Prova di Matematica e Statistica Seconda Parte - Matematica
c.l. in Biotecnologie - 2 luglio 2013
Cognome e Nome: . . . .
Es.1 Es.2 Es.3 Tot
(1) Nello spazio coordinato, si considerino le rette
r
(2x − y + 1 = 0
x + z − 2 = 0 s
x = −1 + 3t y = 7 − t z = t
(t ∈ R).
a) Si determini il piano π per r e perpendicolare a s.
b) Detto P0 il punto intersezione tra s e π, si determini la proiezione ortogonale P1 di P0 su r.
(Sugg.: P1 sta sulla retta r0 su π che passa per P0 ed `e ortogonale a r)
c) Si determini la retta s0 simmetrica di s rispetto al piano π0 per r e perpendicolare a π. (Sugg.:
non `e necessario determinare π0, si utilizzi piuttosto lo svolgimento del punto precedente)
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(2) Si consideri l’applicazione f : R2 → R definita dalla posizione z = f(x, y) = xex+ yey. Si determinino:
a) equazione del piano tangente al grafico della funzione nel punto O = (0, 0, 0).
b) il carattere dei punti critici di f in R2 mediante il metodo dell’Hessiano.
c) i punti di massimo e di minimo assoluti per f ristretta al dominio chiuso e limitato C = {(x, y) ∈ R2 | x ≤ 0, y ≤ 0, x2+ y2≤ 4}.
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(3) Si disegni nel piano coordinato xy l’insieme D costituito dai punti P = (x, y) = (ρ cos ϑ, ρ sin ϑ) che soddisfano, nelle coordinate polari ρ e ϑ, al sistema
(0 ≤ ϑ ≤ π/2 ϑ ≤ ρ ≤ 2ϑ .
Si calcoli quindi l’integrale Z Z
D
x + y
x2+ y2dxdy.
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