Capitolo 4

Capitolo 4

Modelli di simulazione di flussi in zone in

movimento

La soluzione di flussi in un sistema di riferimento in movimento richiede l’uso di zone con celle in movimento. Il movimento di queste celle è interpretato come moto di un sistema di riferimento solidale con la cella. Con questa possibilità, implementata nel codice CFD Fluent 6.0, un’ampia varietà di problemi che includono parti in movimento possono essere impostate e risolte.

4.1 Generalità sull’approccio delle zone in movimento

I problemi che possono essere trattati sono i seguenti: • flusso in un singolo sistema rotante

• flusso in multiplo sistema di riferimento rotante e/o traslante

L’opzione singolo sistema rotante può essere usata per modellare flussi in turbomacchine, serbato di mescolamento e apparati relativi. In ciascuno di questi casi il flusso non è stazionario in un sistema inerziale, perché le pale del rotore/girante interferiscono sul dominio periodicamente. Comunque, in assenza di statori o di deflettori, è possibile eseguire calcoli in un dominio che si muove con la parte rotante. In questo caso il flusso relativo al sistema rotante è stazionario, il che semplifica l’analisi.

Se sono presenti lo statore o i deflettori oltre al rotore o girante, allora non è possibile rendere il problema computazionale stazionario, scegliendo un dominio di calcolo che ruota con il rotore o girante. Questa situazione accade, per esempio, nelle applicazioni in turbomacchine dove il rotore e le pale dello statore sono vicini (e quindi l’interazione rotore-statore è importante). Fluent fornisce tre approcci per risolvere questa classe di problemi:

• il modello “Multiple Reference Frame” (MRF) • il modello “Mixing Plane”

• il modello “Sliding Mesh”

Sia il modello “MRF” che il “Mixing Plane” assumono che il campo di flusso sia stazionario per cui gli effetti del rotore-statore girante-deflettore sono trattati in modo approssimato. Questi modelli possono essere impiegati nei casi in cui l’interazione rotore-statore è piccola, o quando è richiesta una soluzione approssimata per il sistema. Un livello di accuratezza maggiore si ottiene con il modello “Sliding Mesh”, che assume il campo del flusso non stazionario. Questo è il modello impiegato quando l’interazione rotore-statore è forte ed è richiesta una risoluzione del sistema più accurata. Si nota,comunque, che poiché il modello “Sliding Mesh” richiede una soluzione numerica non stazionaria, esso è computazionalmente più esigente rispetto ai modelli “MRF” e “Mixing Plane”.

4.2 Flussi in sistema di riferimento rotante

4.2.1 Generalità

Quando si crea un modello del moto di un fluido, si schematizza tipicamente il flusso in un sistema di riferimento inerziale (capitolo 3). Modellando flussi in un sistema di riferimento non inerziale, l’accelerazione del sistema di coordinate è inclusa nell’equazione del moto che descrive il flusso. Un comune esempio di sistema di riferimento accelerato nelle applicazioni

ingegneristiche è il flusso in una apparecchiatura rotante. In questo caso il flusso deve essere modellato in un sistema di coordinate in movimento con l’apparecchiatura rotante; e quindi soggetto ad una accelerazione costante in direzione radiale da includere nelle equazioni di bilancio. La Figura 4.1 descrive un esempio di un flusso in un sistema di riferimento rotante ed illustra la trasformazione di coordinate dal sistema stazionario al sistema rotante.

Figura 4.1. Trasformazione di coordinate al sistema di riferimento rotante y x Ω Stazionario Ruota alla velocità Ω

(a) Reference Frame originale

Stazionario y x -Ω Ruota alla velocità -Ω

4.2.2 Equazioni per il sistema di riferimento rotante

Quando le equazioni del moto sono risolte nel sistema di riferimento rotante, alcuni termini addizionali appaiono nelle equazione della quantità di moto.

Richiamiamo l’equazione di bilancio della quantità di moto per fluidi incomprimibili:

( )

( )

ρ∇⋅ rr =−∇ +∇⋅ + r _(4-1)

La velocità che vi compare deve essere espressa in termini di velocità relativa v . Le due velocità sono relazionate da questa equazione: r

( )

vr_r = r− Ωr ×r _(4-2)

dove Ωr è il vettore velocità angolare (velocità angolare del sistema rotante) ed rr

è il vettore posizione in sistema rotante.

L’espressione dell’equazione di bilancio della quantità di moto nel sistema di riferimento rotante risulta:

(

)

(

)

⋅

∇ 2Ω Ω Ω _(4-3)

dove ρ

(

)

Per i flussi in domini rotanti, l’equazione della conservazione della massa mantiene la stessa forma per le formulazioni con la velocità assoluta e con la velocità relativa:

( )

⋅

4.3 Il modello “Multiple Reference Frame” (MRF)

4.3.1 Generalità

Il modello “MRF” è il più semplice dei tre approcci disponibile in Fluent per modellare problemi che includono zone in movimento. E’ un’approssimazione dello stato stazionario nel quale zone di celle individuali si muovono con differenti velocità di rotazione/traslazione. Questo approccio è appropriato quando il flusso al contorno tra queste zone è quasi uniforme e più in generale per qualunque problema dove i transitori dovuto all’interazione rotore-statore sono piccoli.

Sebbene l’approccio “Multiple Reference Frame” sia chiaramente un’approssimazione, esso può fornire un adeguato modello per molte applicazioni. Per esempio il modello “MRF” può essere usato:

• per applicazioni di turbomacchine dove l’interazione rotore-statore è relativamente piccola;

• nei serbatoi di miscelamento, dove le interazioni tra girante e parte statica (girante-deflettore) sono relativamente piccole;

• nei casi in cui gli effetti del transitorio in larga scala non sono presenti. Un altro potenziale uso del modello “MRF” è quello di calcolare un campo di moto che può essere usato come condizione iniziale per il calcolo del transitorio nello “Sliding Mesh”. Il modello “Multiple Reference Frame” non dovrebbe essere usato, comunque, se è necessario simulare realmente i transitori che possono avvenire nelle forti interazioni tra girante-deflettore per i quali è più appropriato il modello “Sliding Mesh” (paragrafo 4.5).

4.3.2 La formulazione “MRF”

La formulazione MRF1 dipenderà dalla formulazione della velocità adottato.

4.3.2.1 Formulazione con velocità relativa

Nel MRF il dominio da calcolare è diviso in sottodomini, ciascuno dei quali può essere rotante o traslante rispetto al sistema laboratorio (inerziale). Le equazioni che governano ciascun sottodominio sono scritte rispetto al sistema di riferimento del sottodominio. Il flusso di un comprimibile nei domini stazionari e traslanti è governato dalle equazioni della conservazione della massa e della quantità di moto:

( )

(

)

( )

mentre il flusso dei domini rotanti è governato dalle equazioni presentate nel paragrafo 4.2.2. Sulla frontiera di due sottodomini si ha la necessita di imporre la congruità del moto.

Quindi le velocità in ciascun sottodominio devono essere convertite dal sistema di riferimento in movimento al sistema assoluto inerziale come descritto di seguito.

Il vettore posizione relativo all’origine della zona rotante è definito da:

0

x x

rr = r−r _(4-7)

1 _{J. Y. Luo, R. I. Issa, and A. D. Gosman. Prediction of Impeller-Induced Flows in Mixing Vessels} Using Multiple Frames of Reference. In IChemE Symposium Series, number 136, pages 549{556, 1994.

dove xr è la posizione nelle coordinate assolute Cartesiane e xr è l’origine ₀

dell’asse della zona rotante, come mostrato in Figura 4.2.

Figura 4.2. Sistema di coordinate per la velocità relativa

La velocità relativa nel sistema di riferimento in movimento può essere convertita nel sistema assoluto di riferimento usando la seguente equazione:

(

)

r r v

v

vr= r + ωr×r +r _(4-8)

dove vr è la velocità nel sistema di riferimento inerziale assoluto, vr_r è la velocità nel sistema di riferimento non inerziale relativo e vr è la velocità di _t

traslazione nel sistema di riferimento inerziale.

Usando questa definizione di velocità assoluta, il gradiente del vettore velocità assoluta è dato da:

y x z r X0 X X Z Y

) r ( v vr=∇r_r +∇ r×r ∇ ω _(4-9)

4.3.2.2 Formulazione con velocità assoluta

Quando è usata la formulazione con velocità assoluta, le equazioni che governano ciascun sottodominio sono scritte rispetto al sistema di riferimento locale, ma le velocità sono conservate nel sistema assoluto. Perciò nessuna speciale trasformazione è richiesta all’interfaccia tra due sottodomini.

4.3.3 Restrizioni all’utilizzo del modello MRF

Le seguenti restrizioni si applicano al modello “Multiple Reference Frame”:

• non è raccomandato l’uso del modello “k-ε realizable” con il “multiple reference frame”.

• I contorni che separano una regione in movimento dalle regioni adiacenti devono essere orientati in modo che la componente della velocità normale al contorno sia zero (per i sistemi in movimento traslatorio i contorni delle zone in movimento devono essere paralleli al vettore velocità di traslazione).

• Strettamente parlando, l’uso del “MRF” ha pieno significato solo per flussi stazionari. Comunque, FLUENT permette di risolvere un flusso non stazionario quando si sta usando il “multiple reference frame”. In questo caso i termini non stazionari sono aggiunti a tutte le equazioni di trasporto. Si dovrà verificare se questo produce effetti importanti per le applicazioni, poiché, per flussi non stazionari, il modello “sliding mesh” fornisce generalmente risultati più accurati rispetto al modello “MRF”.

• Non si può modellare accuratamente un moto vorticoso assialsimmetrico in presenza del “multiple reference frame” usando la formulazione con velocità relativa. Questo perché l’attuale implementazione non applica la

trasformazione usata nell’equazione (4-9) alle derivate della velocità vorticosa.

• La velocità di traslazione e di rotazione sono assunte costanti (la variazione del tempo di ω e vt non sono permesse).

4.4 Il modello “Mixing Plane”

4.4.1 Generalità

Come discusso nel paragrafo 4.3.1, il modello “MRF” è applicabile quando il flusso al confine fra zone adiacenti che si muovono a differenti velocità è quasi uniforme. Se il flusso al confine non è uniforme, il modello “MRF” non può fornire una soluzione fisicamente significativa. In tali casi si dovrebbe ricorre al modello “Sliding Mesh” (vedere paragrafo 4.5) che però esegue necessariamente calcoli non stazionari, richiedendo un tempo di simulazione maggiore.

Per situazioni in cui l’uso del modello “Sliding Mesh” risulti non conveniente, il modello “Mixing Plane” può essere un’alternativa meno dispendiosa.

Nell’approccio “mixing plane” ciascuna zona fluida è trattata come un problema stazionario. I dati del campo fluido dalle zone adiacenti sono passati come condizioni al contorno, integrate nello spazio o accoppiate all’interfaccia del mixing plane. Malgrado le semplificazioni inerenti al modello “mixing plane”, le soluzioni risultanti possono fornire una ragionevole approssimazione dell’integrale nel tempo del campo di flusso.

4.4.2 Teoria del “Mixing Plane”

4.4.2.1 Domini del rotore e dello statore

Consideriamo gli stadi delle turbomacchine illustrate nella Figura 4.3 e nella Figura 4.4. La Figura 4.3 mostra un piano a r costante all’interno di un singolo stadio di una macchina assiale, mentre la Figura 4.4 mostra un piano a θ costante all’interno di un congegno per un flusso mescolato. In entrambi i casi, gli stadi sono sostituiti da due domini fluidi: il dominio del rotore, il quale ruota ad una prescritta (imposta) velocità angolare, seguita dal dominio dello statore, il quale è stazionario. L’ordine del rotore e dello statore è arbitrario.

In una simulazione numerica, ciascun dominio dovrà essere rappresentato da una mesh separata. Il flusso tra questi domini viene accoppiato all’interfaccia (come mostrato nella Figura 4.3 e nella Figura 4.4), usando il modello “Mixing Plane”.

Figura 4.3. Interazione assiale tra rotore e statore (illustrazione schematica del concetto del “mixing plane”)

4.4.2.2 Concetto del “Mixing Plane”

L’idea essenziale dietro il concetto di “Mixing Plane” è che ciascuna zona fluida è risolta come un problema stazionario. A prescritti istanti temporali, i dati

Rθ

x Interfaccia “mixing plane”

Ingresso Statore: p0 αx αy αz k ε Uscita Rotore: pS

del flusso sull’interfaccia del “Mixing Plane” sono integrati nella direzione circonferenziale su entrambi i contorni dell’uscita del rotore e dell’ingresso dello statore. Integrando lungo percorsi chiusi secondo specificate condizioni radiali o assiali, si possono definire i “profili” delle proprietà del flusso. Questi profili sono poi usati per aggiornare le condizioni al contorno lungo le due zone di interfaccia “Mixing Plane”. Negli esempi mostrati nella Figura 4.3 e nella Figura 4.4, i profili delle pressione totale mediata(p0), le direzioni dei coseni degli angoli del flusso

locale nelle direzioni radiale, tangenziale e assiale (αr, αt, αz), la temperatura totale

(T0), l’energia cinetica turbolenta (k), la percentuale di dissipazione turbolenta (ε)

sono calcolati all’uscita del rotore ed usati per aggiornare le condizioni al contorno all’ingresso dello statore. Nello stesso modo, un profilo di pressione statica (pS) è calcolato all’ingresso dello statore ed usato come condizione al

contorno sull’uscita del rotore.

Figura 4.4. Interazione radiale tra rotore e statore (illustrazione schematica del concetto del “mixing plane”) Ω Ingresso Statore: p0 αx αy αz k ε Uscita Rotore: pS Interfaccia “mixing plane” r x

4.4.3 Limitazioni al modello “Mixing Plane”

Il modello “Mixing Plane” richiede l’uso della formulazione con velocità assoluta; non si può usare la formulazione con velocità relativa.

4.5 Il modello “Sliding Mesh”

4.5.1 Generalità

Quando si desidera una soluzione accurata nel tempo per l’interazione tra rotore e statore bisogna usare il modello “Sliding Mesh” per calcolare il campo fluido non stazionario. Come citato nel paragrafo 4.1, il modello “Sliding Mesh” è il metodo più accurato per simulare flussi in sistemi di riferimento multipli in movimento, ma anche il più dispendioso dal punto di vista dello sforzo computazionale.

Molto spesso la soluzione non stazionaria cercata in una simulazione “Sliding Mesh” è periodica nel tempo. Cioè la soluzione non stazionaria si ripete con un periodo relativo alle velocità dei domini in movimento. Comunque, si possono modellare altri tipi di transitorio, anche nelle zone di traslazione delle sliding mesh (per esempio due macchine o due treni che passano in tunnel, come mostrato nella Figura 4.5)

4.5.2 La tecnica dello “Sliding Mesh”

Nella tecnica dello “Sliding Mesh” sono usate due o più zone di celle. Ciascuna zona di celle è limitata da almeno una “zona d’interfaccia” che si sovrappone alla zona d’interfaccia di un’altra zona di celle ad essa contigua. Le zone d’interfaccia sono necessariamente associate l’una all’altra a formare la “griglia d’interfaccia” per quanto si muoveranno relativamente l’una all’altra durante il moto relativo delle due zone di celle (le zone di celle slittano l’una sull’altra lungo la griglia d’interfaccia).

4.5.2.1 Forma della griglia d’intefaccia

La griglia d’interfaccia e le zone d’interfaccia associate possono avere qualunque forma, purché i contorni siano basati sulla stessa geometria. La Figura 4.6 mostra un esempio di una griglia d’interfaccia lineare e la Figura 4.7 mostra una griglia d’interfaccia circolare (in entrambi i casi la griglia d’interfaccia è rappresentata dalla linea tratteggiata).

Se la Figura 4.6 fosse estrusa in 3D la risultante griglia d’interfaccia sarebbe un rettangolo; se la Figura 4.7 fosse estrusa in 3D la risultante griglia d’interfaccia sarebbe un cilindro

Figura 4.7. Griglia d’interfaccia circolare bidimensionale

4.5.3 Teoria del modello “Sliding Mesh”

Come discusso nel paragrafo 4.5.1 il modello “Sliding Mesh” permette a griglie adiacenti di slittare relativamente l’una sull’altra. Nel fare questo le facce delle griglie non necessitano di essere allineate sulla griglia d’interfaccia.

Per calcolare il flusso d’interfaccia, l’intersezione tra le zone d’interfaccia viene determinata a ciascun nuovo intervallo di tempo. L’intersezione risultante produce una zona interna ed una o più zone periodiche. Se il problema non è periodico l’intersezione produce una zona interna ed una coppia di “wall zone”, come mostrato in Figura 4.8. La zona risultante interna corrisponde alla parte in cui le due zone d’interfaccia si sovrappongono; la zona periodica risultante (o “wall zone”) è la parte in cui esse non si sovrappongono. Il numero di facce in queste zone d’intersezione varierà poiché le zone d’interfaccia si muovono l’una sull’altra. I flussi attraverso la griglia d’interfaccia vengono calcolati usando le facce risultanti dall’intersezione di due zone d’interfaccia, piuttosto che dalle facce della zona d’interfaccia stesse.

Figura 4.8. Zone create dall’intersezione d’interfaccia non periodica

Nell’esempio mostrato in Figura 4.9 le zone d’interfaccia sono composte dalle facce A-B e B-C e le facce D-E e E-F. L’intersezione di queste zone produce le facce a-d, d-b, b-e, ecc. Le facce prodotte nelle regioni dove le due celle si sovrappongono (d-b, b-e e e-c) sono raggruppate a formare una zona interna, mentre le facce rimanenti (a-d e c-f) sono accoppiate a formare una zona periodica. Per calcolare il flusso attraverso l’interfaccia nella cella IV, per esempio, la faccia D-E è ignorata e le sono invece usate le facce d-b e b-e, che portano le informazioni nella cella IV dalla cella I e III, rispettivamente.

Figura 4.9. Griglia d’interfaccia bidimensionale

I II III IV V VI A B C D E F a d b e c f zona d’interfacci a 2 zona d’interfacci a 1 cell zona 1 cell zona 1