Lo scopo di questa sezione `e dimostrare il Teorema di equivalenza di Gro- mov (Teorema 3.4.6). Seguiremo la strategia utilizzata in [3] che si basa sul prossimo risultato fondamentale per la coomologia limitata, dimostrato in [3], di cui riporteremo uno schizzo della dimostrazione.
Teorema 3.4.1. Sia (X, Y ) una coppia di CW-complessi numerabili e sup- poniamo che tutte le componenti connesse di Y abbiano gruppo fondamentale amenabile. Allora per ogni n ≥ 2 la mappa
Hn(jn) : Hbn(X, Y ) → Hbn(X) indotta dall’inclusione jn: Cn
b(X, Y ) → Cbn(X) `e un isomorfismo isometrico.
La mappa jn : Cn
b(X, Y ) → Cbn(X) emerge in modo naturale dalla succes-
sione esatta corta in coomologia
0 → Cb•(X, Y ) → Cb•(X) → Cb•(Y ) → 0. (3.2) Passando alla successione esatta lunga indotta in coomologia limitata, sfrut- tando il fatto che Hb•(Y ) si annulla per amenabilit`a (Teorema 2.1.11), otteniamo subito che Hn(jn) `e un isomorfismo. La norma `e quella dell’estremo superiore
ed `e facile vedere che Hn(jn) non incrementa la norma. Provare che `e un’i-
sometria non `e altrettanto facile, qui illustreremo un’idea della dimostrazione data in [3], introducendo strumenti e risultati che ci saranno utili nel seguito (in particolare nella dimostrazione del Teorema 3.5.1).
Sia (X, Y ) una coppia di CW-complessi numerabili, sia p : ˜X → X il rive- stimento universale di X e denotiamo con Γ il gruppo fondamentale di X. Al solito identifichiamo Γ con il gruppo delle trasformazioni del rivestimento uni- versale. Denotiamo ˜Y = p−1(Y ) e consideriamo l’identificazione (isometrica) del complesso Cb•(X, Y ) con il complesso Cb•( ˜X, ˜Y )Γ delle cocatene Γ-invarianti
in C• b( ˜X, ˜Y ).
Definizione 3.4.2 (cocatene speciali). • Se σ ∈ Gn+1`e una permutazione
di {0, . . . , n}, allora denotiamo con ¯σ : ∆n → ∆n l’automorfismo affine
del simplesso standard che realizza la permutazione σ sui vertici. Allora diremo che una cocatena ϕ ∈ Cn
b(X) `e alternante se per ogni n-simplesso
s vale
ϕ(s) = sgn(σ) · ϕ(s ◦ ¯σ). • Diciamo che una cocatena ϕ ∈ Cn
b( ˜X) `e speciale (rispetto a ˜Y ) se valgono
le seguenti condizioni: – ϕ `e alternante;
– siano s e s0 due n-simplessi in ˜X. Supponiamo che per ogni i = 1, . . . , k valga s(wi) = s0(wi) oppure s(wi) e s0(wi) appartengono alla
stessa componente connessa di ˜Y , dove w0, . . . , wn indicano i vertici
del simplesso standard in Rn. Allora ϕ(s) = ϕ(s0).
Denotiamo con Cbs•( ˜X, ˜Y ) ⊂ Cb•( ˜X) il sottocomplesso delle cocatene speciali e poniamo
Cbsn(X, Y ) = Cbsn( ˜X, ˜Y ) ∩ Cbn( ˜X)Γ⊂ Cb•(X).
Osservazione 3.4.3. Per costruzione, se un simplesso s ha almeno due vertici in una stessa componente connessa di ˜Y , allora ogni cocatena speciale vale zero su s. In particolare abbiamo
Cbsn(X, Y ) ⊂ Cbn(X, Y ) ⊂ Cbn(X). Indichiamo con l• : Cbs•(X, Y ) ,→ Cn
b(X) l’inclusione. Il prossimo risulta-
to che enunciamo ci permetter`a di concludere, per una dimostrazione vedi [9, Proposizione 5.17].
Proposizione 3.4.4. Esiste una mappa tra complessi di catene η•: Cbn(X) → Cbsn(X, Y )
che non incrementa la norma e tale che ln◦ ηn `e omotopa (tramite un’omotopia
tra complessi di catene) all’identit`a su Cn b(X).
La dimostrazione di questo risultato si basa sul fatto che Cb•( ˜X) fornisce una risoluzione forte iniettiva di R (vedi [9, Teorema 5.8]) e su alcuni risultati di algebra omologica. Qui il fatto che le componenti connesse di Y hanno gruppo fondamentale amenabile gioca un ruolo chiave.
Corollario 3.4.5. Siano α ∈ Hbn(X) e ε > 0. Allora esiste una cocatena speciale f ∈ Cn
bs(X, Y ) tale che [f ] = α e kf k∞≤ kαk∞+ ε.
Dimostrazione. Per definizione esiste g ∈ Cn
b(X) tale che [g] = α e kgk∞ ≤
Come abbiamo gi`a osservato Hn(jn) : Hn
b(X, Y ) → H n
b(X) `e un isomorfismo
che non incrementa la norma, inoltre per il Corollario 3.4.5 la norma in Hn b(X)
pu`o essere calcolata attraverso le cocatene relative, quindi Hn(jn) `e promosso
a isometria.
3.4.1
Teorema di equivalenza di Gromov
Sia (X, Y ) una coppia di spazi topologici. Il sottospazio Cn(Y ) ⊂ Cn(X) `e
chiuso rispetto alla norma `1 su Cn(X). Dunque otteniamo la norma quoziente
sul complesso C•(X, Y ), che discende ad una semi-norma su Hn(X, Y ).
Pensiamo a come lavora questa norma su H•(X, Y ). Potremmo chiedere di una
norma che tenga conto anche della misura dei cicli relativi: Gromov introduce una nuova famiglia di norme su Cn(X) parametrizzata da ϑ ∈ [0, ∞):
kuk1(ϑ) := kuk1+ ϑ · k∂uk1.
Chiaramente tutte queste norme sono equivalenti su Cn(X): per u ∈ Cn(X)
abbiamo
kuk1≤ kuk1(ϑ) ≤ C · kuk1,
per una costante C > 0.
Notiamo che k · k1(0) = k · k1. Il Teorema di equivalenza dice che se tutte le com-
ponenti di Y hanno gruppo fondamentale amenabile, allora quando passiamo in omologia tutte queste norme coincidono:
Teorema 3.4.6 (Teorema di equivalenza di Gromov). Sia (X, Y ) una coppia di CW-complessi numerabili e supponiamo che tutte le componenti connesse di Y abbiano gruppo fondamentale amenabile. Allora per ogni n ≥ 2, al variare di ϑ ∈ [0, ∞], le semi-norme indotte su Hn(X, Y ) dalle norme k·k1(ϑ), coincidono.
La norma k · k(∞) `e intesa come limite delle norme: limϑ→∞k · k(ϑ).
Come accennato in precedenza, la dimostrazione che vedremo passa per le pro- priet`a della coomologia limitata. Pi`u precisamente, andremo a definire una fa- miglia di norme, duali a quelle introdotte sui complessi di catene, sul complesso di cocatene limitate C•
b(X, Y ); attraverso il Teorema 3.4.1 proveremo che que-
ste norme inducono identiche semi-norme in H•
b(X, Y ); infine usando argomenti
di dualit`a (Corollario 3.2.3) arriveremo alla tesi del Teorema di equivalenza di Gromov.
Sia quindi (X, Y ) una coppia di CW-complessi numerabili. Assumiamo d’ora in avanti che tutte le componenti connesse di Y abbiano gruppo fondamentale amenabile. Seguendo l’idea di Park in [19], costruiamo un nuovo complesso-cono da affiancare a Cb•(X, Y ) in modo da fornire un’utile descrizione alternativa delle seminorme k · k1(ϑ) su Hn(X, Y ) (vedi anche [15] e [9, Sezione 6.7]).
Sia in : Cn(Y ) → Cn(X) la mappa indotta dall’inclusione Y ⊂ X. Il
complesso homology mapping cone di (X, Y ) `e il complesso (C•(Y → X), ¯d•),
dove
Cn(Y → X) := Cn(X) ⊕ Cn−1(Y ), d¯n(u, v) = (∂u − in−1(v), −∂v),
dove ∂ indica le mappe di bordo sia del complesso C•(X), sia del complesso
indichiamo con H•(Y → X). Per ogni ϑ ∈ [0, ∞) definiamo su Cn(Y → X) la
norma
k(u, v)k1(ϑ) := kuk1+ ϑkvk1,
che induce una semi-norma su Hn(Y → X) che denotiamo ancora con k · k(ϑ).
La mappa
βn : Cn(Y → X) → C(X, Y ), βn(u, v) = [u]
`e una mappa di complessi di catene, che induce la mappa Hn(βn) in omologia.
Lemma 3.4.7. Per ogni θ ∈ [0, ∞), la mappa
Hn(βn) : (Hn(Y → X), k · k1(ϑ)) → (Hn(X, Y ), k · k1(ϑ))
`
e un isomorfismo isometrico.
Dimostrazione. Osserviamo che (u, v) ∈ Cn(Y → X) `e un ciclo se e solo se
∂nu = −in−1(v).
´
E facile vedere, tenendo conto di quanto appena osservato, che Hn(βn) ammette
inversa:
Hn(X, Y ) → Hn(Y → X), [u] 7→ [(u, −∂u)].
Rimane da provare che Hn(βn) preserva le semi-norme. Consideriamo a questo
proposito la mappa
β0: Cn(Y → X) → Cn(X), β0(u, v) = u.
Osserviamo che post-componendo β0 con la proiezione naturale pn : Cn(X) →
Cn(X, Y ) otteniamo βn. In generale β0 non preserva la norma k · k1(ϑ), infatti
k(u, v)k1(ϑ) = kuk1+ ϑ · kvk1, mentre kβ0(u, v)k1(ϑ) = kuk1+ ϑ · k∂uk1; grazie
per`o a quanto osservato all’inizio della dimostrazione, si vede facilmente che β0 ristretta ai cicli di Cn(Y → X) preserva la norma.
Anche la proiezione, in generale, non preserva la norma: qualsiasi catena di simplessi contenuti in Y ha norma nulla in Cn(X, Y ). ´E vero invece che Hn(pn)
preserva la semi-norma se ristretta all’immagine di Hn(β0), quindi in definitiva
Hn(βn) preserva la semi-norma.
Ora dualizziamo. Consideriamo C•(Y → X) con la norma k · k(ϑ), per
ϑ ∈ [0, ∞). ´E facile vedere che il duale topologico di Cn(X → Y ) `e
Cbn(Y → X) := Cbn(X) ⊕ Cbn−1(Y ).
Possiamo calcolare i differenziali ¯δn del duale: per (f, g) ∈ Cbn−1(Y → X) e (u, v) ∈ Cn(Y → X) abbiamo ¯ δn−1(f, g) (u, v) = (f, g) ¯dn(u, v) = (f, g) (∂u − in−1(v), ∂v) = f (∂u) + f (−in−1(v)) + g(−∂v) = δf (u) − in−1(f )(v) − δg(v);
quindi ¯δn−1(f, g) = (δf, −in−1(f ) − δg). Infine calcoliamo la norma duale su
Cn
b(Y → X): con gli stessi dati di sopra otteniamo facilmente
k(f, g)k∞(ϑ) := sup k(u,v)k1(ϑ)=1 |(f, g)(u, v)| = sup kuk1+ϑkvk=1 |f (u) + g(v)| ≥ max{ sup kuk1=1 |f (u)|, sup ϑkvk=1 |g(v)|} = max{ sup kuk1=1 |f (u)|,1 ϑkvk=1sup |g(v)|} = max{kf k∞, 1 ϑkgk∞}. Proviamo che alla terza riga vale l’uguaglianza:
sup k(u,v)k(ϑ)=1 |f (u) + g(v)| ≤ sup kuk1+ϑkvk=1 |f (u)| + |g(v)| = sup kuk1+ϑkvk=1 kuk1 f u kuk1 + ϑkvk1 g v ϑkvk1 = sup 0≤λ≤1 λ · sup kuk1=1 |f (u)| + (1 − λ) sup kvk1=1 1 ϑ· |g(v)| ! ≤ max{kf k∞, 1 ϑkgk∞},
dove l’ultima maggiorazione vale perch´e stiamo stimando una funzione lineare in λ. Quindi abbiamo trovato che
k(f, g)k∞(ϑ) = max{kf k∞,
1 ϑkgk∞}.
Equipaggiamo la coomologia Hb•(Y → X) con la semi-norma quoziente, che denotiamo ancora con k · k∞(ϑ). La mappa sui complessi di cocatene
βn: Cbn(X, Y ) → Cbn(Y → X), βn(f ) = (f, 0) induce la mappa Hn(βn) : Hn
b(X, Y ) → Hbn(Y → X). Ora utilizzeremo il fatto
che Hn
b(X, Y ) `e isometrico a Hbn(X) per provare la seguente:
Proposizione 3.4.8. Per ogni n ≥ 2, ϑ ∈ (0, ∞) la mappa
Hn(βn) : (Hbn(X, Y ), k · k∞) → (Hbn(Y → X), k · k∞(ϑ))
`e un isomorfismo isometrico. Dimostrazione. Denoteremo con Zn
b(Y → X) (risp. Z n
b(X, Y )) gli n-cocicli di
Cn
b(Y → X) (risp. Cbn(X, Y )).
Proviamo prima che Hn(βn) `e un isomorfismo. Per farlo `e sufficiente provare
che la composizione Zbn(X, Y ) β n −−→ Zbn(Y → X) → H n b(Y → X)
`e suriettiva con nucleo ¯δn(Cn−1
b (Y → X)). Prima introduciamo la seguente
notazione: se g ∈ Cn
b(Y ) denotiamo con g0 l’estensione a 0 sui simplessi non
contenuti in Y , quindi g0∈ Cn b(X).
Surgettivit`a. Sia (f, g) ∈ Zn
b(Y → X). Da ¯δ
nf = 0 otteniamo δnf = 0 e
in(f ) + δn−1g = 0; la seconda uguaglianza vale sui simplessi in Y , da cui
segue che f + δn−1(g0) ∈ Cn
b(X) si annulla su Y , dunque f + δn−1(g0) ∈
Cn
b(X, Y ); inoltre per la prima δn(f + δn−1(g0)) = δnf = 0, quindi f +
δn−1(g0) ∈ Zn
b(X, Y ). Ora ci basta osservare che
(f + δn−1g0, 0) − (f, g) = (δg0, −g) = ¯δn−1(g0, 0), cio`e la classe di (f, g) sta nell’immagine della composizione. Nucleo. Sia f ∈ Zn
b(X, Y ) e supponiamo che esista (α, β) ∈ C n−1
b (Y → X)
tale che (f, 0) = ¯δn−1(α, β); questa uguaglianza implica f = δn−1α e
in−1α + δn−2β = 0. Per concudere dobbiamo trovare γ ∈ Cn−1
b (X, Y ) tale
che f = δn−1γ. Ragionando come sopra, da (f, 0) = ¯δn−1(α, β), otteniamo
che α + δn−2β0∈ Cn−1
b (X, Y ), che `e proprio quel γ che ci serviva, infatti
δn−1(α + δn−2β0) = δn−1α = f .
Ora utilizzeremo l’amenabilit`a delle componenti di Y . Consideriamo la mappa tra complessi di cocatene
ψ•: Cb•(Y → X) → Cb•(X), ψ(f, g) = f. osserviamo che ψ•◦β•= j•: C•
b(X, Y ) → Cb•(X) `e l’inclusione della successione
corta in (3.2), che, per il Teorema 3.4.1, `e un’isometria in coomologia. Sicco- me evidentemente entrambe le mappe Hn(βn) e Hn(ψn) non incrementano la
norma, anche Hn(βn), in particolare, `e un’isometria.
Per concludere, consideriamo il seguente diagramma commutativo: (Hn(Y → X), k · k1(ϑ)) (Hn(X, Y ), k · k1(ϑ))
(Hn(Y → X), k · k1(ϑ)) (Hn(X, Y ), k · k1) Hn(βn)
id id
Hn(βn)
La prima riga del diagramma `e un isomorfismo isometrico per il Lemma 3.4.7; in- sieme alla Proposizione 3.4.8, il Corollario 3.2.3 ci dice che la seconda riga preser- va la norma. Per commutativit`a otteniamo quindi che id : (Hn(X, Y ), k · k1(ϑ)) →
(Hn(X, Y ), k · k1) preserva la norma, ovvero su Hbn(X, Y ) la semi-norma k·k1(ϑ)
coincide con la semi-norma k · k1 per ogni ϑ ∈ (0, ∞). Infine osserviamo che
k·k1(0) = k·k1e che k·k1(∞) = limϑ→∞k·k1(ϑ). Con questo abbiamo concluso
la dimostrazione del Teorema di equivalenza di Gromov.