Incollamento lungo tori - Tecniche di Folner per le varianti intere del volume simpliciale

In questa sezione vedremo un risultato di additivit`a per il volume simpliciale foliato intero. Analogamente a quanto visto nella Sezione 3.6, usando la condizione uniforme al bordo, incollando cicli fondamentali “piccoli” per gli ad- dentdi che incolleremo costruiamo un ciclo fondamentale “piccolo” per la variet`a ottenuta dall’incollamento.

4.5.1 Volume simpliciale foliato per variet`a con bordo.

Prima di cominciare introduciamo una versione relativa per le variet`a compatte (che possono avere bordo) del volume simpliciale foliato.

Sia (M, ∂M ) una n-variet`a compatta orientabie e connessa con gruppo fondamentale Γ. Supponiamo che ∂M sia connesso e π1-iniettivo. Sia π : ˜M → M

il rivestimento universale di M e sia U una componente connessa di π−1(∂M ); allora π|U : U → ∂M `e il rivestimento universale di ∂M .

Se α : Γ y (X, µ) `e un Γ-spazio standard, possiamo definire il sottocomplesso di C∗(M ; α):

D∗:= L∞(X, µ, Z) ⊗ZΓC∗(π −1

(∂M ); Z).

Ora diciamo che una catena c ∈ Cn(M ; α) `e un ciclo fondamentale relativo

parametrizzato di M se esistono: c_Z ∈ Cn(M ; Z) ciclo fondamentale relativo

intero (vediamo C∗(M ; Z) come sottocomplesso di C∗(M ; α)), b ∈ Cn+1(M ; α)

e d ∈ Dn tali che

c = c_Z+ d + ∂b.

Osserviamo che il bordo di un ciclo fondamentale relativo parametrizzato c = c_Z+ d + ∂b come sopra risulta

∂c = ∂c_Z+ ∂d + ∂2b = ∂c_Z+ ∂d;

ma siccome c_Z`e un ciclo fondamentale relativo, allora ∂c sar`a un ciclo in Dn−1.

Giustifichiamo questa definizione di ciclo relativo: sia Γ0 := π1(∂M ) ⊂

Γ (il bordo è π1-iniettivo); la restrizione α0 := resΓ_Γ0α, ovvero α0 := Γ0 y (X, µ) (l’azione è la restrizione dell’azione di Γ), è un Γ0-spazio standard. Nelle

prossime righe specificheremo quale azione stiamo considerando sullo spazio L∞_{(X, Z) (in che modo sar`a chiaro dopo); abbiamo i seguenti isomorfismi:}

D∗= L∞(α, Z) ⊗ZΓC∗(π −1 (∂M ); Z) ∼ = L∞(α, Z) ⊗ZΓZΓ ⊗ZΓ0C∗(U ; Z) ∼ = L∞(α0, Z) ⊗ZΓ0C∗(U ; Z) ∼ = C∗(∂M ; α0).

Giustifichiamo: la prima e l’ultima riga vengono per le definizioni; la terza riga `e semplice notazione: indica che si considera l’azione ristretta a Γ0; la seconda

invece segue dall’isomorfismo:

ZΓ ⊗ZΓC∗(π−1∂M ; Z) ∼= ZΓ ⊗ZΓ0C(U ; Z).

Per concludere, l’equazione ∂c = ∂c_Z+∂d vale in C∗(∂M ; α0), quindi ∂c `e un

ciclo fondamentale α0-parametrizzato di ∂M (poich´e ∂c `e un ciclo fondamentale

intero di ∂M ).

4.5.2 Incollamento lungo tori attraverso la condizione al

bordo.

Come accennato sopra proveremo l’additività passando per l’uniforme condizione al bordo. Un’applicazione del Teorema 4.3.4 è il seguente risultato di additività:

Proposizione 4.5.1 (Incollamento lungo tori). Sia n ∈ N>0e siano (M+, ∂M+)

e (M−, ∂M−) (n + 1)-variet`a orientate, compatte e connesse il cui bordo `e π1-

iniettivo e omeomorfo al n-toro (S1₎n_{. Sia f : ∂M}

+ → ∂M− un omeomor-

fismo che preserva l’orientazione. Sia M := M+ ∪f M− la (n + 1)-variet`a

π1(M+) ∗π1(f )π1(M−).

Se α = Γ y (X, µ)`e un Γ-spazio standard essenzialmente libero, tale che kM+, ∂M+k resΓ π1(M+)α_{= 0} _e _kM −, ∂M−k resΓ π1(M−)α_{= 0,} allora kM kα_{= 0. In particolare kM k} F = 0.

Su M consideriamo l’orientazione indotta dall’orientazione positiva di M+ e

quella negativa di M−. Dimostrazione. Poniamo α+:= resΓπ1(M+)α , α−:= res Γ π1(M−)α e α0:= resΓπ1(∂M−)α.

Sia ε > 0. Per ipotesi esistono c+ ∈ Cn+1(M+; α+) e c− ∈ Cn+1(M−; α−) cicli

fondamentali relativi parametrizzati di (M+, ∂M+) e (M−, ∂M−) tali che

|c+|1< ε e |c−|1< ε.

Notiamo che di conseguenza abbiamo:

|∂c+|1≤ (n + 2) · ε e |∂c−|1≤ (n + 2) · ε (4.4)

Un ciclo fondamentale di M `e

c := c+− c−− b,

dove b ∈ Cn+1(∂M−; α0) e ∂b = ∂c+− ∂c−. Chiaramente b `e null-omologo,

quindi per il Teorema 4.3.4 esiste una costante K ∈ R>0 tale che possiamo

assumere

|b|1≤ K · |∂c+− ∂c−|1≤ (n + 2)|c+|1+ (n + 2)|c−|1≤ 2(n + 2) · ε.

Unendo i pezzi abbiamo:

kM kα≤ |c|1

≤ |c+|1+ |c−|1+ |b|1

≤ (2 + 2(n + 2)) · ε, ma ε `e arbitrario e quindi abbiamo concluso.

Osservazione 4.5.2 (sub-additività foliata). Il ragionamento appena fatto si può usare per ottenere una sub-additività generale per il volume simpliciale foliato intero? Ovvero, se (M+, ∂M+) e (M−, ∂M−) soddisfano le stesse ipotesi

di prima, ma possono avere volume non nullo, vale che kM kF≤ kM+, ∂M+kF+ kM−, ∂M−kF?

Osserviamo che in generale, per un n-ciclo relativo c in una variet`a con bordo M , la sola stima che conosciamo a priori per la norma `1 del suo bordo `e:

quindi quando andiamo ad “incollare” due cicli fondamenteli c+ e c−, la parte

di avanzo lungo il bordo che stiamo incollando, cio`e ∂c+−∂c−, non `e in generale

piccola e quindi non possiamo applicare in modo efficace la UBC sul complesso C∗(∂M−; α0).

Dunque per dimostrare in questo modo la sub-additività per il volume simpliciale foliato intero usando questo ragionamento, manca ancora qualche cosa (vedi Domanda 4.5.5). Infatti non è ancora chiaro se la sub-additività valga o meno.

Osservazione 4.5.3 (sub-additività nel caso classico). Per il volume simpliciale classico vale l’additività sotto certe condizioni (vedi [9, Teorema 7.6]). La sub-additività può essere dimostrata con lo stesso ragionamento fatto nella dimostrazione della Proposizione 4.5.1: la difficoltà rilevata nell’Osservazione precedente viene infatti superata grazie alla seguente versione del teorema di equivalenza di Gromov ([9, Teorema 6.13]):

Teorema 4.5.4. Sia (X, Y ) una coppia di CW-complessi numerabili e supponiamo che il gruppo fondamentale di ciascuna componente di Y sia amenabile. Sia α ∈ Hn(X, Y ), n ≥ 2. Allora, per ogni ε > 0, esiste un elemento c ∈ Cn(X)

con ∂c ∈ Cn−1(Y ) tale che |c|1≤ kαk + ε e |∂c|1≤ ε.

In virt`u delle ultime osservazioni, ci poniamo le seguenti domande:

Domanda 4.5.5. Riescono le tecniche di Følner a fornire (nel caso asferico) una dimostrazione del Teorema di equivalenza di Gromov? Un argomento di questo tipo porterebbe ad una versione del Teorema di equivalenza di Gromov per il volume simpliciale foliato intero?

4.5.3 Esempi concreti.

La Proposizione 4.5.1 fornisce un modo di calcolare il volume simpliciale foliato intero di variet`a ottenute tramite incollamenti lungo il bordo. Purtroppo le condizioni richieste sembrano molto restrittive; ad esempio trovare uno spazio di parametri per cui il volume parametrizzato delle componenti da incollare sia zero non `e scontato.

Vedremo per`o che esiste un’operazione sugli spazi che annulla il volume simpliciale foliato (Lemma 4.5.6). A questo punto sar`a facile ottenere un’applicazione per la Proposizione 4.5.1.

Lemma 4.5.6. Sia (N, ∂N ) una n-variet`a orientata compatta e connessa, con bordo connesso (che potr`_{a anche essere vuoto), sia k ∈ N e sia M := N × (S}1)k. Se α `e un π1(M )-spazio standard essenzialmente libero, allora:

kM, ∂M kα_{= 0.}

Come conseguenza del lemma precedente e della Proposizione 4.5.1 otteniamo il seguente risultato.

Corollario 4.5.7. Siano (N+, ∂N+) e (N−, ∂N−) due variet`a orientate compat-

te e connesse, di dimensione rispettivamente n+ e n−. Supponiamo che i bordi

siano omeomorfi al toro n+e n−-dimensionale e che siano entrambi π1-iniettivi.

Sia n > max{n+, n−} e sia

un omeomorfismo che preserva l’orientazione. Allora la variet`a ottenuta incollando lungo f

M := N+× (S1)n−n+ ∪f N−× (S1)n−n− ,

soddisfa

kM kα_{= 0}

per ogni π1(M )-spazio standard essenzialmente libero α. In particolare kM kF =

Dimostrazione del Corollario 4.5.7. Scriviamo M+:= N+× (S1)n−n+ e M− :=

N−× (S1)n−n−, mentre indichiamo π1(M ) con Γ.

Sia α un Γ-spazio standard essenzialmente libero; siccome i bordi ∂N+ e ∂N−

sono π1-iniettivi per ipotesi, segue che resΓπ1(M+)α e res

π1(M−)α sono essenzial-

mente liberi. Possiamo applicare il Lemma 4.5.6, che implica che le ipotesi della Proposizione 4.5.1 sono soddisfatte, quindi kM+kα= 0.

Siano M e N due variet`a, supponiamo dimM = n e dimN = m. La dimostrazione del Lemma 4.5.6 richiede l’introduzione del cross product, ovvero una mappa Cn(M ; Z) ⊗ Cm(N ; Z) → Cn+m(M × N ; Z) , la cui definizione

si basa sull’esistenza di una triangolazione canonica di ∆n× ∆m _{(vedi la di-}

mostrazione della Proposizione 2.10 in [13]). Sia Ps

r=1λr · αr la catena in

Cn+m(∆n× ∆m; Z) che corrisponde a tale triangolazione. Allora per ogni cop-

pia di simplessi σ : ∆n → M e τ : ∆m _{→ N , definiamo il loro cross product}

come ¯ σ × τ := s X r=1 λr· (σ × τ ) ◦ αr.

Ora la possiamo estendere per linearit`a a una mappa

× : Cn(M ; Z) ⊗ Cm(N ; Z) → Cn+m(M × N ; Z).

Si può verificare che il cross product è ben definito ed è una mappa tra complessi di catene, in particolare induce una mappa in omologia Hn(M ; Z)⊗Hm(N ; Z) →

Hn+m(M × N ; Z), che continuiamo a chiamare cross product; si pu`o provare

inoltre che [M ] × [N ] = [M × N ].

Siano Γ := π1(M ) e α1 = Γ y (X, µ) un Γ-spazio standard. Allo stesso

modo siano Λ := π1(N ) e α2= Λ y (Y, ν) un Λ-spazio standard.

Consideriamo due catene

l X j=1 fj⊗ σj ∈ L∞(X, Z) ⊗ZΓCn( ˜M ; Z), k X i=1 gi⊗ τi∈ L∞(Y, Z) ⊗ZΛCm( ˜N ; Z).

Definizione 4.5.8. Definiamo il cross product tramite la mappa L∞_{(X, Z) ⊗}_ZΓCn( ˜M ; Z) ⊗ L∞(Y, Z) ⊗ZΛCm( ˜N ; Z) → L∞_{(X × Y, Z) ⊗}_Z(Γ×Λ)Cn+m(M × N ; Z),˜   l X j=1 fj⊗ σj  ⊗ k X i=1 gi⊗ τi ! 7→ l X j=1 k X i=1 (fj× gi) ⊗ (σj× τ¯ i).

Il cross product `e ben definito rispetto alla relazione indotta dall’azione diagonale sui complessi di catene, inoltre il cross product passa in omologia, vedi [23, Sezione 5.2].

Lemma 4.5.9. Il cross product di cicli fondamentali parametrizzati di M e N `

e un ciclo fondamentale parametrizzato di M × N .

Dimostrazione. Per definizione, un ciclo fondamentale parametrizzato per M `e una catena omologa a iM_{(z), dove z ∈ C}

n(M ; Z) `e un ciclo fondamentale intero

di M e iM

indica la mappa di cambio dei coefficienti, indotta da Z ,→ L∞(X, Z), inclusione delle funzioni costanti. Allo stesso modo un ciclo fondamentale parametrizzato per N `e una catena omologa a iN_(z0_).

Abbiamo gi`a detto che [M ] × [N ] = [M × N ], quindi un ciclo fondamentale parametrizzato per M × N `e una catena omologa a iM ×N_{(z × z}0_{). Dalla defini-}

zione di cross product segue facilmente che vale iM_{(z) × i}N_(z0_{) = i}M ×N_{(z × z}0_);

quindi se l X j=1 fj⊗ σje k X i=1 gi⊗ τi

sono cicli fondamentali parametrizzati di M e N , segue che

l X j=1 k X i=1 (fj× gi) ⊗ (σj× τ¯ i)

`e un ciclo fondamentale parametrizzato di M × N .

Osservazione 4.5.10. Come si comporta il cross product rispetto alla norma `1? Consideriamo il caso con coefficienti interi. Siano c = Pl

i=1ai· σi ∈ Cn(M ; Z) e c0 =P h j=1bj· τj∈ Cm(N ; Z), sia inoltreP s r=1λr· αr∈ Cn+m(∆n× ∆m

; Z) la catena corrispondente alla triangolazione canonica di ∆n_×∆m_{. Allora}

abbiamo c × c0∈ Cn+m(M × N ; Z) e |c × c0|1= l X i=1 h X j=1 ai· bj· (σi× τ¯ j) ₁ = l X i=1 h X j=1 ai· bj· s X r=1 λr· (σi× τj) ◦ αr ! ₁ = l X i=1 h X j=1 s X r=1 ai· bj· λr· ((σi× τj) ◦ αr) ₁ = l X i=1 h X j=1 s X r=1 |ai· bj· λr| ≤ |c|1· |c0|1· ( s X r=1 |λr|). Visto chePs r=1|λr| non dipende da c o c

0 _{ma solo da n e m, abbiamo trovato}

che

dove C(n, m) `e la norma `1 _{della triangolazione standard di ∆}n_{× ∆}m_.

Dimostrazione del Lemma 4.5.6. ´E sufficiente considerare il caso k = 1. Siano Γ := π1(M ) e Λ ⊂ Γ il sottogruppo corrispondente alla componente S1 in M .

Sia α0:= resΓΛα il Λ-spazio standard essenzialmente libero ottenuto restringendo

l’azione di Γ (`e chiaro che restringendo l’azione otteniamo ancora un’azione essenzialmente libera).

Abbiamo visto che kS1_kα0 _{= 0 (Proposizione 1.3.1). Qundi per ogni ε > 0}

esiste un ciclo fondamentale parametrizzato c0 ∈ C1(S1; α0) tale che |c|1 ≤ ε.

Sia invece cN ∈ Cn(N ; Z) un ciclo fondamentale relativo di N . Allora per il

Lemma 4.5.9, il cross product

cM := c × cN ∈ Cn+1(M ; α)

`e un ciclo fondamentale relativo parametrizzato per M . Per quanto visto nel- l’Osservazione 4.5.10, vale

|cM|1≤ C(n, m) · |cN|1· |c|1≤ n · |cN| · ε.

Siccome ε `e arbitrario, otteniamo kM, ∂M kα= 0.

4.6 Annullamento dell’omologia `

per gruppi

amenabili.

In questa sezione vedremo un’applicazione delle tecniche di Følner all’omologia `1_{di gruppi. Se Γ `}_{e un gruppo, denotiamo con C}

∗(Γ) la risoluzione libera

di R su RΓ. Un complesso che calcola l’omologia ordinaria H∗(Γ; R) del grup-

po Γ `e C∗(Γ; R) := R ⊗RΓC∗(Γ). L’omologia `1`e definita come l’omologia del

completamento di C∗(Γ; R) rispetto alla norma `1, che indichiamo con C`

∗ (Γ; R).

Usando le successioni di Følner, vogliamo provare il seguente risultato: Teorema 4.6.1. Sia Γ un gruppo amenabile e sia n ≥ 1. Allora

H_n`1_{(Γ, R) = 0.}

Ricordiamo che questo risultato `e gi`a stato dimostrato nel Capitolo 3 (Co- rollario 3.3.3) attraverso la coomologia limitata.

Per prima cosa utilizzando le successioni di Følner costruiremo dei rappre- sentanti di norma piccola a piacere per ogni classe in Hn(Γ; R), in questo modo

proveremo che la semi-norma indotta in omologia è banale (Proposizione 4.6.4); questo passaggio seguirà la strategia utilizzata per dimostrare il Teorema 4.2.1. Da questo seguirà (Proposizione 4.6.5) che ogni classe di omologia ordinaria è nulla in H`1

n (Γ; R). Quindi per concludere ci baster`a mostrare che ogni ciclo in

C`1

n(Γ; R) si pu`o scrivere come somma (infinita) di cicli ordinari.

Osservazione 4.6.2. La dimostrazione che vedremo si adatta facilmente a dimostrare il risultato analogo per varietà asferiche con gruppo fondamentale amenabile. La tesi della Proposizione 4.6.4 vale anche per coefficienti più generali ed è facile aggiustare la dimostrazione in questo senso; mentre per concludere la dimostrazione dell’annullamento dell’omologia `1 _{occorre che il complesso di}

Osservazione 4.6.3 (UBC per C∗(Γ; R)). Possiamo ripercorrere pari pari la

dimostrazione del Teorema 4.3.1 per provare che, se Γ `e un gruppo amenabile, allora il complesso C∗(Γ; R) soddisfa la condizione uniforme al bordo. I Lemmi

di sollevamento e riempimento (Lemmi 4.1.1 e 4.1.2 risp.) possono essere infatti adattati al caso dei gruppi: un po’ di attenzione occorre per scegliere il sottoinsieme finito S del gruppo Γ rispetto al quale prendere la sequenza di Følner (vedi dimostrazione della Proposizione 4.6.4, Sollevamento); mentre possiamo scegliere l’omotopia di complessi standard di C∗(Γ) (vedi dimostrazione della

Proposizione 4.6.4, Riempimento) per riempire efficacemente i bordi.

Proposizione 4.6.4. Sia Γ un gruppo amenabile e sia n ≥ 1. Allora la semi- norma indotta in omologia `e banale, cio`e per ogni α ∈ Hn(Γ; R) si ha

kαk1= 0.

Dimostrazione. Sia c ∈ Cn(Γ; R) un ciclo, con n ≥ 1; vorremmo trovare un

rappresentante per la classe di c in Hn(Γ; R) di norma piccola a piacere.

Sollevamento. Scriviamo c = Pm j=1aj · [1, γj,1, . . . , γj,n] e consideriamo il sollevamento ˜ c = m X j=1 aj· (1, γj,1, . . . , γj,n) ∈ C∗(Γ).

Ora chiaramente ∂˜c ∈ Cn−1(Γ) `e un sollevamento di 0; definiamo il

sottoinsieme finito

S := {γj,1| j = 1, . . . , m} ⊂ Γ.

Ripercorrendo la dimostrazione del Lemma di sollevamento (Lemma 4.1.1), otteniamo che esiste una costante K ∈ R>0 tale che per ogni sottoinsieme

finito F ⊂ Γ vale

|F · ∂˜c|1≤ K · |∂SF |.

Poniamo ora Λ :=< S > sottogruppo finitamente generato di Γ. Siccome Λ `e amenabile, ammette una successione di Følner (Fk)k∈N rispetto al

sistema di generatori S. Dunque abbiamo ottenuto lim

k→∞

1 |Fk|

· |∂(Fk· ˜c)|1= 0.

Riempimento. La mappa s : C∗(Γ) → C∗+1(Γ) data da

(η1, . . . , ηn) 7→ (1, η1, . . . , ηn),

e un’omotopia di complessi di catene tra l’identit`a e la mappa nulla, inoltre ha norma minore o uguale a 1. Se poniamo, per ogni k ∈ N,

bk:= s (∂(Fk· ˜c)) ,

Quoziente. Siccome s `e un’omotopia di complessi, vale ˜bk = Fk· ˜c ± ∂(s(˜c));

in particolare ˜bk e Fk· ˜c sono omologhi. Poniamo

ck :=

1 |Fk|

· ”proiezione canonica di ˜bk su Cn(Γ; R)“.

Allora chiaramente si ha [ck] = [c] in Hn(Γ; R); inoltre vale |ck|1≤ 1/|Fk| ·

|˜bk|1 che tende a zero per k → ∞.

Abbiamo fatto vedere che esiste un rappresentante di [c] di norma piccola a piacere, quindi abbiamo concluso.

Proposizione 4.6.5. Sia (C∗, d) un complesso normato su R, sia ( ˆC∗, d) il suo

completamento e sia n ∈ N. Assumiamo inoltre che • il complesso C∗ soddisfi l’n-UBC;

• la semi-norma k · k indotta su Hn(C∗) sia sempre nulla.

Allora la mappa

Hn(i) : Hn(C∗) → Hn( ˆC∗)

indotta dall’inclusione i : C∗ ,→ ˆC∗ `e uniformemente banale, ovvero esiste una

costante K ∈ R>0 tale che per ogni c ∈ Cn ciclo, esiste b ∈ ˆCn+1con

d(b) = c e |b|1≤ K · |c|1.

Dimostrazione. Sia c ∈ Cn un ciclo; per ipotesi k[c]k = 0. Indichiamo la norma

su C∗ (e quindi su ˆC∗) con | · |. Allora esiste una successione (ck)k∈N≥1 in Cn

tale che per ogni k ∈ N

[ck] = [c] e |ck| ≤

1 2k · |c|;

inoltre poniamo c0 = c. In particolare per ogni k ∈ N, ck+1− ck `e un bordo,

quindi per l’n-UBC esiste bk ∈ Cn+1 tale che d(bk) = ck+1− ck e |bk| ≤ K0·

|ck+1 − ck|, dove K0 `e la costante associata all’n-UBC. Osserviamo che per

costruzione |bk| ≤ K0· 1/2k−1· |c|. Consideriamo b :=P∞ k=1bk. Notiamo che |b| ≤ ∞ X k=1 |bk| ≤ K0· |c| · ∞ X k=1 1 2k−1 ≤ 4 · K 0_{· |c|,}

quindi b ∈ ˆCn+1. Inoltre, per assoluta convergenza della serie P bk e per

continuit`a del differenziale, vale

d(b) = ∞ X k=1 d(bk) = ∞ X k=1 ck+1− ck= c0= c.

Dimostrazione del Teorema 4.6.1. Sia c ∈ C`1

n (Γ; R) un ciclo; vogliamo trovare

un b ∈ C`1

n+1(Γ; R) tale che ∂b = c. Per completare la dimostrazione assumeremo

il seguente risultato:

Claim 2. Esiste una successione di cicli (ck)k∈N in Cn(Γ; R) tale che

c =

∞

k=0

ck.

Per l’Osservazione 4.6.3 e la Proposizione 4.6.4, il complesso C∗(Γ; R) con

la norma `1 _{soddisfa le ipotesi della Proposizione 4.6.5, quindi c’`}_{e una costante}

K ∈ R>0 tale per cui, per ogni k ∈ N, esiste bk ∈ C`

1 n+1(Γ; R), con ∂bk = ck e |bk|1≤ K · |ck|1. Sia b :=P∞k=1bk; abbiamo |b|1≤ K · ∞ X k=1 |ck|1= K · |c|, quindi b ∈ C`1 n+1(Γ; R), e ∂b = ∞ X k=1 ∂bk= ∞ X k=1 ck= c,

che conclude la dimostrazione.

Dimostrazione del Claim 2. Sia c ∈ C`1

n (Γ; R) un ciclo. Siccome C`

n (Γ; R) `e il

completamento di Cn(Γ; R) rispetto alla norma `1, allora per ogni k ∈ N esiste

uk ∈ Cn(Γ; R) tale che

|c − uk|1≤

1 2k.

Poniamo zk := uk− uk−1. Osserviamo subito cheP∞k=1zk= c e che la succes-

sione (|zk|1)k∈N `e sommabile. Consideriamo le somme parziali sk =P k j=0zj e

osserviamo che sk =P k

j=1(cj− cj−1) = ck; da questo segue che

|∂sk|1= |∂ck|1= |∂(ck− c)|1≤ (n − 1)

1 2k,

quindi la successione (|∂sk|1)k∈N`e sommabile.

Come abbiamo gi`a detto (Osservazione 4.6.3) il complesso C∗(Γ; R) soddisfa

la (n − 1)-UBC, quindi per ogni k ∈ N esiste wk ∈ Cn(Γ; R) tale che

∂wk = ∂sk e |wk|1≤ K0· |∂sk|,

dove K0 `e la costante relativa all’(n − 1)-UBC di Cn(Γ; R). Ora definiamo

ck := zk− wk+ wk−1∈ Cn(Γ; R); abbiamo che

∂ck= 0 e |ck|1≤ |zk|1+ K0· |∂sk|1+ K0· |∂sk−1|1.

Allora abbiamo che la successione (ck)k∈N `e sommabile e quindi otteniamo c =

P∞

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[24] William P. Thurston. Three-Dimensional Geometry and Topology. Vol. 1. Vol. 35. Princeton University Series. Edited by Silvio Levy. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997.

Nel documento Tecniche di Folner per le varianti intere del volume simpliciale (pagine 77-88)