Capitolo IX Geometria Proiettiva
2. Alcuni modelli per gli spazi proiettivi
.
Xn
!
rispetto alla base canonica, il
punto P = αhvi ha coordinate omogenee X =
X0
.. .
Xn !
che sono definite a meno di proporzionalit`a.
Qual `e il riferimento duale nello spazio proiettivo duale?
2. Alcuni modelli per gli spazi proiettivi.
Abbiamo definito gli spazi proiettivi completi come reticoli di sottospazi di uno spazio vettoriale, e gli spazi proiettivi punteggiati come insieme dei sottospazi di dimensione 1 di uno spazio vettoriale. Vogliamo ora realizzare dei modelli pi`u concreti, che presentino gli spazi proiettivi come insiemi di punti, piuttosto che di oggetti pi`u complicati. Faremo anche delle asserzioni di carattere topologico, che possono essere ignote al lettore (basta saltarle facendo finta di nulla), e delle asserzioni circa gli spazi affini che invece saranno chiarite da un futuro paragrafo.
Il primo passo `e identificare lo spazio proiettivo punteggiato associato a V con l’insieme quoziente (V r{0})/K×; dunque i suoi elementi sono classi laterali, e possiamo cercare di rappresentarle mediante degli elementi ben scelti.
2.1. Gli spazi proiettivi reali (come sfere modulo antipodia o dischi modulo an-tipodia del bordo). Consideriamo Pn(R): sia Sn
= {x ∈ En+1
(R) : kxk = 1} la (buccia della) sfera di raggio 1 in En+1
(R). Sia σ : Sn−→ Snla mappa antipodale x 7→ −x. Allora la mappa evidente Pn(R) −→ Sn/σ `e una biiezione; in particolare (potremmo vedere che) si tratta di un isomofismo di spazi topologici, da cui seguir`a che Pn(R) `e uno spazio topologico compatto. Intuitivamente questa rappresentazione corrisponde a scegliere come rappresentante del punto P = [v] di Pn(R) un vettore di modulo unitario (ma dobbiamo ancora identificare v con −v, che `e proprio quello che fa la mappa antipodale).
In particolare possiamo identificare il piano proiettivo P2
(R) con la (superficie della) sfera S2, i punti del piano proiettivo con le coppie di punti antipodali della sfera, le rette del piano proiettivo con i circoli massimi sulla sfera.
Consideriamo ora il disco Dn
= {x ∈ En
(R) : kxk 61}, e sia τ la relazione di equivalenza che identifica ogni punto sul bordo con il suo opposto. Consideriamo la semisfera Sn
>0 = {x ∈ Sn : x1 > 0} e la mappa Sn
>0→ Dn che “cancella la prima coordinata”. Essa induce una biiezione Sn/σ ∼= Sn>0/σ −→ Dn/τ , dunque anche il disco modulo antipodia del bordo `e un modello per lo spazio proiettivo reale; di nuovo potremmo vedere che si tratta di un isomofismo di spazi topologici. Da notare
IX.2. Alcuni modelli per gli spazi proiettivi. 41
per`o che in questo modello s’`e fatta una scelta speciale di un iperpiano (il bordo del disco), da pensare come iperpiano all’infinito; dunque questo modello identifica piuttosto uno spazio proiettivo dotato di una fissata scelta di uno spazio affine (come vedremo meglio in seguito).
In particolare possiamo identificare il piano proiettivo P2
(R) con il disco D2, i punti del piano proiettivo con i punti interni del disco oppure le coppie di punti antipodali del bordo; descrivere le rette `e pi`u difficile (perch´e? cosa descrivono sul disco i fasci di rette di centro un punto? si controlli che i circoli massimi della semisfera proiettano sul disco delle semiellissi bitangenti il bordo in punti antipodali). −x x 1 x0x −kxkx x kxk x An(R) (1=x06=0) Sn={x:kxk=1}⊆Rn+1 Dn={x:x0=0,kxk≤1}⊆Rn
2.2. La retta proiettiva reale (come circonferenza). Se n = 1 possiamo identificare un isomorfismo S1−→ P1
(R) (tramite la “proiezione dal polo nord” sull’asse X: xy 7→ x
1−y), ovvero
x
y 7→ h 1−y x i.
Infatti in questo caso abbiamo un isomorfisno tra il quoziente S1
/σ ed S1 dato dalla seguente costruzione (un po’ complicata perch´e vi sono anche altre corrispondenze: trovarle!):
0 x/2 1 x 1 4+x2 4x x2−4 1 √ 1+x2 1 x 0 x 1 2x 1 1+x2 2x x2−1 1 1+x2 −x2 x 0 x1/2x0 1 x1/x0 1 4x2 0+x2 1 4x0x1 x2 1−4x2 0 − x0 x1 x0 x1 0 x1/(1+x0) A1(R) 1=x06=0 A1(R) x0=0 P1(R) ∼= S1∼= S1/± N = −10
Perch´e non si pu`o fare un discorso analogo per Sn
e Pn
(R) con n > 1? Si osservi in particolare che P2
(R) non `e il prodotto P1
(R)×P1
(R), che `e un oggetto completamente diverso e molto pi`u semplice (un toro, poich´e `e isomorfo a S1× S1).
2.3. Nastro di Moebius e piano proiettivo reale. Presentiamo anche un modello meno preciso, ma pi`u suggestivo di piano proiettivo reale, insieme ad alcune costruzioni preliminari o simili.
2.3.1. Si osservi che dato un quadrato [0, 1] × [0, 1] possiamo costruire: un cilindro (identificando (x, 0) ∼ (x, 1) per ogni x ∈ [0, 1]);
un nastro di Mœbius (identificando (x, 0) ∼ (1−x, 1) per ogni x ∈ [0, 1]);
la prima figura `e orientabile, mentre la seconda no, come si vede seguento il cammino [1/2, y] per y ∈ [0, 1] (che rovescia l’orientamento).
la sfera (colassando a un punto ciascuno dei due cerchi [0, y] e [1, y]), il toro (identificando (0, y) ∼ (1, y) per ogni y ∈ [0, 1]),
e l’otre o bottiglia di Klein (identificando (0, y) ∼ (1, 1−y) per ogni y ∈ [0, 1]);
si osservi che quest’ultima superficie non `e orientabile, poich´e contiene nastri di Mœbius, mentre sfera e toro sono orientabili.
2.3.3. Partendo dal nastro di Mœbius e identificando ulteriormente i bordi rimanenti in ordine inverso (identificando (0, y) ∼ (1, 1−y) per ogni y ∈ [0, 1]), oppure colassando ad un punto il bordo rimasto (che `e un circolo), si ottiene il piano proiettivo reale; anch’esso `e superficie non orientabile, poich´e contiene nastri di Mœbius.
2.3.4. Sfere e piani proiettivi reali si ottengono anche per identificazione dei due lati di un diagono (o bigono, poligono con due lati) nei due modi possibili (se il diagono `e un disco unitario, e i due lati sono le semicirconferenze tra polo nord e polo sud, si tratta di (x, y) ∼ (−x, y) oppure di (x, y) ∼ (−x, −y)).
2.4. La retta proiettiva complessa (come superfice sferica). La proiezione stere-ografica dal polo nord di S2(sul piano Z = 0: (x, y, z) 7→ (1−zx ,1−zy )) d`a un isomorfismo S2−→ P1
(C) tramite (x, y, z) 7→ [1 − z, x + iy]. Potremmo vedere che si tratta della compattificazione di C con un punto. x y z x+iy 1−z ∼= 1 1−z x y 1 1+|ζ|2 2x 2y |ζ|2 −1 ζ∼=x+iy A1(R)∼=R S2∼=P1 (C) S1∼=P1(R) A1(C)∼=C∼=R2
2.5. Spazi proiettivi sui campi finiti (conteggi di punti e sottospazi). `E un esercizio intessante contare e se possibile disegnare gli spazi proiettivi sui campi con un numero finito di elementi: sia Fq (il) campo con q elementi, e sappiamo che q = pf, con p numero primo naturale (in effetti Fq `e il campo delle radici di Xq− X come polinomio a coefficienti in Fp, ricordiamo). Allora:
(0) il punto affine A0
(Fq) ha un punto, come pure P0
(Fq), e questo vale per campi qualsiasi, vera-mente... (lo scrivo qui, perch´e non s’era mai notato, finora);
(1) la retta affine A1(Fq) ha q punti, mentre la retta proiettiva P1
(Fq) ha q + 1 = qq−12−1 punti; (2) il piano affine A2(Fq) ha q2 punti e q2q(q−1)(q2−1)= q(q + 1) rette,
mentre il piano proiettivo P2
(Fq) ha q2+ q + 1 = qq−13−1 punti e altrettante rette (dualit`a...); (3) lo spazio affine A3
(Fq) ha q3 punti, q3q(q−1)(q3−1) = q2(q2+ q + 1) rette e qq23(q(q32−1)(q−1)(q32−q)−q)= q(q2+ q + 1) piani,
mentre lo spazio proiettivo P3
(Fq) ha q3+q2+q +1 = qq−14−1 punti (e altrettanti piani per dualit`a...) e (q(q42−1)(q−1)(q42−q)−q) = (q2+ 1)(q2+ q + 1) rette;
(4) lo spazio affine A4(Fq) ha q4 punti, qq(q−1)4(q4−1) = q3(q3+ q2+ q + 1) rette, qq42(q(q42−1)(q−1)(q42−q)−q) = q2(q2+ 1)(q2+ q + 1) piani e qq43(q(q43−1)(q−1)(q34−q)(q−q)(q43−q−q22))= q(q + 1)(q2+ 1) spazi,
mentre lo spazio proiettivo P4
(Fq) ha q4+ q3+ q2+ q + 1 = qq−15−1 punti (e altrettanti spazi per dualit`a...) e (q(q52−1)(q−1)(q25−q)−q) = (q2+ 1)(q4+ q3+ q2+ q + 1) rette (e altrettanti piani per dualit`a...); (n) generalizzare, magari facendosi una tabellina e capire come aumentano i sottospazi che si contano. Nota: in questi casi si osserva che Pn `e diverso da (P1)n anche solo perch´e non hanno lo stesso numero di punti...
IX.2. Alcuni modelli per gli spazi proiettivi. 43
2.5.1. Piano di Fano. Giusto per divertimento, e perch´e `e classico, disegnamo il piano proiettivo su F2 con le sue sette rette (e sette punti). Evidenziamo anche un piano affine (quattro punti e sei rette) ivi contenuto (trovare gli altri?). `E divertente anche dare le coordinate ai punti e alle rette.
2.5.2. Spazi di Fano. Cercare altri simili rappresentazioni delle ge-ometrie finite? Nel caso di spazi su F2, essendo banale la relazione di proporzionalit`a, `e facile: si dicono geometrie di Fano, e i loro (di Pn
(F2)) punti si possono rappresentare come i vertici di un (n + 1)-edro e tutti i baricentri di tutti i sotto-edri. Nel caso n = 3 dello spazio, `e simpatico cercare i 15 piani, e le loro rette:
visione globale di P3(F2)
piano (0, 0, 0, 1) piano (0, 0, 1, 0) piano (0, 1, 0, 0) piano (1, 0, 0, 0)
piano (0, 0, 1, 1) piano (0, 1, 0, 1) piano (1, 0, 0, 1) piano (0, 1, 1, 0) piano (1, 0, 1, 0) piano (1, 1, 0, 0)
piano (0, 1, 1, 1) piano (1, 0, 1, 1) piano (1, 1, 0, 1) piano (1, 1, 1, 0)
piano (1, 1, 1, 1)
2.5.3. Partizioni. Ancora per divertimento, si potrebbe cercare quando uno spazio (proiettivo) finito pu`o essere scritto come unione disgiunta di suoi sottospazi di una fissata dimensione (si dice una partizione dello spazio in sottospazi di fissata dimensione). `E curioso che la condizione, evidentemente necessaria, che il numero di punti del sottospazio divida il numero di punti dello spazio risulta essere anche condizione sufficiente (ed equivalente a che r+1 divida n+1 se r `e la dimensione dei sottospazi, ed n quella dello spazio).
Per esempio ogni spazio proiettivo di dimensione 3 `e unione (disgiunta) di un insieme di (quante?) rette due a due sghembe.