In questa sezione dimostreremo il Teorema di additivit`a di Gromov (Teorema 3.5.1).
Sia M una variet`a compatta orientata e connessa, eventualmente con bordo ∂M non vuoto. Il volume simpliciale di M `e definito come
dove [M, ∂M ] `e l’immagine in Hn(M, ∂M ) della classe fondamentale intera rela-
tiva di M attraverso la mappa di cambio dei coefficienti indotta dall’inclusione Z ,→ R. Su Hn(M, ∂M ) stiamo considerando la semi-norma indotta in omologia
dalla norma quoziente su C•(M )/C•(∂M ).
Siano M1, . . . , Mkdelle n-variet`a orientate e compatte. Supponiamo di avere
delle coppie (S1+, S1−), . . . , (Sh+, S−h) di componenti di bordo diFk
i=1Mi (assu-
miamo che ogni componente compaia al pi`u una volta tra le Sj±) e per ogni i = 1, . . . , h, sia fi : Si+ → S
−
i un omeomorfismo che inverte l’orientazione
(orientazione su Si± indotta da quella delle Mi). Sia M la n-variet`a orientata
ottenuta incollando M1, . . . , Mk attraverso f1, . . . , fh.
Per ogni i = 1, . . . , h denotiamo con j±(i) ∈ {1, . . . , k} l’indice tale per cui Si± ⊂ Mj±(i) e poniamo Ki± il nucleo della mappa π1(S±i ) → π1(Mj±(i)) in-
dotta dall’inclusione. Diremo che gli incollamenti indotti da f1, . . . , fh sono
compatibili se per ogni i = 1, . . . , h si ha che Ki− = (fi)∗(Ki+).
Adesso possiamo enunciare il seguente:
Teorema 3.5.1 (Teorema di additivit`a di Gromov). Siano M1, . . . , Mk delle
n-variet`a compatte, orientate e connesse, con n ≥ 2. Supponiamo che il gruppo fondamentale di ciascuna componente di bordo di ogni Mjsia amenabile e sia M
la n-variet`a orientata ottenuta incollando M1, . . . , Mk lungo alcune componenti
di bordo. Allora
kM, ∂M k ≤ kM1, ∂M1k + · · · + kMk, ∂Mkk.
Inoltre, se gli incollamenti sono compatibili, vale
kM, ∂M k = kM1, ∂M1k + · · · + kMk, ∂Mkk.
Sia per la sub-additivit`a che per l’additivit`a utilizzeremo la seguente appli- cazione del Lemma 3.2.1.
Proposizione 3.5.2. Sia M compatta orientata e connessa, allora vale kM, ∂M k = max{hϕ, [M, ∂M ]i | ϕ ∈ Hn
b(M, ∂M ), kϕk∞≤ 1}.
Dimostrazione. Segue dal Lemma 3.2.1.
Sub-additivit`a. Sia S l’unione delle ipersuperfici S±i contenute in M . In generale, per ogni i = 1, . . . , k, possiamo considerare la mappa in coomologia
inj : Hbn(M, ∂M ∪ S) → Hbn(Mj, ∂Mj),
indotta dall’inclusione (Mj, ∂Mj) ,→ (M, ∂M ∪ S). In altre parole le mappe inj
sono restrizioni; da cui si capisce che non incrementano la norma.
Assumiamo da qui in poi che tutte le componenti connesse di ∂M ∪ S abbia- no gruppo fondamentale amenabile (questo segue ad esempio assumendo che le componenti connesse di ∂Mj abbiano gruppo fondamentale amenabile per
ogni j = 1, . . . , k). In questo caso grazie al Teorema 3.4.1 abbiamo i seguenti isomorfismi isometrici:
componendoli otteniamo l’isomorfismo isometrico
ζn: Hbn(M, ∂M ) → Hbn(M, ∂M ∪ S),
che possiamo interpretare come la possibilit`a di rappresentare ogni classe in Hn(M, ∂M ) con un cociclo nullo su ∂M ∪ S.
Infine, per ogni j = 1, . . . , k consideriamo la composizione ζjn= inj ◦ ζn: Hn
b(M, ∂M ) → H n
b(Mj, ∂Mj).
Chiaramente le ζn
j non incrementano la norma.
Lemma 3.5.3. Per ogni ϕ ∈ Hn
b(M, ∂M ) vale hϕ, [M, ∂M ]i = k X j=1 hζn j(ϕ), [Mj, ∂Mj]i.
Dimostrazione. Per ogni j = 1, . . . , k sia cj ∈ Cn(Mj) un ciclo fondamentale
(reale) relativo. Abusando della notazione identifichiamo i cj con le loro im-
magini in M e definiamo c :=Pk
j=1cj ∈ Cn(M ). Vogliamo costruire un ciclo
fondamentale relativo di M partendo da c. `
E facile provare che il bordo di un ciclo fondamentale relativo `e la somma dei cicli fondamentali delle componenti di bordo. Allora, ricordando che le mappe fi che definiscono gli incollamenti per M rovesciano l’orientazione, `e chiaro che
le facce che compaiono nella sommaP
j∂cjsi elidono a vicenda, a meno di cose
nulle in omologia, lungo le componenti di S. Perci`o esiste una catena c0 ∈ Cn(S)
tale che ∂c − ∂c0 ∈ Cn−1(∂M ), ovvero la catena c00:= c − c0`e un ciclo relativo di
M . Non solo, ma per quanto detto prima rispetto ai bordi dei cicli fondamentali relativi, otteniamo che c00 `e un ciclo fondamentale relativo di M .
Sia ora φ ∈ Cbn(M, ∂M ∪ S) un rappresentante di ζn(ϕ) (cio`e, per quanto gi`a osservato, φ `e un rappresentante di ϕ che si annulla su S). Vale che
φ(c) = k X j=1 φ(cj) = k X j=1 hζn j(ϕ), [Mj, ∂Mj]i.
D’altra parte, siccome φ svanisce lungo S, abbiamo che φ(c) = φ(c00− c0) = φ(c00) = hϕ, [M, ∂M ]i.
L’ultimo passaggio segue dal fatto che [φ] = ϕ in coomologia. Questo conclude la dimostrazione.
Dal lemma precedente segue facilmente la sub-additivit`a. Infatti sia ϕ ∈ Hn
b(M, ∂M ) che realizza il volume simpliciale kM, ∂M k come nella Proposizione
3.5.2. Allora abbiamo kM, ∂M k = hϕ, [M, ∂M ]i = k X j=1 hζn j(ϕ), [Mj, ∂Mj]i ≤ k X j=1 kMj, ∂Mjk.
Additivit`a. La dimostrazione dell’additivit`a si basa sulla seguente propriet`a di estensione dei cocicli limitati.
Teorema 3.5.4. Fissiamo ε > 0. Supponiamo che gli incollamenti che defi- niscono M siano compatibili. Per ogni j = 1, . . . , k sia ϕj ∈ Hbn(Mj, ∂Mj).
Allora esiste una ϕ ∈ Hn
b(M, ∂M ) tale che per ogni j = 1, . . . , k
ζjn(ϕ) = ϕj e kϕk∞≤ max{kϕjk∞| j = 1, . . . , k} + ε.
Prima di dimostrarlo vediamo in che modo ci permette di concludere la dimostrazione del Teorema di additivit`a. Per la Proposizione 3.5.2, per ogni j = 1, . . . , k, esiste una classe ϕj ∈ Hbn(Mj, ∂Mj), con kϕjk∞ ≤ 1, tale che
kMj, ∂Mjk = hϕj, [Mj, ∂Mj]i. Sia ora ϕ ∈ Hbn(M, ∂M ) la classe data dal
Teorema 3.5.4, allora abbiamo
k X j=1 kMj, ∂Mjk = k X j=1 hϕj, [Mj, ∂Mj]i = hϕ, [M, ∂M ]i ≤ (1 + ε) · kM, ∂M k. Per arbitrariet`a di ε > 0 concludiamo che la somma Pk
j=1kMj, ∂Mjk non
pu`o essere strettamente maggiore di kM, ∂M k. Assieme alla sub-additivit`a dimostrata sopra questo conclude la dimostrazione dell’additivit`a.
Dunque non ci resta che provare il Teorema 3.5.4. Per prima cosa faremo una veloce digressione che faciliter`a la comprensione della dimostrazione (quan- tomeno semplificandone la notazione). Sia p : ˜M → M il rivestimento universale di M . In ˜M definiamo il grafo T come il dato di
• un vertice v per ogni componente connessa di p−1(N
j) al variare di j ∈
{1, . . . , k}, dove Nj:= Mj\ ∂Mj considerato dentro M ;
• due vertici saranno uniti da un lato ogni volta che le chiusure in ˜M delle rispettive componenti connesse si intersecano (lungo una componente di bordo).
Denotiamo l’insieme dei vertici di T con V (T ). Per farci un’idea di T osserviamo che ciascun lato corrisponde ad una componente connessa di p−1(S). `E facile vedere che ˜M si retrae su T , allora il grafo T `e semplicemente connesso e quindi un albero.
Per ogni v ∈ V (T ) denotiamo con ˜Mv la chiusura in ˜M della componente
connessa associata a v. Ora utilizzeremo l’ipotesi degli incollamenti compatibili per provare che ˜M contiene copie dei rivestimenti universali degli Mj.
Lemma 3.5.5. Per ogni v ∈ V (T ) sia j(v) ∈ {1, . . . , k} l’indice che gli cor- risponde. Allora esiste un rivestimento universale pv : ˜Mv → Mj(v) che fa
commutare il seguente diagramma (dove j(v) `e abbreviato con j): ˜ Mv Mj ij(Mj). pv p|Mv˜ ij
Dimostrazione. Applicando Seifert van-Kampen possiamo concludere che se gli incollamenti sono compatibili, allora le mappe π1(Mj) → π1(M ) indotte dall’in-
clusione sono iniettive. Da questo segue che il rivestimento p si restringe a un rivestimento universale ˜Mv\ ∂ ˜Mv→ Nj(v); ora non `e difficile vedere che questo
si estende anche al bordo.
Denotiamo con Γ il gruppo fondamentale di M e lo identifichiamo con le trasformazioni del rivestimento universale p : ˜M → M . Sia v ∈ V (T ); se Γv
indica lo stabilizzatore di ˜Mv in ˜M per l’azione di Γ, per il Lemma 3.5.5 Γv `e
canonicamente isomorfo (a meno di coniugio) al gruppo fondamentale di Mj(v).
Sotto considereremo l’azione ovvia indotta da Γ sull’albero T ; quindi se v ∈ V (T ) e γ ∈ Γ, con γ · v intendiamo il vertice che corrisponde alla componente connessa in cui viene mandata ˜Mv.
Torniamo alla dimostrazione del Teorema 3.5.4. Abbiamo ϕj ∈ Hbn(Mj, ∂Mj)
per j = 1, . . . , k. Siccome le componenti di ∂Mj hanno gruppo fondamentale
amenabile, Hbn(Mj, ∂Mj) `e isometricamente isomorfo a Hbn(Mj), quindi per il
Corollario 3.4.5 ϕj ha un rappresentante speciale fj ∈ Cbsn(Mj, ∂Mj) tale che
kfjk∞≤ kϕjk∞+ ε.
Dunque, siccome per ogni v tale che j(v) = j, pv: ˜Mv→ Mj `e un rivestimento
universale di Mj, il pull-back attraverso pv di fj, che denotiamo
fv∈ Cbsn( ˜Mv, ∂ ˜Mv)Γv,
`e un rappresentante di ϕj. Inoltre vale chiaramente che kfvk∞≤ kfj(v)k∞.
Prima di procedere rimarchiamo una cosa ovvia, ossia che se v, w ∈ V (T ) sono tali che j(v) = j(w) = j ∈ {1, . . . , k} allora fv e fw differiscono per una tra-
sformazione del rivestimento p : ˜M → M . Pi`u precisamente, se w = γ · v e s : ∆n→ ˜M `e un simplesso supportato in ˜M
v, allora vale
fv(s) = fw(γ · s).
Questo `e chiaro se si pensa che fv e fw sono il pull-back della stessa cocatena
fj ∈ Cn(Mj, ∂Mj) attraverso due mappe di rivestimento pv e pw che sono
restrizione della stessa mappa di rivestimento p. Ora cerchiamo un cociclo f ∈ Cn
b( ˜M , ∂ ˜M )
Γ tale che per ogni v ∈ V la sua
restrizione a ˜Mv coincida con fv e kf k∞≤ max{kfjk∞| j = 1, . . . , k}. Con un
tale f si concluderebbe la dimostrazione.
Per costruire una f che soddisfi le propriet`a cercate, vogliamo in qualche modo incollare le varie fv; per farlo ci occorrer`a prima estendere le fv a cocatene
definite su tutto ˜M . Sia s : ∆n→ ˜M un n-simplesso in ˜M di vertici {q
0, . . . , qn},
intendendo le immagini attraverso s dei vertici del simplesso standard in Rn;
diremo che un vertice v ∈ V (T ) `e baricentro di s se vale la seguente propriet`a: per ogni i 6= j ∈ {0, . . . , n}, tutti i cammini in ˜M tra qi e qj intersecano
˜
Mv\ ∂ ˜Mv.
Lemma 3.5.6. Sia n ≥ 2. Un n-simplesso s in ˜M ha al pi`u un baricentro. Se s `e supportato in ˜Mv per qualche v ∈ V (T ), allora v `e il baricentro di s se e solo
se su ciascuna componente connessa di ∂ ˜Mv, s ha al pi`u un vertice. Inoltre in
Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che s abbia due baricentri v1, v2 ∈
V (T ). Sia A la componente connessa di ˜M \ ˜Mv1 che contiene ˜Mv2; allora
poich´e v1`e baricentro di s, pu`o esserci al pi`u un vertice di s in A. D’altra parte,
siccome anche v2`e baricentro di s, ˜M \ A pu`o contenere al pi`u un vertice di s,
dal momento che ˜M \ A `e disgiunto da ˜Mv2 ed `e connesso per archi. Dunque s
pu`o avere al pi`u due vertici, contro l’ipotesi n ≥ 2.
Sia s un n-simplesso in ˜M con vertici {q0, . . . , qn}. Per ogni v ∈ V (T )
consideriamo un qualsiasi n-simplesso sv in ˜M di vertici {q00, . . . , qn0} che sodisfa
le seguenti propriet`a: • sv `e supportato in ˜Mv;
• se qj ∈ ˜Mv allora q0j= qj;
• se qj ∈ ˜/Mv allora q0j `e un qualsiasi punto dell’unica componente connessa
B di ∂ ˜Mv per cui passano tutti i cammini che vanno da qj nell’interno di
˜ Mv.
L’unicit`a nel terzo punto `e dovuta al fatto che ˜M `e semplicemente connessa. Possiamo pensare a sv come a una proiezione di s su ˜Mv.
Ora siamo pronti per estendere le fv. Siano v ∈ V (T ) e s : ∆n → ˜M un
n-simplesso, allora sia ˆfv∈ Cn( ˜M , ∂ ˜M ) la cocatena definita da
ˆ
fv(s) = fv(sv).
Osserviamo che i vertici di sv sono univocamente determinati (a meno di iden-
tificare i punti nella stessa componente connessa di ∂ ˜Mv) da s. Allora, siccome
fv sono cocatene speciali, da questo segue che le ˆfv sono ben definite.
Lemma 3.5.7. Se v non `e il baricentro di s, allora ˆfv(s) = 0.
Dimostrazione. Distinguiamo due casi:
• Supponiamo che s sia supportato in ˜Mv, allora si vede subito che sv= s.
Per il Lemma 3.5.6 segue che s ha due vertici in una componente connessa di ∂ ˜Mv, quindi
ˆ
fv(s) = fv(s) = 0
perch´e f `e alternante.
• Se s non `e supportato in ˜Mv, non avendo v come baricentro, segue che
esistono due suoi vertici qi e qj collegati da un cammino che non inter-
seca ˜Mv\ ∂ ˜Mv. Allora questi due vertici saranno proiettati sulla stessa
componente connessa di ∂ ˜Mv, quindi
ˆ
fv(s) = fv(sv) = 0
Finalmente incolliamo le fv. Per ogni s : ∆n → ˜M definiamo
f (s) := X
v∈V (T )
ˆ fv(s).
Intanto notiamo che nella somma a destra pu`o esserci al pi`u un addendo non nullo, infatti per il Lemma 3.5.6 il simplesso s ha al pi`u un baricentro v ∈ V (T ) e di conseguenza, per il Lemma 3.5.7, soltanto il termine ˆfv(s) pu`o essere non
nullo. Da ci`o segue che f `e una cocatena in Cn( ˜M , ∂ ˜M ).
Per concludere dobbiamo verificare che f sia effettivamente un cociclo Γ-invariante che si restringe a fv su ˜Mv.
Cominciamo dalla Γ-invarianza: sia γ ∈ Γ, dobbiamo controllare che per ogni n-simplesso s valga fv(γ · s) = f (s); seguiamo i seguenti passaggi facili da
verificare:
1. se s ha baricentro v ∈ V (T ), allora γ · s ha baricentro γ · v;
2. se s ha baricentro v ∈ V (T ), dal passo 1. segue che f (γ · s) = ˆfγv(γ · s) =
fγv((γ · s)γv);
3. in generale vale che (γ · s)γv= γ · sv.
Da questi passi arriviamo alla conclusione, infatti se v `e il baricentro di s vale f (γ · s) = fγv((γ · s)γv) = fv(sv) = f (s),
dove il penultimo passaggio `e giustificato da quanto osservato prima circa la relazione tra fv e fγv.
Sia ora s un n-simplesso in ˜M supportato in ˜Mv per qualche v ∈ V (T ).
Allora sv= s (o meglio, possiamo sceglere sv = s), da cui otteniamo
f (s) = ˆfv(s) = fv(sv) = fv(s),
infatti poich´e s `e supportato in ˜Mv il suo (eventuale) baricentro non pu`o essere
che v.
Manca da provare che f `e un cociclo. L’osservazione chiave `e questa: se s0 `e un (n + 1)-simplesso in ˜M e v un vertice di T , allora ∂i(s0v) = (∂is0)v; dove
con ∂i indichiamo l’i-esima faccia di s0. Supponiamo che v sia il baricentro di
s0. Allora abbiamo f (∂s0) = f n+1 X i=0 (−1)i∂is0 ! = fv n+1 X i=0 (−1)i(∂is0)v ! = fv n+1 X i=0 (−1)i∂i(s0v) ! = fv(∂(s0v)) = 0.
L’ultima uguaglianza segue dal fatto che fv `e un cociclo. Quindi f `e un cociclo