor, 1870) Se P +∞

n=−∞ c _n e ^inz = 0 per ogni z ∈ S ¹ , allora c _n = 0 per ogni n.

Definizione. A ⊆ S ¹ ` e un insieme di unicit` a se

+∞

X

n=−∞

c n e ^inz = 0 per ogni z ∈ S ¹ \ A

implica che c n = 0 per ogni n.

Il teorema precedente asserisce che ∅ ` e un insieme di unicit` a.

Problema. Quali sono gli insiemi di unicit` a?

(34)

Insiemi di unicit` a

Teorema. (Cantor, 1870) Se P +∞

n=−∞ c _n e ^inz = 0 per ogni z ∈ S ¹ , allora c _n = 0 per ogni n.

Definizione. A ⊆ S ¹ ` e un insieme di unicit` a se

+∞

X

n=−∞

c n e ^inz = 0 per ogni z ∈ S ¹ \ A

implica che c n = 0 per ogni n.

Il teorema precedente asserisce che ∅ ` e un insieme di unicit` a.

Problema. Quali sono gli insiemi di unicit` a?

(35)

Insiemi di unicit` a

Teorema. (Cantor, 1870) Se P +∞

n=−∞ c _n e ^inz = 0 per ogni z ∈ S ¹ , allora c _n = 0 per ogni n.

Definizione. A ⊆ S ¹ ` e un insieme di unicit` a se

+∞

X

n=−∞

c n e ^inz = 0 per ogni z ∈ S ¹ \ A

implica che c n = 0 per ogni n.

Il teorema precedente asserisce che ∅ ` e un insieme di unicit` a.

Problema. Quali sono gli insiemi di unicit` a?

(36)

Un po’ di topologia

Sia X uno spazio metrico X (e.g., S ¹ , R, R ⁿ , . . .) e sia A ⊆ X .

Supponiamo che A abbia la propriet` a seguente:

ogni punto arbitrariamente vicino a qualche punto di A appartiene ad A

Allora A ` e un insieme chiuso.

(37)

Un po’ di topologia

Sia X uno spazio metrico X (e.g., S ¹ , R, R ⁿ , . . .) e sia A ⊆ X . Supponiamo che A abbia la propriet` a seguente:

ogni punto arbitrariamente vicino a qualche punto di A appartiene ad A

Allora A ` e un insieme chiuso.

(38)

Un po’ di topologia

Sia X uno spazio metrico X (e.g., S ¹ , R, R ⁿ , . . .) e sia A ⊆ X . Supponiamo che A abbia la propriet` a seguente:

ogni punto arbitrariamente vicino a qualche punto di A appartiene ad A

Allora A ` e un insieme chiuso.

(39)

Un po’ di topologia

Sia X uno spazio metrico X (e.g., S ¹ , R, R ⁿ , . . .) e sia A ⊆ X . Supponiamo che A abbia la propriet` a seguente:

ogni punto arbitrariamente vicino a qualche punto di A appartiene ad A

Allora A ` e un insieme chiuso.

(40)

Insiemi chiusi

Esempi. In R:

I

. . . 1 5 , 1

4 , 1 3 , 1

2 , 1

= 1 n | n > 0

non ` e chiuso.

0, . . . , 1

5 , 1 4 , 1

3 , 1 2 , 1

= {0} ∪ 1 n | n > 0

` e chiuso.

I ]0, 1[ non ` e chiuso; [0, 1] ` e chiuso.

(41)

Insiemi chiusi

Esempi. In R:

I

. . . 1 5 , 1

4 , 1 3 , 1

2 , 1

= 1 n | n > 0

non ` e chiuso.

0, . . . , 1

5 , 1 4 , 1

3 , 1 2 , 1

= {0} ∪ 1 n | n > 0

` e chiuso.

I ]0, 1[ non ` e chiuso; [0, 1] ` e chiuso.

(42)

Insiemi chiusi

Esempi. In R:

I

. . . 1 5 , 1

4 , 1 3 , 1

2 , 1

= 1 n | n > 0

non ` e chiuso.

0, . . . , 1

5 , 1 4 , 1

3 , 1 2 , 1

= {0} ∪ 1 n | n > 0

` e chiuso.

I ]0, 1[ non ` e chiuso

; [0, 1] ` e chiuso.

(43)

Insiemi chiusi

Esempi. In R:

I

. . . 1 5 , 1

4 , 1 3 , 1

2 , 1

= 1 n | n > 0

non ` e chiuso.

0, . . . , 1

5 , 1 4 , 1

3 , 1 2 , 1

= {0} ∪ 1 n | n > 0

` e chiuso.

I ]0, 1[ non ` e chiuso; [0, 1] ` e chiuso.

(44)

Restringere il problema

Il problema dell’unicit` a in generale appare molto complicato. Cosa si pu` o dire per gli insiemi chiusi?

Problema dell’unicit` a per insiemi chiusi. Quali sottoinsiemi chiusi di

S ¹ sono insiemi di unicit` a?

(45)

Ancora un po’ di topologia

Siano X uno spazio metrico, e A ⊆ X .

Un punto x ∈ A ` e un punto isolato di A se

∃ε > 0 ∀y (0 < d (x, y ) < ε ⇒ y / ∈ A) Esempio. In

A =

0, . . . , 1

5 , 1 4 , 1

3 , 1 2 , 1

i punti ¹ _n sono isolati; il punto 0 non ` e isolato.

(46)

Ancora un po’ di topologia

Siano X uno spazio metrico, e A ⊆ X . Un punto x ∈ A ` e un punto isolato di A

se

∃ε > 0 ∀y (0 < d (x, y ) < ε ⇒ y / ∈ A) Esempio. In

A =

0, . . . , 1

5 , 1 4 , 1

3 , 1 2 , 1

i punti ¹ _n sono isolati; il punto 0 non ` e isolato.

(47)

Ancora un po’ di topologia

Siano X uno spazio metrico, e A ⊆ X . Un punto x ∈ A ` e un punto isolato di A se

∃ε > 0 ∀y (0 < d (x, y ) < ε ⇒ y / ∈ A)

Esempio. In

A =

0, . . . , 1

5 , 1 4 , 1

3 , 1 2 , 1

i punti ¹ _n sono isolati; il punto 0 non ` e isolato.

(48)

Ancora un po’ di topologia

Siano X uno spazio metrico, e A ⊆ X . Un punto x ∈ A ` e un punto isolato di A se

∃ε > 0 ∀y (0 < d (x, y ) < ε ⇒ y / ∈ A) Esempio. In

A =

0, . . . , 1

5 , 1 4 , 1

3 , 1 2 , 1

i punti ¹ _n sono isolati; il punto 0 non ` e isolato.

(49)

Ancora un po’ di topologia

Siano X uno spazio metrico, e A ⊆ X . Un punto x ∈ A ` e un punto isolato di A se

∃ε > 0 ∀y (0 < d (x, y ) < ε ⇒ y / ∈ A) Esempio. In

A =

0, . . . , 1

5 , 1 4 , 1

3 , 1 2 , 1

i punti ¹ _n sono isolati

; il punto 0 non ` e isolato.

(50)

Ancora un po’ di topologia

Siano X uno spazio metrico, e A ⊆ X . Un punto x ∈ A ` e un punto isolato di A se

∃ε > 0 ∀y (0 < d (x, y ) < ε ⇒ y / ∈ A) Esempio. In

A =

0, . . . , 1

5 , 1 4 , 1

3 , 1 2 , 1

i punti ¹ _n sono isolati; il punto 0 non ` e isolato.

(51)

Insiemi perfetti

Un insieme chiuso, non vuoto, senza punti isolati si dice perfetto.

Esempi.

I [0, 1] ` e un insieme perfetto

I L’insieme di Cantor ( _∞

X

n=1

a n

3 ⁿ | ∀n a n ∈ {0, 2} )

`

e un insieme perfetto

I L’insieme − ¹ ₂ , − ¹ ₃ , − ¹ ₄ , . . . ∪ [0, 1] non `e un insieme perfetto.

(52)

Insiemi perfetti

Un insieme chiuso, non vuoto, senza punti isolati si dice perfetto.

Esempi.

I [0, 1] ` e un insieme perfetto

I L’insieme di Cantor ( _∞

X

n=1

a n

3 ⁿ | ∀n a n ∈ {0, 2} )

`

e un insieme perfetto

I L’insieme − ¹ ₂ , − ¹ ₃ , − ¹ ₄ , . . . ∪ [0, 1] non `e un insieme perfetto.

(53)

Insiemi perfetti

Un insieme chiuso, non vuoto, senza punti isolati si dice perfetto.

Esempi.

I [0, 1] ` e un insieme perfetto

I L’insieme di Cantor ( _∞

X

n=1

a n

3 ⁿ | ∀n a n ∈ {0, 2}

)

`

e un insieme perfetto

I L’insieme − ¹ ₂ , − ¹ ₃ , − ¹ ₄ , . . . ∪ [0, 1] non `e un insieme perfetto.

(54)

Insiemi perfetti

Un insieme chiuso, non vuoto, senza punti isolati si dice perfetto.

Esempi.

I [0, 1] ` e un insieme perfetto

I L’insieme di Cantor ( _∞

X

n=1

a n

3 ⁿ | ∀n a n ∈ {0, 2}

)

`

e un insieme perfetto

I L’insieme − ¹ ₂ , − ¹ ₃ , − ¹ ₄ , . . . ∪ [0, 1] non `e un insieme perfetto.

(55)

Insiemi perfetti

Un insieme chiuso, non vuoto, senza punti isolati si dice perfetto.

Esempi.

I [0, 1] ` e un insieme perfetto

I L’insieme di Cantor ( _∞

X

n=1

a n

3 ⁿ | ∀n a n ∈ {0, 2}

)

`

e un insieme perfetto

I L’insieme − ¹ ₂ , − ¹ ₃ , − ¹ ₄ , . . . ∪ [0, 1] non `e un insieme perfetto.

(56)

La derivata di Cantor-Bendixson

Sia X uno spazio metrico polacco, e.g.: S ¹ , R, R ⁿ , . . . Dato A ⊆ X , l’insieme derivato di A ` e l’insieme

A ⁰ = A \ {punti isolati di A} Esempi.

I Se A non ha punti isolati, allora A ⁰ = A

I Se A = 0, . . . , ¹ ₅ , ¹ ₄ , ¹ ₃ , ¹ ₂ , 1 , allora A ⁰ = {0}

I Se A = − ¹ ₂ , − ¹ ₃ , − ¹ ₄ , . . . ∪ [0, 1], allora A ⁰ = [0, 1]

I Se A = 0, . . . , ¹ ₅ , ¹ ₄ , ¹ ₃ , ¹ ₂ , 1 ∪ ¹ _n + _n

m+1

¹ | n, m > 0 , allora A ⁰ = 0, . . . , ¹ ₅ , ¹ ₄ , ¹ ₃ , ¹ ₂ , 1

Nota. Se A ` e chiuso, anche A ⁰ ` e chiuso.

(57)

La derivata di Cantor-Bendixson

Sia X uno spazio metrico polacco, e.g.: S ¹ , R, R ⁿ , . . .

Dato A ⊆ X , l’insieme derivato di A ` e l’insieme A ⁰ = A \ {punti isolati di A} Esempi.

I Se A non ha punti isolati, allora A ⁰ = A

I Se A = 0, . . . , ¹ ₅ , ¹ ₄ , ¹ ₃ , ¹ ₂ , 1 , allora A ⁰ = {0}

I Se A = − ¹ ₂ , − ¹ ₃ , − ¹ ₄ , . . . ∪ [0, 1], allora A ⁰ = [0, 1]

I Se A = 0, . . . , ¹ ₅ , ¹ ₄ , ¹ ₃ , ¹ ₂ , 1 ∪ ¹ _n + _n

m+1

¹ | n, m > 0 , allora A ⁰ = 0, . . . , ¹ ₅ , ¹ ₄ , ¹ ₃ , ¹ ₂ , 1

Nota. Se A ` e chiuso, anche A ⁰ ` e chiuso.

(58)

La derivata di Cantor-Bendixson

Sia X uno spazio metrico polacco, e.g.: S ¹ , R, R ⁿ , . . . Dato A ⊆ X , l’insieme derivato di A ` e l’insieme

A ⁰ = A \ {punti isolati di A}

Esempi.

I Se A non ha punti isolati, allora A ⁰ = A

I Se A = 0, . . . , ¹ ₅ , ¹ ₄ , ¹ ₃ , ¹ ₂ , 1 , allora A ⁰ = {0}

I Se A = − ¹ ₂ , − ¹ ₃ , − ¹ ₄ , . . . ∪ [0, 1], allora A ⁰ = [0, 1]

I Se A = 0, . . . , ¹ ₅ , ¹ ₄ , ¹ ₃ , ¹ ₂ , 1 ∪ ¹ _n + _n

m+1

¹ | n, m > 0 , allora A ⁰ = 0, . . . , ¹ ₅ , ¹ ₄ , ¹ ₃ , ¹ ₂ , 1

Nota. Se A ` e chiuso, anche A ⁰ ` e chiuso.

(59)

La derivata di Cantor-Bendixson

Sia X uno spazio metrico polacco, e.g.: S ¹ , R, R ⁿ , . . . Dato A ⊆ X , l’insieme derivato di A ` e l’insieme

A ⁰ = A \ {punti isolati di A}

Esempi.

I Se A non ha punti isolati, allora A ⁰ = A

I Se A = 0, . . . , ¹ ₅ , ¹ ₄ , ¹ ₃ , ¹ ₂ , 1 , allora A ⁰ = {0}

I Se A = − ¹ ₂ , − ¹ ₃ , − ¹ ₄ , . . . ∪ [0, 1], allora A ⁰ = [0, 1]

I Se A = 0, . . . , ¹ ₅ , ¹ ₄ , ¹ ₃ , ¹ ₂ , 1 ∪ ¹ _n + _n

m+1

¹ | n, m > 0 , allora A ⁰ = 0, . . . , ¹ ₅ , ¹ ₄ , ¹ ₃ , ¹ ₂ , 1

Nota. Se A ` e chiuso, anche A ⁰ ` e chiuso.

(60)

La derivata di Cantor-Bendixson

Sia X uno spazio metrico polacco, e.g.: S ¹ , R, R ⁿ , . . . Dato A ⊆ X , l’insieme derivato di A ` e l’insieme

A ⁰ = A \ {punti isolati di A}

Esempi.

I Se A non ha punti isolati, allora A ⁰ = A

I Se A = 0, . . . , ¹ ₅ , ¹ ₄ , ¹ ₃ , ¹ ₂ , 1 , allora A ⁰ = {0}

I Se A = − ¹ ₂ , − ¹ ₃ , − ¹ ₄ , . . . ∪ [0, 1], allora A ⁰ = [0, 1]

I Se A = 0, . . . , ¹ ₅ , ¹ ₄ , ¹ ₃ , ¹ ₂ , 1 ∪ ¹ _n + _n

m+1

¹ | n, m > 0 , allora A ⁰ = 0, . . . , ¹ ₅ , ¹ ₄ , ¹ ₃ , ¹ ₂ , 1

Nota. Se A ` e chiuso, anche A ⁰ ` e chiuso.

(61)

La derivata di Cantor-Bendixson

Sia X uno spazio metrico polacco, e.g.: S ¹ , R, R ⁿ , . . . Dato A ⊆ X , l’insieme derivato di A ` e l’insieme

A ⁰ = A \ {punti isolati di A}

Esempi.

I Se A non ha punti isolati, allora A ⁰ = A

I Se A = 0, . . . , ¹ ₅ , ¹ ₄ , ¹ ₃ , ¹ ₂ , 1 , allora A ⁰ = {0}

I Se A = − ¹ ₂ , − ¹ ₃ , − ¹ ₄ , . . . ∪ [0, 1], allora A ⁰ = [0, 1]

I Se A = 0, . . . , ¹ ₅ , ¹ ₄ , ¹ ₃ , ¹ ₂ , 1 ∪ ¹ _n + _n

m+1

¹ | n, m > 0 , allora A ⁰ = 0, . . . , ¹ ₅ , ¹ ₄ , ¹ ₃ , ¹ ₂ , 1

Nota. Se A ` e chiuso, anche A ⁰ ` e chiuso.

(62)

La derivata di Cantor-Bendixson

Sia X uno spazio metrico polacco, e.g.: S ¹ , R, R ⁿ , . . . Dato A ⊆ X , l’insieme derivato di A ` e l’insieme

A ⁰ = A \ {punti isolati di A}

Esempi.

I Se A non ha punti isolati, allora A ⁰ = A

I Se A = 0, . . . , ¹ ₅ , ¹ ₄ , ¹ ₃ , ¹ ₂ , 1 , allora A ⁰ = {0}

I Se A = − ¹ ₂ , − ¹ ₃ , − ¹ ₄ , . . . ∪ [0, 1], allora A ⁰ = [0, 1]

I Se A = 0, . . . , ¹ ₅ , ¹ ₄ , ¹ ₃ , ¹ ₂ , 1 ∪ ¹ _n + _n

m+1

¹ | n, m > 0 ,

allora A ⁰ = 0, . . . , ¹ ₅ , ¹ ₄ , ¹ ₃ , ¹ ₂ , 1

Nota. Se A ` e chiuso, anche A ⁰ ` e chiuso.

(63)

La derivata di Cantor-Bendixson

Sia X uno spazio metrico polacco, e.g.: S ¹ , R, R ⁿ , . . . Dato A ⊆ X , l’insieme derivato di A ` e l’insieme

A ⁰ = A \ {punti isolati di A}

Esempi.

I Se A non ha punti isolati, allora A ⁰ = A

I Se A = 0, . . . , ¹ ₅ , ¹ ₄ , ¹ ₃ , ¹ ₂ , 1 , allora A ⁰ = {0}

I Se A = − ¹ ₂ , − ¹ ₃ , − ¹ ₄ , . . . ∪ [0, 1], allora A ⁰ = [0, 1]

I Se A = 0, . . . , ¹ ₅ , ¹ ₄ , ¹ ₃ , ¹ ₂ , 1 ∪ ¹ _n + _n

m+1

¹ | n, m > 0 , allora A ⁰ = 0, . . . , ¹ ₅ , ¹ ₄ , ¹ ₃ , ¹ ₂ , 1

Nota. Se A ` e chiuso, anche A ⁰ ` e chiuso.

(64)

La derivata di Cantor-Bendixson

Sia X uno spazio metrico polacco, e.g.: S ¹ , R, R ⁿ , . . . Dato A ⊆ X , l’insieme derivato di A ` e l’insieme

A ⁰ = A \ {punti isolati di A}

Esempi.

I Se A non ha punti isolati, allora A ⁰ = A

I Se A = 0, . . . , ¹ ₅ , ¹ ₄ , ¹ ₃ , ¹ ₂ , 1 , allora A ⁰ = {0}

I Se A = − ¹ ₂ , − ¹ ₃ , − ¹ ₄ , . . . ∪ [0, 1], allora A ⁰ = [0, 1]

I Se A = 0, . . . , ¹ ₅ , ¹ ₄ , ¹ ₃ , ¹ ₂ , 1 ∪ ¹ _n + _n

m+1

¹ | n, m > 0 , allora A ⁰ = 0, . . . , ¹ ₅ , ¹ ₄ , ¹ ₃ , ¹ ₂ , 1

Nota. Se A ` e chiuso, anche A ⁰ ` e chiuso.

(65)

Derivate successive

Se l’insieme A ⁰ ha punti isolati, si pu` o iterare la derivazione, ottenendo un insieme A ⁰⁰ , che in generale pu` o avere dei punti isolati, ecc.

Si ottiene allora una sequenza descrescente di insiemi A ⊇ A ⁰ ⊇ A ⁰⁰ ⊇ A ⁰⁰⁰ ⊇ . . . Che cosa resta alla fine?

A ^(ω) = \

n∈N

A ⁽ⁿ⁾

L’insieme A ^(ω) pu` o avere dei punti isolati, e la procedura di derivazione pu` o ripartire (nel transfinito):

A ⊇ A ⁰ ⊇ A ⁰⁰ ⊇ A ⁰⁰⁰ ⊇ . . . ⊇ A ^(ω) ⊇ A ^(ω+1) ⊇ A ^(ω+2) ⊇ . . .

(66)

Derivate successive

Se l’insieme A ⁰ ha punti isolati, si pu` o iterare la derivazione, ottenendo un insieme A ⁰⁰ , che in generale pu` o avere dei punti isolati, ecc.

Si ottiene allora una sequenza descrescente di insiemi A ⊇ A ⁰ ⊇ A ⁰⁰ ⊇ A ⁰⁰⁰ ⊇ . . .

Che cosa resta alla fine?

A ^(ω) = \

n∈N

A ⁽ⁿ⁾

L’insieme A ^(ω) pu` o avere dei punti isolati, e la procedura di derivazione pu` o ripartire (nel transfinito):

A ⊇ A ⁰ ⊇ A ⁰⁰ ⊇ A ⁰⁰⁰ ⊇ . . . ⊇ A ^(ω) ⊇ A ^(ω+1) ⊇ A ^(ω+2) ⊇ . . .

(67)

Derivate successive

Se l’insieme A ⁰ ha punti isolati, si pu` o iterare la derivazione, ottenendo un insieme A ⁰⁰ , che in generale pu` o avere dei punti isolati, ecc.

Si ottiene allora una sequenza descrescente di insiemi A ⊇ A ⁰ ⊇ A ⁰⁰ ⊇ A ⁰⁰⁰ ⊇ . . . Che cosa resta alla fine?

A ^(ω) = \

n∈N

A ⁽ⁿ⁾

L’insieme A ^(ω) pu` o avere dei punti isolati, e la procedura di derivazione pu` o ripartire (nel transfinito):

A ⊇ A ⁰ ⊇ A ⁰⁰ ⊇ A ⁰⁰⁰ ⊇ . . . ⊇ A ^(ω) ⊇ A ^(ω+1) ⊇ A ^(ω+2) ⊇ . . .

(68)

Derivate successive

Se l’insieme A ⁰ ha punti isolati, si pu` o iterare la derivazione, ottenendo un insieme A ⁰⁰ , che in generale pu` o avere dei punti isolati, ecc.

Si ottiene allora una sequenza descrescente di insiemi A ⊇ A ⁰ ⊇ A ⁰⁰ ⊇ A ⁰⁰⁰ ⊇ . . . Che cosa resta alla fine?

A ^(ω) = \

n∈N

A ⁽ⁿ⁾

L’insieme A ^(ω) pu` o avere dei punti isolati,

e la procedura di derivazione pu` o ripartire (nel transfinito):

A ⊇ A ⁰ ⊇ A ⁰⁰ ⊇ A ⁰⁰⁰ ⊇ . . . ⊇ A ^(ω) ⊇ A ^(ω+1) ⊇ A ^(ω+2) ⊇ . . .

(69)

Derivate successive

Se l’insieme A ⁰ ha punti isolati, si pu` o iterare la derivazione, ottenendo un insieme A ⁰⁰ , che in generale pu` o avere dei punti isolati, ecc.

Si ottiene allora una sequenza descrescente di insiemi A ⊇ A ⁰ ⊇ A ⁰⁰ ⊇ A ⁰⁰⁰ ⊇ . . . Che cosa resta alla fine?

A ^(ω) = \

n∈N

A ⁽ⁿ⁾

L’insieme A ^(ω) pu` o avere dei punti isolati, e la procedura di derivazione pu` o ripartire (nel transfinito):

A ⊇ A ⁰ ⊇ A ⁰⁰ ⊇ A ⁰⁰⁰ ⊇ . . . ⊇ A ^(ω)

⊇ A ^(ω+1) ⊇ A ^(ω+2) ⊇ . . .

(70)

Derivate successive

Se l’insieme A ⁰ ha punti isolati, si pu` o iterare la derivazione, ottenendo un insieme A ⁰⁰ , che in generale pu` o avere dei punti isolati, ecc.

Si ottiene allora una sequenza descrescente di insiemi A ⊇ A ⁰ ⊇ A ⁰⁰ ⊇ A ⁰⁰⁰ ⊇ . . . Che cosa resta alla fine?

A ^(ω) = \

n∈N

A ⁽ⁿ⁾

L’insieme A ^(ω) pu` o avere dei punti isolati, e la procedura di derivazione pu` o ripartire (nel transfinito):

A ⊇ A ⁰ ⊇ A ⁰⁰ ⊇ A ⁰⁰⁰ ⊇ . . . ⊇ A ^(ω) ⊇ A ^(ω+1)

⊇ A ^(ω+2) ⊇ . . .

(71)

Derivate successive

Se l’insieme A ⁰ ha punti isolati, si pu` o iterare la derivazione, ottenendo un insieme A ⁰⁰ , che in generale pu` o avere dei punti isolati, ecc.

Si ottiene allora una sequenza descrescente di insiemi A ⊇ A ⁰ ⊇ A ⁰⁰ ⊇ A ⁰⁰⁰ ⊇ . . . Che cosa resta alla fine?

A ^(ω) = \

n∈N

A ⁽ⁿ⁾

L’insieme A ^(ω) pu` o avere dei punti isolati, e la procedura di derivazione pu` o ripartire (nel transfinito):

A ⊇ A ⁰ ⊇ A ⁰⁰ ⊇ A ⁰⁰⁰ ⊇ . . . ⊇ A ^(ω) ⊇ A ^(ω+1) ⊇ A ^(ω+2)

⊇ . . .

(72)

Derivate successive

Se l’insieme A ⁰ ha punti isolati, si pu` o iterare la derivazione, ottenendo un insieme A ⁰⁰ , che in generale pu` o avere dei punti isolati, ecc.

Si ottiene allora una sequenza descrescente di insiemi A ⊇ A ⁰ ⊇ A ⁰⁰ ⊇ A ⁰⁰⁰ ⊇ . . . Che cosa resta alla fine?

A ^(ω) = \

n∈N

A ⁽ⁿ⁾

L’insieme A ^(ω) pu` o avere dei punti isolati, e la procedura di derivazione pu` o ripartire (nel transfinito):

A ⊇ A ⁰ ⊇ A ⁰⁰ ⊇ A ⁰⁰⁰ ⊇ . . . ⊇ A ^(ω) ⊇ A ^(ω+1) ⊇ A ^(ω+2) ⊇ . . .

(73)

Teorema di Cantor-Bendixson







A ⁽⁰⁾ = A A ^(α+1) = (A ^(α) ) ⁰ A ^(λ) = T

α<λ A ^(α) per λ ordinale limite

Sebbene l’iterazione richieda, in generale, una quantit` a transfinita di passi, prima o poi questa termina (anche abbastanza presto):

esiste un minimo ordinale, numerabile, α tale che A ^(α) = A ^(α+1) L’insieme A ^(α) ` e un chiuso e non ha punti isolati. Se non ` e vuoto, ` e un insieme perfetto: il nucleo perfetto di A.

Poich` e A \ A ^(α) ` e un insieme numerabile, si ` e ottenuto il teorema di Cantor-Bendixson.

L’ordinale α ` e il rango di Cantor-Bendixson di A.

(74)

Teorema di Cantor-Bendixson







A ⁽⁰⁾ = A A ^(α+1) = (A ^(α) ) ⁰ A ^(λ) = T

α<λ A ^(α) per λ ordinale limite Sebbene l’iterazione richieda, in generale, una quantit` a transfinita di passi, prima o poi questa termina (anche abbastanza presto):

esiste un minimo ordinale, numerabile, α tale che A ^(α) = A ^(α+1) L’insieme A ^(α) ` e un chiuso e non ha punti isolati. Se non ` e vuoto, ` e un insieme perfetto: il nucleo perfetto di A.

Poich` e A \ A ^(α) ` e un insieme numerabile, si ` e ottenuto il teorema di Cantor-Bendixson.

L’ordinale α ` e il rango di Cantor-Bendixson di A.

(75)

Teorema di Cantor-Bendixson







A ⁽⁰⁾ = A A ^(α+1) = (A ^(α) ) ⁰ A ^(λ) = T

α<λ A ^(α) per λ ordinale limite Sebbene l’iterazione richieda, in generale, una quantit` a transfinita di passi, prima o poi questa termina (anche abbastanza presto):

esiste un minimo ordinale, numerabile, α tale che A ^(α) = A ^(α+1)

L’insieme A ^(α) ` e un chiuso e non ha punti isolati. Se non ` e vuoto, ` e un insieme perfetto: il nucleo perfetto di A.

Poich` e A \ A ^(α) ` e un insieme numerabile, si ` e ottenuto il teorema di Cantor-Bendixson.

L’ordinale α ` e il rango di Cantor-Bendixson di A.

(76)

Teorema di Cantor-Bendixson







A ⁽⁰⁾ = A A ^(α+1) = (A ^(α) ) ⁰ A ^(λ) = T

α<λ A ^(α) per λ ordinale limite Sebbene l’iterazione richieda, in generale, una quantit` a transfinita di passi, prima o poi questa termina (anche abbastanza presto):

esiste un minimo ordinale, numerabile, α tale che A ^(α) = A ^(α+1) L’insieme A ^(α) ` e un chiuso e non ha punti isolati.

Se non ` e vuoto, ` e un insieme perfetto: il nucleo perfetto di A.

Poich` e A \ A ^(α) ` e un insieme numerabile, si ` e ottenuto il teorema di Cantor-Bendixson.

L’ordinale α ` e il rango di Cantor-Bendixson di A.

(77)

Teorema di Cantor-Bendixson







A ⁽⁰⁾ = A A ^(α+1) = (A ^(α) ) ⁰ A ^(λ) = T

α<λ A ^(α) per λ ordinale limite Sebbene l’iterazione richieda, in generale, una quantit` a transfinita di passi, prima o poi questa termina (anche abbastanza presto):

esiste un minimo ordinale, numerabile, α tale che A ^(α) = A ^(α+1) L’insieme A ^(α) ` e un chiuso e non ha punti isolati. Se non ` e vuoto, ` e un insieme perfetto: il nucleo perfetto di A.

Poich` e A \ A ^(α) ` e un insieme numerabile, si ` e ottenuto il teorema di Cantor-Bendixson.

L’ordinale α ` e il rango di Cantor-Bendixson di A.

(78)

Teorema di Cantor-Bendixson







A ⁽⁰⁾ = A A ^(α+1) = (A ^(α) ) ⁰ A ^(λ) = T

α<λ A ^(α) per λ ordinale limite Sebbene l’iterazione richieda, in generale, una quantit` a transfinita di passi, prima o poi questa termina (anche abbastanza presto):

esiste un minimo ordinale, numerabile, α tale che A ^(α) = A ^(α+1) L’insieme A ^(α) ` e un chiuso e non ha punti isolati. Se non ` e vuoto, ` e un insieme perfetto: il nucleo perfetto di A.

Poich` e A \ A ^(α) ` e un insieme numerabile, si ` e ottenuto il teorema di Cantor-Bendixson.

L’ordinale α ` e il rango di Cantor-Bendixson di A.

(79)

Applicazioni

Teorema. (Cantor, 1872) Se P +∞

n=−∞ c n e ^inz = 0 per ogni z ∈ S ¹ \ C , dove C ` e un chiuso numerabile di rango di Cantor-Bendixson finito, allora c n = 0 per ogni n.

Ma, soprattutto, attraverso il

Teorema. (Cantor, 1884) Ogni insieme perfetto ha la cardinalit` a del continuo.

si ottiene

Corollario. I sottoinsiemi chiusi della retta reale soddisfano l’ipotesi del

continuo: o sono numerabili, o hanno la cardinalit` a del continuo.

(80)

Applicazioni

Teorema. (Cantor, 1872) Se P +∞

n=−∞ c n e ^inz = 0 per ogni z ∈ S ¹ \ C , dove C ` e un chiuso numerabile di rango di Cantor-Bendixson finito, allora c n = 0 per ogni n.

Ma, soprattutto, attraverso il

Teorema. (Cantor, 1884) Ogni insieme perfetto ha la cardinalit` a del continuo.

si ottiene

Corollario. I sottoinsiemi chiusi della retta reale soddisfano l’ipotesi del

continuo: o sono numerabili, o hanno la cardinalit` a del continuo.

(81)

Applicazioni

Teorema. (Cantor, 1872) Se P +∞

n=−∞ c n e ^inz = 0 per ogni z ∈ S ¹ \ C , dove C ` e un chiuso numerabile di rango di Cantor-Bendixson finito, allora c n = 0 per ogni n.

Ma, soprattutto, attraverso il

Teorema. (Cantor, 1884) Ogni insieme perfetto ha la cardinalit` a del continuo.

si ottiene

Corollario. I sottoinsiemi chiusi della retta reale soddisfano l’ipotesi del

continuo: o sono numerabili, o hanno la cardinalit` a del continuo.

(82)

Borel, Baire, Lebesgue

Caratteri della ricerca della scuola parigina del periodo pionieristico del DST sono:

1. cautela su quali oggetti e metodi matematici sia lecito usare 2. analisi accurata dei concetti matematici studiati

3. gli ordinali (numerabili) — e l’assioma delle scelte numerabili —

diventano strumenti essenziali

(83)

Borel, Baire, Lebesgue

Caratteri della ricerca della scuola parigina del periodo pionieristico del DST sono:

1. cautela su quali oggetti e metodi matematici sia lecito usare

2. analisi accurata dei concetti matematici studiati

3. gli ordinali (numerabili) — e l’assioma delle scelte numerabili —

diventano strumenti essenziali

(84)

Borel, Baire, Lebesgue

Caratteri della ricerca della scuola parigina del periodo pionieristico del DST sono:

1. cautela su quali oggetti e metodi matematici sia lecito usare 2. analisi accurata dei concetti matematici studiati

3. gli ordinali (numerabili) — e l’assioma delle scelte numerabili —

diventano strumenti essenziali

(85)

Borel, Baire, Lebesgue

Caratteri della ricerca della scuola parigina del periodo pionieristico del DST sono:

1. cautela su quali oggetti e metodi matematici sia lecito usare 2. analisi accurata dei concetti matematici studiati

3. gli ordinali (numerabili) — e l’assioma delle scelte numerabili —

diventano strumenti essenziali

(86)

Gli insiemi boreliani

Borel (1898) sviluppa una teoria della misura su una classe di insiemi ottenuta partendo dagli insiemi chiusi e iterando le operazioni di complementazione e unione numerabile:

aperti = Σ ⁰ ₁

chiusi = Π ⁰ ₁

(87)

Gli insiemi boreliani

Borel (1898) sviluppa una teoria della misura su una classe di insiemi ottenuta partendo dagli insiemi chiusi e iterando le operazioni di complementazione e unione numerabile:

aperti = Σ ⁰ ₁

chiusi = Π ⁰ ₁

(88)

Gli insiemi boreliani

Borel (1898) sviluppa una teoria della misura su una classe di insiemi ottenuta partendo dagli insiemi chiusi e iterando le operazioni di complementazione e unione numerabile:

aperti = Σ ⁰ ₁ Σ ⁰ ₂

chiusi = Π ⁰ ₁

(89)

Gli insiemi boreliani

Borel (1898) sviluppa una teoria della misura su una classe di insiemi ottenuta partendo dagli insiemi chiusi e iterando le operazioni di complementazione e unione numerabile:

aperti = Σ ⁰ ₁ Σ ⁰ ₂

chiusi = Π ⁰ ₁ Π ⁰ ₂

(90)

Gli insiemi boreliani

Borel (1898) sviluppa una teoria della misura su una classe di insiemi ottenuta partendo dagli insiemi chiusi e iterando le operazioni di complementazione e unione numerabile:

aperti = Σ ⁰ ₁ Σ ⁰ ₂ Σ ⁰ ₃

chiusi = Π ⁰ ₁ Π ⁰ ₂

(91)

Gli insiemi boreliani

Borel (1898) sviluppa una teoria della misura su una classe di insiemi ottenuta partendo dagli insiemi chiusi e iterando le operazioni di complementazione e unione numerabile:

aperti = Σ ⁰ ₁ Σ ⁰ ₂ Σ ⁰ ₃

chiusi = Π ⁰ ₁ Π ⁰ ₂ Π ⁰ ₃

(92)

Gli insiemi boreliani

Borel (1898) sviluppa una teoria della misura su una classe di insiemi ottenuta partendo dagli insiemi chiusi e iterando le operazioni di complementazione e unione numerabile:

aperti = Σ ⁰ ₁ Σ ⁰ ₂ Σ ⁰ ₃ . . . Σ ⁰ _n

chiusi = Π ⁰ ₁ Π ⁰ ₂ Π ⁰ ₃ . . .

(93)

Gli insiemi boreliani

Borel (1898) sviluppa una teoria della misura su una classe di insiemi ottenuta partendo dagli insiemi chiusi e iterando le operazioni di complementazione e unione numerabile:

aperti = Σ ⁰ ₁ Σ ⁰ ₂ Σ ⁰ ₃ . . . Σ ⁰ _n . . .

chiusi = Π ⁰ ₁ Π ⁰ ₂ Π ⁰ ₃ . . . Π ⁰ _n . . .

(94)

Gli insiemi boreliani

Borel (1898) sviluppa una teoria della misura su una classe di insiemi ottenuta partendo dagli insiemi chiusi e iterando le operazioni di complementazione e unione numerabile:

aperti = Σ ⁰ ₁ Σ ⁰ ₂ Σ ⁰ ₃ . . . Σ ⁰ _n . . . Σ ⁰ _ω

chiusi = Π ⁰ ₁ Π ⁰ ₂ Π ⁰ ₃ . . . Π ⁰ _n . . .

(95)

Gli insiemi boreliani

Borel (1898) sviluppa una teoria della misura su una classe di insiemi ottenuta partendo dagli insiemi chiusi e iterando le operazioni di complementazione e unione numerabile:

aperti = Σ ⁰ ₁ Σ ⁰ ₂ Σ ⁰ ₃ . . . Σ ⁰ _n . . . Σ ⁰ _ω

chiusi = Π ⁰ ₁ Π ⁰ ₂ Π ⁰ ₃ . . . Π ⁰ _n . . . Π ⁰ _ω

(96)

Gli insiemi boreliani

Borel (1898) sviluppa una teoria della misura su una classe di insiemi ottenuta partendo dagli insiemi chiusi e iterando le operazioni di complementazione e unione numerabile:

aperti = Σ ⁰ ₁ Σ ⁰ ₂ Σ ⁰ ₃ . . . Σ ⁰ _n . . . Σ ⁰ _ω Σ ⁰ _ω+1

chiusi = Π ⁰ ₁ Π ⁰ ₂ Π ⁰ ₃ . . . Π ⁰ _n . . . Π ⁰ _ω

(97)

Gli insiemi boreliani

Borel (1898) sviluppa una teoria della misura su una classe di insiemi ottenuta partendo dagli insiemi chiusi e iterando le operazioni di complementazione e unione numerabile:

aperti = Σ ⁰ ₁ Σ ⁰ ₂ Σ ⁰ ₃ . . . Σ ⁰ _n . . . Σ ⁰ _ω Σ ⁰ _ω+1 . . .

chiusi = Π ⁰ ₁ Π ⁰ ₂ Π ⁰ ₃ . . . Π ⁰ _n . . . Π ⁰ _ω Π ⁰ _ω+1 . . .

(98)

Gli insiemi boreliani

aperti = Σ ⁰ ₁ Σ ⁰ ₂ Σ ⁰ ₃ . . . Σ ⁰ _n . . . Σ ⁰ _ω Σ ⁰ _ω+1 . . . chiusi = Π ⁰ ₁ Π ⁰ ₂ Π ⁰ ₃ . . . Π ⁰ _n . . . Π ⁰ _ω Π ⁰ _ω+1 . . .

La collezione di tutti questi insiemi B(X ) =

[

α<ω

1

Σ ⁰ _α = [

α<ω

1

Π ⁰ _α

` e la famiglia dei sottoinsiemi boreliani dello spazio X considerato. Si tratta di una gerarchia di complessit` a: gli insieme che compaiono pi` u a sinistra sono descrittivamente pi` u semplici di quelli che compaiono pi` u a destra.

Lebesgue (1905) dimostra che questa gerarchia ha effettivamente

lunghezza ω 1 : a ogni livello α < ω 1 della gerarchia compaiono insiemi

nuovi, cio` e che non sono gi` a presenti in alcun livello β, con β < α.

(99)

Gli insiemi boreliani

aperti = Σ ⁰ ₁ Σ ⁰ ₂ Σ ⁰ ₃ . . . Σ ⁰ _n . . . Σ ⁰ _ω Σ ⁰ _ω+1 . . . chiusi = Π ⁰ ₁ Π ⁰ ₂ Π ⁰ ₃ . . . Π ⁰ _n . . . Π ⁰ _ω Π ⁰ _ω+1 . . . La collezione di tutti questi insiemi

B(X ) = [

α<ω

1

Σ ⁰ _α = [

α<ω

1

Π ⁰ _α

` e la famiglia dei sottoinsiemi boreliani dello spazio X considerato.

Si tratta di una gerarchia di complessit` a: gli insieme che compaiono pi` u a sinistra sono descrittivamente pi` u semplici di quelli che compaiono pi` u a destra.

Lebesgue (1905) dimostra che questa gerarchia ha effettivamente

lunghezza ω 1 : a ogni livello α < ω 1 della gerarchia compaiono insiemi

nuovi, cio` e che non sono gi` a presenti in alcun livello β, con β < α.

(100)

Gli insiemi boreliani

aperti = Σ ⁰ ₁ Σ ⁰ ₂ Σ ⁰ ₃ . . . Σ ⁰ _n . . . Σ ⁰ _ω Σ ⁰ _ω+1 . . . chiusi = Π ⁰ ₁ Π ⁰ ₂ Π ⁰ ₃ . . . Π ⁰ _n . . . Π ⁰ _ω Π ⁰ _ω+1 . . . La collezione di tutti questi insiemi

B(X ) = [

α<ω

1

Σ ⁰ _α = [

α<ω

1

Π ⁰ _α

` e la famiglia dei sottoinsiemi boreliani dello spazio X considerato.

Si tratta di una gerarchia di complessit` a: gli insieme che compaiono pi` u a sinistra sono descrittivamente pi` u semplici di quelli che compaiono pi` u a destra.

Lebesgue (1905) dimostra che questa gerarchia ha effettivamente

lunghezza ω 1 : a ogni livello α < ω 1 della gerarchia compaiono insiemi

nuovi, cio` e che non sono gi` a presenti in alcun livello β, con β < α.

(101)

Gli insiemi boreliani

aperti = Σ ⁰ ₁ Σ ⁰ ₂ Σ ⁰ ₃ . . . Σ ⁰ _n . . . Σ ⁰ _ω Σ ⁰ _ω+1 . . . chiusi = Π ⁰ ₁ Π ⁰ ₂ Π ⁰ ₃ . . . Π ⁰ _n . . . Π ⁰ _ω Π ⁰ _ω+1 . . . La collezione di tutti questi insiemi

B(X ) = [

α<ω

1

Σ ⁰ _α = [

α<ω

1

Π ⁰ _α

` e la famiglia dei sottoinsiemi boreliani dello spazio X considerato.

Si tratta di una gerarchia di complessit` a: gli insieme che compaiono pi` u a sinistra sono descrittivamente pi` u semplici di quelli che compaiono pi` u a destra.

Lebesgue (1905) dimostra che questa gerarchia ha effettivamente

lunghezza ω 1 : a ogni livello α < ω 1 della gerarchia compaiono insiemi

nuovi, cio` e che non sono gi` a presenti in alcun livello β, con β < α.

(102)

Gli insiemi analitici

Racconta Sierpi´ nski (Les ensembles projectifs et analytiques, 1950):

“ La naissance de la th´ eorie des ensembles analytiques est assez curieuse. C’´ etait en 1916.

M. Nicolas Lusin, alors jeune professeur ` a

l’Universit´ e de Moscou, recommanda ` a son ´ el` eve, Michel Souslin,

d’´ etudier le m´ emoire de M. Henri Lebesgue, Sur les fonctions

repr´ esentables analytiquement.

(103)

Gli insiemi analitici

Racconta Sierpi´ nski (Les ensembles projectifs et analytiques, 1950):

“ La naissance de la th´ eorie des ensembles analytiques est assez

curieuse. C’´ etait en 1916. M. Nicolas Lusin, alors jeune professeur ` a

l’Universit´ e de Moscou, recommanda ` a son ´ el` eve, Michel Souslin,

d’´ etudier le m´ emoire de M. Henri Lebesgue, Sur les fonctions

repr´ esentables analytiquement.

(104)

Dai boreliani agli analitici

La classe dei boreliani B `e stabile per le operazioni di complementazione e unione numerabile.

Lebesgue (1905) osserva il seguente

Lemma. Se π : R ² → R `e la proiezione dal piano all’asse delle ascisse, π(x , y ) = x , e se E ₁ ⊇ E 2 ⊇ E 3 ⊇ . . . sono sottoinsiemi del piano R ² , allora π( T

n>0 E _n ) = T

n>0 π(E _n ). Dimostrazione. Omessa.

Questo lemma ha varie importanti conseguenze, tra cui

Teorema. La classe B degli insiemi boreliani `e stabile per l’operazione di

proiezione, cio` e se A ⊆ R ⁿ⁺¹ ` e un boreliano, anche la sua proiezione

π(A) ⊆ R ⁿ ` e un boreliano.