Capitolo IX Geometria Proiettiva
4. Spazi Proiettivi, Spazi Affini e Spazi Euclidei
4.1. Caso Standard. L’immersione standard An(K) −−−→ Pn(K) X1 .. . Xn ! 7−−−→ 1 X1 .. . Xn
determina un isomorfismo di An(K) sul sottinsieme (aperto) U0= {X ∈ Pn(K) : X06= 0} di Pn(K). L’applicazione inversa `e U0−→ An(K) X0 X1 .. . Xn 7−−−→ X1/X0 .. . Xn/X0 ! . 4.1.1. Descrizione ricorsiva di Pn
(K). Tenendo conto che Pn
(K) r U0 `e un iperpiano di Pn(K) (di equazione X0 = 0), e dunque isomorfo a Pn−1
(K), possiamo vedere che Pn(K) `e unione disgiunta di uno spazio affine An(K) della stessa dimensione e di uno spazio proiettivo di dimensione di uno minore Pn−1(K) che svolge il ruolo di “orizzonte” per lo spazio affine. Ricorsivamente abbiamo:
Pn(K) = An(K) t Pn−1(K)
= An(K) t An−1(K) t Pn−2(K) = · · ·
= An(K) t An−1(K) t · · · t A1(K) t A0(K) .
Questa descrizione indica bene che Pn non `e il prodotto cartesiano di copie di P1(contrariamente ad An che invece `e (A1)n
). In effetti sia Pn
che (P1)n
sono compattificazioni di An (nel senso che sono spazi compatti contenenti An), ma di forma molto diversa (e il primo contiene meno punti, aggiungendo ad An solo le direzioni delle sue rette).
4.2. Teorema (Affinit`a e Proiettivit`a). Una matrice A ∈ PGL(n, K) di una proiettivit`a di Pn(K) si restringe ad una affinit`a di An(K) se e solo se `e (proporzionale a una) della forma B = 1 0
a B0 con B0∈ GL(n, K), ovvero se e solo se lascia (globalmente) stabile l’iperpiano “all’infinito” di equazione X0 = 0. Viceversa ogni affinit`a di An(K) si estende unicamente ad una proiettivit`a di Pn(K) della forma suddetta.
Dimostrazione. Essenzialmente ovvio: se la prima riga della matrice non fosse di quella forma, si troverebbero punti “affini” (prima coordinata 1) mandati in punti impropri (prima coordinata 0),
e quindi l’applicazione non sarebbe stabile sulla parte affine.
4.3. Teorema (Traslazioni). Le traslazioni di An(K) sono le (restrizioni di) proiettivit`a che lasciano puntualmente fermo l’iperpiano all’infinito e non hanno altri punti uniti. Sono dunque le omologie speciali di asse l’iperpiano improprio, e il centro dell’omologia corrisponde alla direzione della traslazione.
Dimostrazione. Basta ricordare che le traslazioni (di vettore v) hanno matrici del tipo
1 0 v In
, che sono appunto le omologie speciali di asse X0= 0 e di centro il punto improprio 0v. 4.4. Esempi. La simmetria (affine) di asse V e direzione U `e la proiettivit`a involutoria con V e U spazi di punti uniti complementari e U contenuto nell’iperpiano all’infinito; in particolare se V `e un punto (dunque che `e U ?), si tratta della simmetria centrale di centro quel punto.
4.5. Definizione (Completamento proiettivo e scheletro affine). Data una variet`a lineare affine L di equazione AT + a = 0, definiamo il suo completamento proiettivo come la variet`a lineare proiettiva L di equazione omogenea ( a A ) X = 0. `E chiaro che L ⊆ L, e che i punti di L r L sono contenuti in Pn
(K) r An(K), vale a dire sono punti “all’infinito” di coordinate T0 ove AT = 0, dunque sono le direzioni della variet`a lineare affine L. Potremmo anche definire L come al pi`u piccola variet`a lineare proiettiva contenente L (intersezione di tutti gli iperpiani proiettivi contenenti L).
Nell’altro senso, per ogni variet`a lineare proiettiva M , definiamo il suo scheletro affine come M ∩A (intersezione con lo spazio affine).
4.5.1. Si vede subito che lo scheletro del completamento `e il sottospazio di partenza (L ∩ A = L) e che il completamento dello scheletro `e il sottospazio iniziale se non era contenuto nell’iperpiano improprio (M ∩ A = M sse M ∩ A 6= ∅), nel qual caso ha scheletro, e quindi completamento, vuoto.
Dunque, scheletro affine e completamento proiettivo danno una corrispondenza biunivoca tra sottospazi affini e sottospazi proiettivi non contenuti nell’iperpiano improprio. A livello di (equazioni di) iperpiani, si tratta della corrispondenza tra equazioni affini ed equazioni omogenee diverse da X0 = 0 (in generale, ogni polinomio si pu`o omogeneizzare aggiungendo una variabile X0, e ogni polinomio omogeneo si pu`o calcolare in X0= 1 ottenendo un polinomio, in generale non pi`u omogeneo: studiare queste due funzioni e le loro composizioni).
4.5.2. Parallelismo. Due variet`a affini in An(K) sono parallele se e solo se i loro completamenti proiettivi hanno intersezione (solo) lungo l’iperpiano all’infinito e una contenuta nell’altra.
4.6. Teorema. Dati uno spazio proiettivo punteggiato P e un iperpiano H ⊆ P, l’insieme P r H resta munito in modo canonico di una struttura di spazio affine (della stessa dimensione di P) con spazio delle traslazioni associato
T := {ψ ∈ PGL(P) : ψH= idH, ψ(x) 6= x ∀x /∈ H}
(si tratta delle omologie speciali di asse H = α(U )). Scegliendo un riferimento in modo che H = V (X0), i quozienti (X1
X0, . . . ,Xn
X0) si dicono le coordinate affini associate su P r H.
Dimostrazione. Dapprima si osserva che T `e uno spazio vettoriale di dimensione uguale a dim P (somma: composizione di omologie; gli scalari si rappresentano come omologie generali di asse H; prodotto per gli scalari: azione per coniugio delle omologie generali su quelle speciali), poi che P r H `e uno spazio affine con spazio delle traslazioni T . Si pu`o ricondurre tutto il calcolo al caso standard con una opportuna scelta di riferimento: le omologie speciali hanno matrici del tipo 1 0
x I e le omologie generali del tipo λ 0
0 I.
4.6.1. Problema. Date due rette nel piano proiettivo, `e sempre possibile scegliere un piano affine (complementare di una opportuna retta del piano proiettivo) tale che esse risultino parallele? Dato un quadrilatero nel piano proiettivo, `e sempre possibile scegliere un piano affine (complementare di una opportuna retta del piano proiettivo) tale che il quadrilatero sia un parallelogramma?
4.6.2. Esempi. Consideriamo le rette di equa-zione X1= 0 ed X0+X1= 0 nel piano proiettivo con coordinate omogenee X0, X1, X2. Una per-sona nel piano affine definito da X0 6= 0 e che usa coordinate affini T1= X1/X0, T2= X2/X0, vede le due rette di equazione T1= 0 ed 1 + T1= 0, e dice che sono parallele. Una persona nel pi-ano affine definito da X1 6= 0 e che usa coordi-nate affini T0 = X0/X1, T2 = X2/X1, vede la seconda retta di equazione T0+ 1 = 0, mentre non vede la prima, di “equazione” 1 = 0, e dir`a che si tratta dell’“orizzonte”. Una persona nel piano affine definito da X2 6= 0 e che usa coor-dinate affini T0 = X0/X2, T1 = X1/X2, vede le due rette di equazione T1= 0 ed T0+ T1 = 0, e dice che si incontrano nell’origine.
4.7. Caso Standard Euclideo. Nello spazio affine reale standard, si pu`o considerare la struttura di spazio euclideo usuale, usando il prodotto scalare sullo spazio vettoriale delle traslazioni.
IX.4. Spazi Proiettivi, Spazi Affini e Spazi Euclidei. 57
4.7.1. Assoluto euclideo e punti ciclici. I punti di Pn(C) che annullano l’espressione Pn
i=0Xi2 per definizione danno il supporto dell’assoluto euclideo (si noti che nessuno appartiene a Pn(R)), e i punti impropri di questo si dicono punti ciclici euclidei. Per esempio se n = 1 non ci sono punti ciclici, se n = 2 i punti ciclici sono 01
±i
, se n = 3 i punti ciclici sono 0 x y z con x2+ y2+ z2= 0. 4.7.2. Unit`a di misura. La conoscenza dei punti ciclici permette di ricostruire il prodotto scalare a meno di una costante moltiplicativa non nulla; per fissare questa basta fissare un segmento di lunghezza 1, ovvero una coppia di punti. Di solito la scelta di una coppia di punti si dice una unit`a di misura.
4.7.3. Come si scrivono allora gli invarianti euclidei (lunghezze ed angoli) in termini dell’invariante proiettivo dato dal birapporto? Per la distanza tra due punti A e B, si consideri sulla retta che li congiunge un punto A0 tale che il segmento tra A e A0 sia unitario; calcolare (∞, A, A0, B) dove ∞ `e il punto improprio della retta.
4.7.4. Formula di Laguerre. Vediamo il legame tra la nozione di angolo fra due rette incidenti sul piano euclideo e la nozione proiettiva di birapporto; se p e q sono due rette incidenti, e consideriamo i, j le rette cicliche per p ∧ q (sono le rette per p ∧ q e i punti ciclici: dunque due rette complesse coniugate il cui unico punto reale `e p ∧ q), allora risulta
(p q i j) = e−2iϑ= cos 2ϑ − i sin 2ϑ
dove ϑ `e l’angolo tra le due rette. In particolare, p e q dividono armonicamente le rette cicliche se e solo se sono ortogonali tra loro. Il calcolo `e un semplice esercizio: conviene scegliere coordinate proiettive in modo che p e q intersechino la retta impropria nei punti di coordinate (affini su quella) 0 e tan ϑ; risulta allora
(p q i j) = (0, tan ϑ, i, −i) =i + tan ϑ i − tan ϑ =
cos ϑ − i sin ϑ cos ϑ + i sin ϑ =
e−iϑ
eiϑ = e−2iϑ come si voleva. Si chiama di solito formula di Laguerre la relazione
ϑ = i
2log(p q i j) (si intende la determinazione principale del logaritmo complesso).
`
E utile osservare che la nozione di angolo non dipende dall’unit`a di misura, ma solo dell’assoluto; in effetti `e un invariante di geometria conforme, pi`u che euclidea (basta specificare la quadrica assoluto, cio`e la forma quadratica a meno di multipli scalari non nulli).
Cosa c’entra questo con il fatto che le bisettrici di p e q sono ortogonali tra loro? Si osservi che due rette p, q sono ortogonali sse (p q i j) = −1, cio`e sse separano armonicamente i punti ciclici. D’altra parte, l’involuzione che scambia p con q fissa le bisettrici, e (essendo indotta da una rigidit`a inversa) scambia i con j. Dunque le bisettrici di p e q sono la coppia involutoria comune alle involuzioni del fascio per p ∧ q che hanno come punti fissi p, q (involuzione indotta dalle due rette) e i, j (involuzione degli angoli retti).
4.7.5. Angoli interni di un triangolo. Dati tre vettori u, v, w del piano reale, consideriamo gli angoli ϑw = ϑ(u, −v), ϑu = ϑ(v, −w) e ϑv = ϑ(w, −u) (si tratta dei tre angoli di ogni triangolo i cui lati siano paralleli ai tre vettori; si faccia attenzione: non sono gli angoli tra le rette generate dai vettori...). Allora `e facile vedere che e2i(ϑu+ϑv+ϑw)= 1, e quindi che la somma ϑu+ϑv+ϑw`e (un multiplo di) π. Un calcolo in termini della definizione di cos (tramite prodotto scalare) sarebbe (non molto) pi`u difficile. Provarci?
4.7.6. Naturalmente, la definizione di prodotto scalare dipende dalla base scelta nello spazio vettoriale, e basi diverse danno luogo a funzioni diverse, e dunque a supporti dell’assoluto diversi tra loro; studieremo una generalizzazione di questi problemi in un futuro capitolo; lo dico solo per rendere sensato il problema seguente, che conviene comunque saltare (per ritornarci dopo lo studio delle quadriche).
4.7.7. Problema. Date due rette nel piano proiettivo, `e sempre possibile scegliere un piano affine (complementare di una opportuna retta del piano proiettivo) e un assoluto tale che esse risultino perpendicolari? Dato un quadrilatero nel piano proiettivo, `e sempre possibile scegliere un piano affine (complementare di una opportuna retta del piano proiettivo) e un assoluto tale che il quadrilatero sia un rettangolo, un rombo, un quadrato? Si noti comunque che la nozione di quadrato non `e euclidea ma conforme (riguarda solo gli angoli).