Capitolo X Coniche e Quadriche
3. Quadriche negli spazi euclidei reali
3.1. Definizioni.
Generalizziamo, alla luce del capitolo sulle forme quadratiche (in particolare reali e definite pos-itive) le nozioni di base degli spazi euclidei.
3.1.1. Uno spazio euclideo E = En di dimensione n > 2 `e una coppia (A, Ω∞) ove A = (Pn(R), H∞) `e spazio affine reale di dimensione n, e Ω∞ `e una quadrica reale non degenere priva di punti reali (segnatura (n, 0)) di H∞(detta l’assoluto di E; i suoi punti, impropri immaginari, si dicono i punti ciclici di E). Una unit`a di misura di E `e una coppia di punti (propri reali).
3.1.2. Assoluto e unit`a di misura di E determinano una forma quadratica non degenere (definita positiva) q sullo spazio vettoriale T delle traslazioni di E (uno spazio pseudo-euclideo viene definito senza restizione che l’assoluto non abbia punti reali, e dunque gli corrisponde una forma non degenere, ma non definita in generale).
3.1.3. Definiamo le usuali nozioni euclidee: distanza tra due punti (reali propri) d(P, Q) = q(Q−P ); sfera di centro C e raggio R (reale positivo) {P |d(P, C) = R}.
Un sistema di riferimento cartesiano ortogonale `e un sistema di riferimento P0, . . . , Pn, U di Pn
(R) tale che P0 sia punto proprio, P1, . . . , Pn siano vertici di un n-edro di H∞ autopolare rispetto a Ω∞, e per cui si abbia d(P0, Ui) = 1 per ogni Ui = (P0 ∨ Pi) ∧ (U ∨W
j6=iPj). Equivalentemente un riferimento `e cartesiano sse ogni sfera di raggio R e centro C di coordiante (c1, . . . , cn) ha equazione Pn
i=1(Xi− ci)2 = R2; in particolare per ogni coppia di punti risulta d(P, Q) =qPn
i=1(xi− yi)2; e l’assoluto ha equazioni X0= 0 e X2
1+ · · · +X2 n = 0.
Una sfera (generalizzata) `e una quadrica contenente l’assoluto.
3.1.4. Le similitudini di E sono le affinit`a che lasciano globalmente fisso l’assoluto; equiv-alentemente, che mandano sfere in sfere, e se l’immagine di una sfera di raggio 1 `e una sfera di raggio R, il numero reale positivo R si dice il rapporto di omotetia (se f `e la similitudine, vale allora d(f P, f Q) = Rd(P, Q) per ogni coppia di punti). Una omotetia `e una omologia generale di asse impro-prio; chiaramente `e una similitudine. Una isometria `e una similitudine di rapporto 1; in un riferimento cartesiano ortogonale le isometrie hanno matrici 1 0
a P con P matrice ortogonale (PtP = P Pt= In). 3.1.5. Orientamenti: due riferimenti cartesiani ortogonali sono equiorientati se la matrice di cambiamento ha determinante 1; vi sono due classi di equivalenza per questa relazione, dette gli orientamenti.
3.1.6. Data una variet`a lineare (propria reale) L, detto L∞ = L ∧ H∞, diciamo che la polare M∞ di L∞ rispetto a Ω∞ `e la direzione ortogonale a L; si tratta di una variet`a sghemba con L. La simmetria (ortogonale) rispetto ad L `e la simmetria di asse L e direzione ortogonale (si tratta di isometrie). Ogni isometria `e composizione di al pi`u n+1 simmetrie (ortogonali) rispetto a iperpiani. Se L ed L0 sono variet`a lineari di dimensione r > 0 allora esiste almeno una isometria f di E tale che f L = L0.
3.1.7. Interpretazione geometrica del Teorema Spettrale. Siano Ω e Q due quadriche distinte di Pn(R), la prima priva di punti reali (dunque non degenere); allora esistono riferimenti autopolari rispetto a Ω in cuiQ ha matrice diagonale (se C1, . . . ,Chsono i coni del fascio generato da Ω eQ, che sono tutti reali, con 1 6 h 6 n e di ranghi tali che Piri= n+1, basta trovare riferimenti in Li= v(Ci) che siano autopolari per Ω ∩ Li).
3.1.8. Problema. Di questa sezione `e bene cercare di capire quali nozioni e risultati sono di geometria conforme (non dipendono dalla unit`a di misura, ma solo dall’assoluto) e quali veramente euclidei. Anche la classificazioni conforme andrebbe esplicitata.
3.2. Classificazione Euclidea Reale.
3.2.1. Due quadricheQ e Q0
di E si dicono metricamente equivalenti se esiste una isometria f con f (Q) = Q0. Tramite trasformazioni cartesiane ortogonali possiamo avere forme canoniche come nel caso affine (ma senza alterare gli ai). Infatti:
X.3. Quadriche negli spazi euclidei reali. 91
coordinate euclideo, mentre le traslazioni sono comunque rigidit`a; (1) se la forma risulta diagonale, non c’`e nulla da fare;
(2) se si tratta di un paraboloide, l’ultimo cambiamento di coordinate per Xnpu`o essere completato in una trasformazione euclidea che coinvolge solo le coordinate Xj con aj= 0.
3.2.2. Per coniche a centro, cilindri non parabolici e coni propri i coefficienti aisi dicono (inversi de)i semiassi (reali quelli positivi, trasversi quelli negativi); si pu`o supporre che i semiassi reali siano non meno di quelli trasversi, e nel caso di coni che uno dei semiassi sia 1.
Per paraboloidi e coni parabolici gli ai si dicono i parametri; si pu`o supporre che quelli positivi siano non meno di quelli negativi.
Le rette ri = P0∨ Pi (risp. gli iperpiani Hi =W
j6=iPj) si dicono assi (rispettivamente iperpiani principali) diQ se i punti P0, . . . , Pn sono quelli di un riferimento in cuiQ abbia equazione canonica. 3.2.3. Una quadrica si dice di rotazione se vi sono semiassi o parametri con molteplicit`a (> 1); ci`o succede sse esiste una variet`a lineare L tale che ogni rotazione di asse L manda la quadrica in s`e. 3.2.4. Classificazione. Due quadriche sono metricamente equivalenti se e solo se hanno gli stessi semiassi (o gli stessi parametri) con le stesse molteplicit`a.
3.2.5. Invarianti ortogonali. In certi casi semiassi o parametri si possono calcolare facil-mente, tenendo conto che, se A `e una matrice diQ, allora det A e pA∞(X) (polinomio caratteristico di A∞, quindi tutti i suoi autovalori) sono invarianti per rigidit`a:
(1) per le quadriche a centro (equazione Pn
i=1aiXi2 = 1): ai = %i/λ ove %i (i = 1, . . . , n) sono gli autovalori di A∞e λ = − det A/ det A∞;
(2) per i coni propri (equazionePr
i=1aiXi2= 0): gli ai sono a meno di proporzionalit`a gli autovalori di A∞;
(3) per i paraboloidi (equazione Pn−1 i=1 aiX2
i = 2Xn): ai = c%i ove %i (i = 1, . . . , n−1) sono gli autovalori (non nulli) di A∞ e c = ±q−Q
i%i/ det A (il segno scelto in modo che vi siano pi`u parametri positivi).
3.2.6. Riferimenti. Un riferimento ortogonale in cui l’equazione della quadrica sia quella canonica si pu`o ottenere studiando gli autospazi della matrice A (in particolare di A∞), e identificando opportunamente l’origine: specificare nei vari casi.
3.3. ♠ Fuochi e propriet`a focali.
3.3.1. Fuochi e propriet`a focali. Sia Q quadrica non degenere di E; una retta r per un punto P si dice retta principale di Q in P se H⊥ ∈ r ove H `e l’iperpiano per P ortogonale ad r. Si dicono n-uple principali di Q in P le n-uple ortogonali di rette principali di Q in P . Si tratta di n rette (o di n iperpiani, in un senso ovvio) che sono sia ortogonali (euclidei) sia coniugati per la quadrica data: con abuso di linguaggio potremmo parlare di n-uple (di rette o iperpiani) coniugate ortogonali.
3.3.2. Se P /∈ Q, le n-uple principali sono le n-uple di assi del cono tangente CP(Q). Se P ∈Q, la normale nP (all’iperpiano tangente in P ) `e retta principale, unica retta principale per P non appartenente all’iperpiano tangente TP(Q); inoltre l1, . . . , ln−1, nP `e una n-upla principale diQ in P sse l1, . . . , ln−1`e una (n−1)-upla di assi del cono Q ∩ TP(Q).
3.3.3. Un punto P ∈ E si dice un fuoco di Q se una delle seguenti condizioni (equivalenti tra loro) `e verificata:
(1) in P vi sono infinite n-uple principali diQ;
(2) il cono tangente da P aQ `e di rotazione (semiassi non tutti distinti);
(3) il fascio generato daQ e dal cono isotropo IP (proiezione dell’assoluto da P ) contiene coni di rango 6 n−1.
Le prime due condizioni sono chiaramente equivalenti; la seconda `e equivalente al fatto che il fascio generato dal cono tangente e dal cono isotropo contenga coni di rango 6 n−2; tenendo conto che il fascio generato daQ e dal cono tangente da P contiene una quadrica di rango 1 (il piano polare doppio) si ottiene la terza condizione.
Le condizioni (2), imponendo alla matrice (AP PtA − PtAP A)∞ (del cono tangente) di avere autovalori multipli, e soprattutto (3), usando che il cono isotropo `e Pn
matrice, permettono facilmente di ottenere espressioni esplicite dei fuochi nel caso delle equazioni canoniche:
3.3.4. Per le quadriche a centro non di rotazione, con equazione canonicaPn i=1
X2 i
bi = 1 con b1< · · · < bn, i fuochi sono i punti delle n quadriche (dette focali) di equazioni
Xi= 0 n X i6=j=1 X2 j bj− bi = 1
(per i = 1, . . . , n; si tratta di quadriche a centro, una per ogni tipo, una per ogni iperpiano principale diQ).
Per i paraboloidi non di rotazione, con equazione canonicaPn−1 i=1
Xi2
bi = 2Xncon b1< · · · < bn−1, i fuochi sono i punti delle n−1 quadriche (dette focali) di equazioni
Xi= 0 n−1 X i6=j=1 X2 j bj− bi = 2Xn− bi
(per i = 1, . . . , n−1; si tratta di paraboloidi, “uno per ogni tipo”, uno per ogni iperpiano principale diQ).
3.3.5. Quindi in generale su ogni iperpiano principale diQ abbiamo identificato una quadrica focale Qi, aventi tutte le stesso centro(ide) di Q. Si pu`o vedere che le quadriche focali di ogni Qi
hanno a loro volta quadriche focali che si ottengono intersecando le altreQj (j 6= i) con l’iperpiano principale di giacitura diQi.
3.3.6. Vale la pena di studiare l’insieme delle quadriche a centro
n X i=1 X2 i bi− λ = 1
con λ ∈ R e b1< · · · < bn fissati, detto sistema confocale: per ogni punto passano n di tali quadriche, una per ogni tipo, e con piani tangenti tra loro ortogonali; e il sistema di paraboloidi
n−1 X i=1 X2 i bi− λ= 2Xn− λ
con λ ∈ R e b1< · · · < bn−1 fissati, detto sistema confocale di paraboloidi.
3.3.7. La situazione nel caso di coniche (del piano euclideo) e quadriche tridimensionali sar`a esplicitata molto pi`u dettagliatamente in futuro.
X.4. Quadriche della retta. 93