Analisidell’effettodovutoalcampomagneticoterrestre 3

3

Analisi dell’effetto dovuto al campo

magnetico terrestre

3.1

Modello del campo magnetico terrestre

Il campo magnetico terrestre che pu`o essere misurato in un qualsiasi pun-to della superficie terrestre, `e il risultapun-to della sovrapposizione di differenti contributi, ciascuno dei quali derivante da un campo diverso:

• Campo principale: generato nel nucleo fluido tramite il meccanismo di

geodinamo

• Campo crostale: generato dalle rocce magnetiche della superficie

ter-restre

• Campo esterno: generato da correnti elettriche che fluiscono nella

io-nosfera e nella magnetosfera come conseguenza dell’interazione fra il vento solare e il campo geomagnetico

• Campo d’induzione elettromagnetica: generato da correnti indotte nella

crosta e nel mantello dal campo esterno variabile nel tempo

Il campo principale rappresenta il 99% di tutto il campo magnetico osservato in superficie. Uno studio morfologico semplice mostra come il campo sia per il 95% analogo a quello generato da un dipolo posto al centro della terra,

di circa 11.5◦_{. L’IGRF (International Geomagnetic Reference Field) `e un}

modello globale del campo geomagnetico e vuole rappresentare il contribu-to del solo campo principale. Per la trattazione degli effetti sul tether del campo magnetico terrestre, si `e appunto assunta l’approssimazione di dipolo

inclinato di un angolo di 11.5◦ _{rispetto all’asse di rotazione terrestre,}

tras-curando sia gli effetti di variazione temporale a lungo e breve termine a cui `e soggetto il campo magnetico terrestre, sia il contributo dei campi residui a quello principale.

Per la sua geometria il campo magnetico terrestre ha linee di forza entranti

Figura 3.1: Campo magnetico terrestre

nella terra nell’Emisfero Nord ed uscenti da quello Sud. quindi l’estremo libero di polarit`a Nord (positivo) di un ago magnetico tender`a a dispor-si in verticale con il suo Nord, verso il basso in presenza di polo magnetico di polarit`a Sud (negativo). Si pu`o quindi scrivere per il campo geomagnetico:

B = µm

r3 [em− 3(em· er)er] (3.1)

dove:

`e il momento magnetico del dipolo terrestre ed em `e l’asse del dipolo

magne-tico che pu`o essere espresso in funzione rispettivamente dei versori radiale, tangenziale e normale al piano dell’orbita:

em = − sin(ω + ν) sin ieR− cos(ω + ν) sin ieT− cos ieN

3.2

Influenza del campo magnetico terrestre

sul tether

Il tether, come `e stato anticipato in precedenza, altro non `e che un cavo metallico all’interno del quale viene fatta passare corrente. Tale corrente produce un campo magnetico indotto come nella Figura seguente:

Figura 3.2: Filo percorso da corrente

La forza agente sul satellite dovuta all’interazione tra la corrente I nel tether e il campo magnetico B terrestre `e data dall’equazione di Lorentz (cfr.[5]):

F = LI × B (3.2)

dove L `e la lunghezza del tether. Si assume che il tether rimanga perfetta-mente allineato con la verticale locale. In realt`a, le forze elettrodinamiche normali al tether e l’accoppiamento orbita-assetto dovuto all’eccentricit`a non trascurabile causerebbe oscillazioni che allontanano il tether dalla verticale locale. Queste oscillazioni (e la corrente necessaria per controllarle)

tende-`e considerato un comportamento ideale, non si sono quindi considerate tali oscillazioni.

Per il vettore della corrente si ha: I = Ir

r = Ier (3.3)

dove r `e il vettore posizione dal centro della terra al satellite, cosicch´e la corrente positiva `e diretta uscente dalla Terra .

Assumendo quindi l’approssimazione precedentemente esposta di dipolo in-clinato per il campo magnetico terrestre, si ottiene per la forza ”propulsiva” del tether:

F = LIµm

r3 [cos ieT− cos(ω + ν) sin ieN] (3.4)

da cui le accelerazioni sul tether risultano essere, rispetto ad un sistema di riferimento cartesiano Oxyz geocentrico equatoriale:

aIJK = a0 r4    

−y cos α + z sin α sin β x cos α − z sin α cos β −x sin α sin β + y sin α cos β

  

 (3.5)

L’angolo α `e l’angolo formato dal versore momento di dipolo magnetico con l’asse z e coincide con l’angolo di nutazione, mentre l’angolo β `e l’angolo formato dalla proiezione del versore momento di dipolo magnetico sul piano

xy con l’asse x (cfr. Fig.3.2).

Nell’equazione (3.5) il termine a0 `e

a0 =

LIµm

m∗