In questa sezione vedremo una dimostrazione alternativa della sub-additivit`a del volume simpliciale, ovvero della prima parte del Teorema 3.5.1. Questa dimostrazione si basa sulla seguente versione del Teorema di equivalenza di Gromov:
Teorema 3.6.1. Sia (X, Y ) una coppia di CW complessi numerabili e sup- poniamo che tutte le componenti connesse di Y abbiano gruppo fondamentale amenabile. Sia α ∈ Hn(X, Y ) con n ≥ 2. Allora per ogni ε > 0 esiste una
catena c ∈ Cn(X) con ∂c ∈ Cn−1(Y ) tale che [c] = α,
kck1< kαk1+ ε e k∂ck1< ε.
Dimostrazione. Sia α ∈ Hn(X, Y ). Fissiamo ε > 0 e poniamo ϑ = kαk/ε + 1.
Per il Teorema di equivalenza (Teorema 3.4.6) la norma k · k1(ϑ) su C•(X, Y )
induce la seminorma k · k1 su Hn(X, Y ), quindi esiste un rappresentante c ∈
Cn(X) di α (in particolare `e un ciclo relativo, cio`e ∂c ∈ Cn−1(Y )) tale che
kck1(ϑ) < kαk1+ ε, ovvero kck1+ ϑ · k∂ck1 < kαk1+ ε. Da questo otteniamo
che
kck1< kαk1+ ε e k∂ck1<
kαk1+ ε
ϑ = ε,
quindi la conclusione.
Dimostrazione della sub-additivit`a. Sia S l’unione delle ipersuperfici Si± conte- nute in M . Fissiamo ε > 0. Per il Teorema 3.6.1, per ogni j = 1, . . . , k, esiste un ciclo fondamentale (reale) relativo cj di Mj tale che
kcjk1≤ kMj, ∂Mjk + ε e k∂cjk1≤ ε.
Consideriamo c = c1+ · · · + ck ∈ Cn(M ). ´E facile vedere che ∂cj `e somma dei
cicli fondamentali delle componenti di bordo di Mj. Per questo e per il fatto che
gli omeomorfismi fj rovesciano l’orientazione, abbiamo che ∂c = ∂b + z, dove
b ∈ Cn(S) e z ∈ Cn−1(∂M ) `e un rappresentante di [∂M ].
Ora usiamo che le varie componenti connesse di S hanno gruppo fondamentale amenabile; sotto tali condizioni la coomologia limitata Hb•(S) `e banale in grado > 0, quindi il Teorema 3.3.2 garantisce che il complesso C•(S) soddisfa la (n −
1)-UBC. Perci`o possiamo prendere b0∈ Cn(S) tale che
∂b0 = ∂b e kb0k1≤ K · k∂bk1,
dove K > 0 `e la costante per la (n − 1)-UBC di C•(S); quindi in particolare
kb0k
1≤ Kk∂ck ≤ K · k · ε.
fondamentale relativo per M , perci`o otteniamo kM, ∂M k ≤ kc0k 1≤ kck1+ kbk1 ≤ k X j=1 kcjk1+ kbk1 ≤ k X j=1 kMj, ∂Mjk + ε + K · k · ε = k X j=1 kMj, ∂Mjk + k · ε(1 + K).
Tecniche alternative alla
coomologia limitata per il
caso intero
Nel capitolo precedente abbiamo visto come nel caso classico (ovvero coef- ficienti reali) si possano ottenere risultati importanti considerando la dualit`a nei complessi di catene. Gli stessi argomenti non portano per`o ad altrettanti risultati nel caso di coefficienti di natura pi`u intera.
In questo capitolo, seguendo quanto fatto da L¨oh e Fauser in [7], esploreremo dei metodi alternativi adatti al contesto intero (tra cui il caso foliato). Questi metodi sono strettamente correlati alla caratterizzazione dell’amenabilit`a tra- mite successioni di Følner; tali argomenti consistono in una generalizzazione dell tecniche di riempimento di Følner utilizzate nella dimostrazione dell’annul- lamento del volume simpliciale foliato intero per variet`a asferiche con gruppo fondamentale amenabile fatta in [10].
Il prototipo del risultato che ci proponiamo di provare usando le tecniche di riempimento di Følner `e la condizione uniforme al bordo; vediamo pi`u nel det- taglio come si applicheranno tali tecniche: scelto un riempimento qualsiasi ne costruiremo uno pi`u efficente attraverso i seguenti passaggi:
• Sollevamento: si solleva questo riempimento al rivestimento universale e si trasla con sottoinsiemi finiti del gruppo fondamentale.
• Riempimento: nel rivestimento universale si costruiscono riempimenti pi`u efficienti (dei bordi) delle catene traslate.
• Quoziente: si riporta tutto nella variet`a iniziale dividendo per l’ordine delle traslazioni.
La caratterizzazione di Følner entra in gioco nel primo passaggio descritto so- pra: gli insiemi per cui trasliamo saranno quelli di un’opportuna successione di Følner. La stima desiderata, infine, si otterr`a passando al limite lungo la successione.
Il passaggio in cui si diversificheranno maggiormente le dimostrazioni nelle qua- li applicheremo queste tecniche `e il quoziente, che dipender`a dalla natura dei coefficienti considerati.
Cerchiamo di delineare un quadro generale del capitolo:
Nella Sezione 1 vedremo i due risultati che stanno alla base delle tecniche di riempimento di Følner, ovvero il lemma di sollevamento (Lemma 4.1.1) e il lemma di riempimento (Lemma 4.1.2).
Nella Sezione 2 applicheremo i lemmi appena citati nella dimostrazione data in [10] dell’annullamento del volume simpliciale foliato intero per variet`a asferiche con gruppo fondamentale amenabile (Teorema 4.2.1).
Nella Sezione 3 con le tecniche di riempimento di Følner proveremo la condizione uniforme al bordo per alcuni tipi di complessi di catene.
Nella Sezione 4 discuteremo la condizione uniforme al bordo per i coefficienti interi.
Nella Sezione 5 vedremo un risultato di additivit`a per il volume simpliciale foliato intero (Proposizione 4.5.1).
Nella Sezione 6 vedremo un’applicazione delle tecniche di Følner all’omologia `1
4.1
Lemmi di sollevamento e riempimento
Come accennato sopra, le dimostrazioni passeranno attraverso la corretta applicazione dei due lemmi riportati qui sotto.
Sollevando un ciclo al rivestimento universale, non otteniamo necessaria- mente un ciclo. Nonostante ci`o, la crescita della misura di traslazioni finite del bordo del sollevamento, `e limitata dal crescere del bordo degli insiemi per cui trasliamo.
Lemma 4.1.1 (lemma di sollevamento). Sia M uno spazio topologico connesso per archi e localmente connesso per archi che ammette rivestimento universale π : ˜M → M , sia Γ := π1(M ), sia A uno ZΓ-modulo normato e sia ˜a ∈ A ⊗Z
Cn( ˜M ; Z) un qualsiasi sollevamento di 0 ∈ A⊗ZΓCn( ˜M ; Z). Allora esistono una
costante C ∈ R>0 e un insieme finito S ⊂ Γ tali che vale la seguente propriet`a:
Per ogni sottoinsieme finito F ⊂ Γ abbiamo |F · ˜a|1≤ C · |∂SF |,
dove, |F · ˜a|1 indica la norma `1 indotta dalla norma di A sul complesso A ⊗Z
C∗( ˜M ; Z), della catena Pγ∈Fγ · ˜a.
Consideriamo l’azione diagonale di Γ su A ⊗ZC∗( ˜M ; Z)
γ · (f ⊗ c) := f · γ−1⊗ γ · c,
dove l’azione di Γ su C∗( ˜M ; Z) `e quella indotta dalle trasformazioni di rivesti-
mento di M . Allora, intuitivamente, possiamo pensare la mappa A ⊗ZCn( ˜M ; Z) → A ⊗ZΓCn( ˜M ; Z)
come la proiezione sul quoziente per l’azione diagonale di Γ (vedi Osservazione 1.2.4), da cui il termine sollevamento nell’enunciato. Attenzione: non sono proprio la stessa cosa, ad esempio il termine a ⊗ b − γ(a ⊗ b) `e nullo in A ⊗ZΓB, ma in generale non esiste alcun γ0∈ Γ tale per cui γ0(a ⊗ b − γ(a ⊗ b)) sia zero.
Dimostrazione. Sia ˜a =Pk
j=1fτj⊗ τj scritto in forma ridotta. Definiamo
K := {Cn(π; Z)(τj) | j = 1, . . . , k},
dove C(π; Z) : Cn( ˜M ; Z) → Cn(M ; Z). Per ogni τ ∈ K scegliamo un solleva-
mento ˜τ che compare in ˜a e definiamo
S(τ ) := {γ ∈ Γ | ∃j∈{1,...,k}, τj = γ · ˜τ }. Sia S :=S τ ∈KS(τ ) ∪ S(τ )−1; possiamo scrivere ˜ a = X τ ∈K X s∈S(τ ) fs˜τ⊗ s · ˜τ = X τ ∈K X s∈S fs˜τ⊗ s · ˜τ ,
dove abbiamo posto fs˜τ = 0 per ogni s /∈ S(τ ). Siccome per ipotesi ˜a `e un
sollevamento di 0, per ogni τ ∈ K, dobbiamo avere che X
s∈S
infatti quello a sinistra `e il coefficiente di τ nella proiezione di ˜a, che `e zero. Ora il nostro scopo `e di stimare le traslazioni F · ˜a per F ⊂ Γ finito. Intanto scriviamo F · ˜a =X γ∈F γ · ˜a =X γ∈F X τ ∈K X s∈S fs˜τ· γ−1⊗ γ · s · ˜τ .
Vogliamo scrivere F · ˜a come una somma X + Y e poi stimare separatamente gli addendi X e Y . Definiamo
X := X γ∈F \∂SF X τ ∈K X s∈S fs˜τ· s · γ−1⊗ γ · ˜τ ∈ A ⊗ZCn( ˜M ; Z). Osserviamo che fs˜τ· s · γ−1⊗ γ · ˜τ = γ · (fs˜τ· s ⊗ ˜τ ) = γs−1(fs˜τ⊗ s · ˜τ ); ma se
γ ∈ F \ ∂SF , allora γ · s−1∈ F (perch´e S `e simmetrico), e quindi gli addendi in
X sono addendi anche di F · ˜a. Inoltre le coppie in {(s · γ−1, γ · ˜τ ) | s ∈ S, γ ∈ F, τ ∈ K},
sono a due a due distinte, quindi se con Y denotiamo i termini di F · ˜a che non stanno in X, otteniamo F · ˜a = X + Y .
Stimiamo la norma di Y : per ogni s ∈ S e τ ∈ K, il termine fs˜τ compare |F |
volte in F · ˜a, mentre ne compare |F \ ∂SF | in X. Di conseguenza abbiamo che
|Y |1≤ |K| · |S| · |∂SF | · m,
dove m := max{|fs˜τ|A| s ∈ S, τ ∈ K}. Infine, abbiamo che la somma X `e zero,
infatti per ogni γ ∈ F e τ ∈ K X s∈S fs˜τ· s · γ−1⊗ γ · ˜τ = X s∈S fs˜τ· s ! · γ−1⊗ γ · ˜τ = 0.
Concludiamo che |F · ˜a|1≤ |Y |1≤ C · |∂SF |, dove C = |K| · |S| · m dipende da
˜
a ma non da F .
In generale la norma `1 del bordo di una catena `e stimata dalla norma di questa, cio`e |∂c|1 ≤ K · |c|1, dove K > 0 `e una costante che dipende dalla
dimensione di c.
Se M `e contraibile, possiamo scegilere un riempimento efficiente:
Lemma 4.1.2 (lemma di riempimento). Sia M uno spazio topologico con- traibile, sia A uno Z-modulo normato e sia infine n ∈ N. Allora per ogni c ∈ Cn(M ; A) esiste c0∈ Cn(M ; A) tale che
∂c0= ∂c e |c0|1≤ |∂c|1.
Dimostrazione. Induttivamente sulla dimensione dei simplessi, costruiamo una contrazione tra complessi di catene
h : C∗(M ; A) → C∗+1(M ; A)
di norma ≤ 1:
Fissiamo x0 ∈ M . Se σ `e uno 0-simplesso in M , definiamo h(σ) : ∆1 → M
segue: sia σ un k simplesso in M . Consideriamo la mappa ∂∆k+1 → M che
`e σ sulla 0-esima faccia di ∆k+1, ed `e h(σ ◦ ik
l−1) sulla l-esima faccia, per l ∈
{1, . . . , k + 1}. Siccome M `e contraibile, possiamo estendere questa mappa a tutto ∆k+1. Intuitivamente, h(σ) `e il cono su σ realizzato con i cammini dai
vertici di σ a x0 definiti nel passo zero.
Infine estendiamo h per linearit`a:
h : Ck(M ; A) → Ck+1(M ; A) m X j=1 ajσj7→ m X j=1 ajh(σj). ´
E chiaro che khk ≤ 1 (si intende la norma di operatore indotta dalla norma `1
di C∗(M ; A)). Mostriamo che h `e un’omotopia di complessi di catene: sia σ un
k-simplesso, allora abbiamo
∂hσ = k X j=0 (−1)jh(σ) ◦ ikj = σ + k X j=1 (−1)jh(σ ◦ ik−1j−1) = σ + h∂σ.
Spieghiamo meglio il secondo passaggio:
h(σ) ◦ ikj = h(σ ◦ ik−1j−1),
infatti, a sinistra abbiamo il (k + 1)-simplesso h(σ) ristretto alla j-esima faccia (quindi k-dimensionale, da qui ik); questa, per definizione induttiva di h (vedi quando la abbiamo definita su ∂∆k+1) `e il cono, con vertice x
0, su σ ristretto
alla (j − 1)-esima faccia.
Ora che abbiamo costruito l’omotopia h, vediamo come usarla: per ogni c ∈ Ck(M ; A), definiamo c0:= h∂c. Allora si ha che
|c0|1= |h∂c|1≤ khk|∂c|1≤ |∂c|1.
Inoltre:
∂c0= ∂(h∂c) = ∂(c + ∂hc) = ∂c.