Corso di STATISTICA MATEMATICA Prova scritta del 6.7.2006

Corso di STATISTICA MATEMATICA Prova scritta del 6.7.2006

Candidato:...

Esercizio 1 . Una fabbrica di componenti meccanici vende i propri prodotti in confe- zioni da 3 unit`a. Sia x la variabile aleatoria corrispondente al numero di pezzi difettosi presenti in una stessa confezione. Analizzando i dati in proprio possesso, l’azienda ha stimato la seguente densit`a di probabilit`a per x:

f _x (x i ) =



 

 

 

 

0.9 se x i = 0 0.02 se x i = 1 0.03 se x i = 2 0.05 se x i = 3

Ai fini di controllare la qualit`a del processo produttivo, da una confezione viene estratto un pezzo e testato.

a) Calcolare la probabilit`a che il pezzo estratto sia difettoso.

b) Calcolare la probabilit`a che la confezione contenga esattamente un pezzo difet- toso, noto che il pezzo estratto `e difettoso.

Esercizio 2 . Siano x, y due variabili aleatorie la cui densit`a di probabilit`a congiunta vale

f _x,y (x, y) =

( cx se 0 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1 0 altrimenti

a) Determinare il valore di c affinch´e f x,y (x, y) rappresenti effettivamente una fun- zione di densit`a di probabilit`a.

b) Calcolare la probabilit`a P (x ≤ y).

c) Calcolare le densit`a di probabilit`a marginali f x (x), f y (y).

d) Le variabili aleatorie x e y sono indipendenti?

e) Calcolare la probabilit`a con cui la v.a. x assume valori minori di 0.5.

f) Come si modifica la probabilit`a calcolata al punto precedente nel caso in cui sia noto che la v.a. y ha assunto il valore y = 0?

Esercizio 3 . Siano y ₁ , y ₂ due variabili aleatorie indipendenti con densit`a di probabilit`a f _y

(y 1 ) =

( 1

θ e ⁻

^(y

⁻¹⁾ se y 1 ≥ 1

0 altrimenti f _y

(y 2 ) = ( 1

θ e ⁻

^(y

⁻²⁾ se y 2 ≥ 2

0 altrimenti

dove θ `e un parametro incognito positivo.

1

a) Calcolare al variare di θ il valor medio di y ₁ .

b) Calcolare la stima di massima verosimiglianza ˆ θ _{M L} di θ sulla base delle misure y _i , i = 1, 2.

c) Stabilire se lo stimatore calcolato al punto precedente `e polarizzato.

2