Tutorato di Geometria 3 del 27-11-2012 (P. Salvatore) Su [0, 1] × [0, 1] definiamo la relazione di ordine

Tutorato di Geometria 3 del 27-11-2012 (P. Salvatore) Su [0, 1] × [0, 1] definiamo la relazione di ordine

(x, y) < (x

, y

) se x < x

oppure x = x

e y < y

. Sia B la famiglia di insiemi di tipo

{(x, y)|(a, b) < (x, y) < (c, d)}, {(x, y)|(a, b) < (x, y)}, {(x, y)|(x, y) < (c, d)}, con a, b, c, d ∈ I

.

(1) Dimostrare che B costituisce la base per una topologia τ su I

, la topologia lessicografica.

(2) Verificare che τ ` e di Hausdorff e 1-numerabile.

(3) Verificare se τ ` e pi´ u o meno fine della topologia euclidea. Considerare la stessa domanda per la topologia indotta da τ su (0, 1) × (0, 1) rispetto alla topologia euclidea.

(4) Dimostrare che (I

, τ ) ` e connesso ma non ` e connesso per archi. Caratter- izzare le componenti connesse per archi.

(5) Dimostrare che (I

, τ ) ` e compatto, ma non ` e 2-numerabile, e dunque non

`

e metrizzabile.

(6) Si caratterizzino le topologie quozienti τ

su I indotte dalle proiezioni sui fattori π

: (I

, τ ) → I.

(7) Determinare la chiusura di (Q × Q) ∩ I

e la frontiera di (1/4, 3/4) × (0, 1).