In questa sezione riporteremo alcuni risultati presi da [17]. Introdurremo la nozione di condizione uniforme al bordo per complessi di catene normati e vedremo come questa condizione dipenda dal comportamento della coomologia limitata. Per le propriet`a della coomologia limitata, l’amenabilit`a avr`a un ruolo importante nel garantire che questa nuova condizione sia soddisfatta (Corollario 3.3.5).
Definizione 3.3.1. Un complesso di catene normato (C•, ∂•) soddisfa la con-
dizione uniforme al bordo in grado q (in breve q-UBC) se esiste una costante K > 0, tale che per ogni c ∈ Cn che `e bordo, esiste b ∈ Cn+1 per cui vale che
∂b = c e |b| ≤ K · |c|.
Teorema 3.3.2. Siano (C, d) un complesso di Banach e (C0, δ) il suo complesso di cocatene duale e sia q ∈ N. Le seguenti condizioni sono equivalenti:
1. Il complesso (C, d) soddisfa la q-UBC;
3. la seminorma indotta su Hbq+1(C0) `e una norma; 4. la mappa
Hbq+1(C0) → (Hq+1(C))0
indotta dal prodotto di Kronecker, `e un isomorfismo.
Dimostrazione. Denoteremo con Zi e Bi rispettivamente i cicli e i bordi di Ci,
mentre denoteremo con Zi
b e Bbi rispettivamente i co-cicli e i co-bordi di (C0)i.
Osserviamo fin da ora che cicli e co-cicli sono sottospazi chiusi in quanto nuclei di mappe continue.
(1) ⇔ (2): Consideriamo la bigezione Cq+1/Zq+1 dq+1
−−−→ Bq indotta da dq+1.
Siccome Zq+1 `e un sottospazio chiuso e Cq+1 `e completo, abbiamo che
Cq+1/Zq+1`e uno spazio di Banach.
La condizione (1) `e equivalente al fatto che dq+1: Cq+1/Zq+1→ Bq abbia
un’inversa limitata. Ora, il fatto che sia un isomorfismo tra spazi normati, implica che anche Bq `e completo; viceversa se Bq `e completo, per il Teo-
rema della mappa aperta ([1, Corollario 2.7]) l’inversa di dq+1 `e limitata,
quindi vale la condizione (1).
Infine abbiamo che Bq `e completo in Cq se e solo se `e chiuso, che `e lo
stesso di chiedere che Hq(C) sia uno spazio normato.
(2) ⇔ (3): Osserviamo che la condizione (2) `e equivalente a: “immagine della mappa dq+1chiusa”, mentre la condizione (3) `e equivalente a :“immagine
della mappa δq chiusa”; inoltre δq`e la mappa duale di d
q+1. Se f : V → W
`
e una mappa lineare e limitata tra spazi di Banach e f0: W0 → V0`e la sua
duale, allora vale (vedi [21, Teorema 4.14]) che l’immagine di f `e chiusa se e solo se `e chiusa quella di f0; questo prova l’equivalenza.
(2) ⇒ (4) Sappiamo dal Lemma 3.2.1 che la mappa in questione `e surgettiva, perci`o resta da dimostrare l’iniettivit`a. Abbiamo gi`a visto che il punto (2) implica che Bqsia uno spazio di Banach, quindi per il Teorema della mappa
aperta, abbiamo che la mappa dq+1 : Cq+1/Zq+1→ Bq `e un isomorfismo
(tra spazi normati).
Supponiamo di avere f ∈ Zbq+1 tale che [f ] = 0 in (Hq+1(C))0; in altre
parole: f : Cq+1 → R lineare e continua tale che f|Zq+1 ≡ 0. Allora f
spezza attraverso la proiezione sul quoziente come f : Cq+1/Zq+1 → R.
Ora, per l’isomorfismo Cq+1/Zq+1 indotto da dq+1, esiste una g0 ∈ (Bq)0
continua che rende commutativo il seguente diagramma
Cq+1/Zq+1 R.
Bq f dq+1 g
0
Per Hahn-Banach esiste una g : Cq → R lineare e continua che estende g0;
allora abbiamo ottenuto f = g ◦ dq+1, ovvero f = δq(g) e quindi [f ] = 0
in Hbq+1(C0).
(4) ⇒ (3) La seminorma su Hbq+1(C0) `e una norma se il solo elemento di semi- norma nulla `e lo zero. Ma un elemento di seminorma nulla sta nel nucleo
della mappa Hbq+1(C0) → (Hq+1) 0
: sia infatti f ∈ Zbq+1 e supponiamo che k[f ]k∞= 0 in Hbq+1(C
0); quindi abbiamo che
0 = inf g∈(Cq)0 kf + δqgk ∞ = inf g∈(Cq)0 sup c∈Cq+1 |f (c) + (δqg)(c)| kck1 ≥ sup c∈Zq+1 |f (c)| kck1 , cio`e f |Zq+1 ≡ 0 e dunque [f ] = 0 in (Hq+1(C)) 0 .
Corollario 3.3.3. Siano (C, d) un complesso di Banach e (C0, δ) il suo com-
plesso di cocatene duale e q ∈ N. Allora valgono le seguenti affermazioni: 1. Se Hq(C) = Hq+1(C) = 0 allora Hbq+1(C0) = 0.
2. Se Hbq(C0) = Hbq+1(C0) = 0, allora Hq(C) = 0.
3. H•(C) = 0 se e solo se Hb•(C0) = 0.
Dimostrazione. 1. Chiaramente Hq(C) `e Banach, quindi per il Teorema 3.3.2
abbiamo che Hbq+1(C0) ∼= (Hq+1(C))0= 0.
2. Chiaramente Hbq+1(C0) `e di Banach, quindi per il Teorema 3.3.2 anche Hq(C) lo `e; ma uno spazio di Banach `e banale se e solo se `e banale il suo
spazio duale; lo spazio duale (Hq(C))0`e banale perch´e H q
b(C0) → (Hq(C))0
`
e suriettiva per il Lemma 3.2.1 e per ipotesi Hbq(C0) = 0.
3. Grazie ai punti 1 e 2 sopra, rimane solo da provare che se H•(C) = 0
allora H0
b(C0) = 0. Ma se H0(C) = 0, allora d1 : C1 → C0 `e suriettiva,
quindi la sua duale δ0: (C0)0→ (C0)1`e iniettiva e dunque H0
b(C0) = 0.
Dal Corollario 3.3.3 segue che l’omologia `1 di un CW-complesso numera-
bile X con gruppo fondamentale Γ amenabile `e banale: infatti la coomologia limitata di X coincide con quella di Γ ([9, Teorema 5.9]) e questa `e banale poich´e Γ `e amenabile (Teorema 2.1.11), infine grazie a (3) del Corollario 3.3.3, Hb•(Γ) = 0. Addirittura un risultato di L¨oh ([15, Teorema 1.1]) garantisce che l’omologia di un complesso di Banach `e completamente determinata dalla coomologia limitata.
Consideriamo ora il complesso di catene (C∗, δ), il duale algebrico del com- plesso normato (C, d). Notiamo che il differenziale `e lo stesso di quello del duale topologico. L’inclusione tra complessi di cocatene i : (C0, δ) ,→ (C∗, δ) induce la mappa in coomologia
c : Hb•(C0) → H•(C∗), detta mappa di confronto.
Teorema 3.3.4. Sia (C, d) un complesso di catene normato, le seguenti condi- zioni sono equivalenti.
1. il complesso (C, d) soddisfa la q-UBC;
2. il complesso ( ˆC, d) soddisfa la q-UBC, e il sottospazio dei (q + 1) cicli di (C, d) `e denso nello spazio dei (q + 1)-cicli di ( ˆC, d);
3. la mappa di confronto cq+1: H q+1 b (C
0) → Hq+1(C∗) `e iniettiva.
Dimostrazione. Denoteremo con Zi e Bi rispettivamente i cicli e i bordi di Ci,
mentre denoteremo con ˆZi e ˆBi rispettivamente i cicli e i bordi di ˆCi.
(1) ⇒ (2) Supponiamo che (C, d) soddisfi la q-UBC e sia K > 0 la relativa costante. Fissiamo b ∈ ˆBq; siccome Bq `e denso in ˆBq, riusciamo a trovare
una successione (bi)i∈N⊂ Bq tale che ∞ X i=1 bi= b e ∞ X i=1 kbik ≤ 2kbk.
Ora, utilizzando la q-UBC su (C, d), troviamo per ogni i ∈ N una catena ci∈ Cq+1tale che dq+1ci= bie kcik1≤ K · kbik. Poniamo c :=P∞i=1ci∈
ˆ
Cq+1; allora abbiamo che
dq+1c = b e kck ≤ 2 · K · kbk,
quindi il complesso ( ˆC, d) soddisfa la q-UBC.
Adesso proviamo che Zq+1 `e denso in ˆZq+1. Sia z = limi→∞ci ∈ ˆZq+1,
con ci∈ Cq+1 per ogni i ∈ N. Scegliamo dei c0i ∈ Cq+1 tali che dq+1c0i =
−dq+1ci (quindi ci+ c0i ∈ Zq+1) e kc0ik ≤ K · kdq+1cik per ogni i ∈ N.
Osserviamo che
kc0ik ≤ K · kdcik = K · kd(ci− z)k ≤ (q + 2) · K · kci− zk,
quindi limi→∞c0i = 0. Allora abbiamo che z = limi→∞(ci+ c0i) e dunque
Zq+1 `e denso in ˆZq+1.
(2) ⇒ (1) Supponiamo che il complesso ( ˆC, d) soddisfi la q-UBC con relativa costante K > 0. Sia b ∈ Cq un bordo e c ∈ Cq+1 tale che dc = b. Per
ipotesi esiste c0∈ C0
q+1tale che
dc0= b e kc0k ≤ K · kbk.
In particolare (c − c0) ∈ ˆZq+1; per ipotesi Zq+1 `e denso in ˆZq+1, quindi
esiste un z ∈ Zq+1 tale che kc − c0− zk ≤ kbk. Allora abbiamo che per
c − z ∈ Cq+1vale d(c − z) = dc = b e
kc − zk ≤ kc − c0− zk + kc0k ≤ (k + 1) · kbk.
(2) ⇒ (3) Sia f ∈ Zbq+1, quindi f : Cq+1 → R nulla su Bq+1; supponiamo
che cq+1([f ]) = 0. Per il Teorema dei Coefficienti Universali Hq+1(C∗) ∼=
(Hq+1(C)) 0
, quindi abbiamo che f `e nulla su Zq+1e per densit`a su ˆZq+1. In
particolare f definisce un elemento nullo di (Hq+1( ˆC))0, ma per il Teorema
3.3.2, sotto queste ipotesi, la mappa Hbq+1(C0) → (Hq+1( ˆC))0`e iniettiva e
dunque [f ] = 0 in Hbq+1(C0). Questo dimostra che la mappa di confronto `
(3) ⇒ (2) Come abbiamo visto nella dimostrazione dell’implicazione (2) ⇒ (4) del Teorema 3.3.2, il nucleo della mappa Hbq+1(C0) → (Hq+1(C))0`e conte-
nuto nel nucleo dell mappa di confronto Hbq+1(C0) → Hq+1(C∗), che `e ba-
nale per ipotesi; ma questo, per il Teorema 3.3.2, implica che il complesso di Banach ( ˆC, d) soddisfa la q-UBC.
Ora proviamo che Zq+1`e denso in ˆZq+1. Per assurdo supponiamo che Zq+1
non sia denso in ˆZq+1. Sotto queste ipotesi, per Hahn-Banach, esiste una
f : ˆCq+1→ R che si annulla su Zq+1 ma non su ˆZq+1. Siccome f |Zq+1≡ 0
allora [f ] = 0 in Hq+1(C∗), ma [f ] 6= 0 in Hbq+1(C0) poich´e f |Zˆq+1 6= 0,
infatti δq(g)| ˆ
Zq+1 ≡ 0 per ogni g ∈ (C
∗)q. Quindi la mappa di confronto
non `e iniettiva, il che `e assurdo.
Vediamo una conseguenza legata all’amenabilit`a.
Corollario 3.3.5. Se M `e una variet`a con gruppo fondamentale amenabile, allora il complesso di catene singolari con la norma `1 soddisfa l’n-UBC per
ogni n ∈ N.
Dimostrazione. Per il Teorema [9, Teorema 5.9] e il Teorema 2.1.11 la coomo- logia limitata di M `e banale. Ora si conclude per l’implicazione (3) ⇒ (1) del teorema precedente.