Exercice VIBN-1 : Problème de la corde tendue

Vibrations des systèmes mécaniques Exercices d’application : systèmes à N DDL

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Exercice VIBN-1 : Problème de la corde tendue

Thème : La mise en équation est intéressante, écriture des équations de liaison. On montre que les pulsations propres sont fonctions de la tension dans le fil (vibrations d’une corde tendue)

Trois surcharges de masse m chacune, sont placées de façon régulière sur un fil inextensible de longueur 4a. Une force constante F est appliquée à l’extrémité A du fil, l’extrémité B restant fixe.

On se place dans le cadre de l’hypothèse des petits mouvements, et on néglige le champ de pesanteur devant F .

Les 7 paramètres primitifs sont les positions( ,x y_{i i}) pour chaque masse ety₄ position de A Exprimer la position ( ,x y_{i i}) de chaque masse en fonction de l'angle θ_idu brin de fil (i−1, )i

Justifier le choix des 3 paramètres du mouvement : <x₁ x₂ x₃>

Exprimer y₄ en fonction de ces paramètres, en déduire l'expression du travail de F

m m

m G

x_o A

B

FG

Écrivez l’équation des mouvements sous forme matricielle sur

{ }

X T =<x x x >

Calculez les fréquences et les modes propres du système. Donnez une représentation de chaque mode.