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Volume di solidi di rotazione del grafico di una funzione in una variabile intorno all’asse x o all’asse y.

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Academic year: 2021

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Analisi Matematica, Ing. Civile (Canale A-K) Silvia Marconi - 30 Novembre 2011 -

 Volume di solidi di rotazione

Volume di solidi di rotazione del grafico di una funzione in una variabile intorno all’asse x o all’asse y.

• Calcolare il volume del solido di rotazione del grafico della funzione f (x) = x intorno all’asse x.

[Risp.: π 3 ].

• Calcolare il volume del solido di rotazione del grafico della funzione f (x) = arcsin x intorno all’asse y.

[Risp.: π 4

2

].

 Area di una superficie

Area di una superficie che ` e il grafico di una funzione in due variabili.

Area della superficie della sfera.

 Integrali doppi con moduli

• Calcolare Z Z

T

|5x − 1| dxdy T = {(x, y) ∈ R 2 : x 4 ≤ y ≤ |8x|}.

• Calcolare

Z Z

T

y − 2 3 x

dxdy.

Sul trapezio T di vertici (0, 0), 5 2 , 0, 3 2 , 1 e (1, 1).

[Risp.: 13 18 ].

 Integrali in coordinate polari

• Calcolare

Z Z

D

xe y dxdy

D = (

(x, y) ∈ R 2 : 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 9; − √

3|y| ≤ x ≤

√ 3 3 |y|

)

.

(2)

 Formule di Dirichlet

Domini simmetrici. Funzioni pari e dispari.

• Calcolare Z Z

D

x 2 y 2 dxdy D = {(x, y) ∈ R 2 : |x| + |y| ≤ 1}.

[Risp.: 2 9 ].

• Calcolare

Z Z

T

(y + 1) dxdy

T =



(x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≥ 4; x 2 9 + y 2

4 ≤ 1

 . [Risp.: 2π].

 Area di un dominio

Calcolo dell’area di un dominio mediante l’integrale doppio della funzione

identicamente uguale a 1.

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