Capitolo X Coniche e Quadriche
2. Quadriche negli spazi affini
2.1. Definizioni.
2.1.1. Sia H∞ un iperpiano di Pn
(C), e A = Pn
(C) r H∞ lo spazio affine complementare; scegliendo coordinate tali che H∞sia X0= 0 possiamo supporre A = An
(C) ⊆ Pn(C).
Una quadrica affine di A `e una quadrica Q di Pn(C) non contenente H∞ (le quadriche del tipo H+H∞ si dicono improprie).
Cilindri sono i coni con vertice contenuto in H∞.
SeQ `e quadrica affine, allora Q∞=Q ∩ H∞si dice la quadrica impropria diQ.
2.1.1.1. Due quadriche affini Q e Q0 sono affinemente equivalenti se esiste una affinit`a f con f (Q) = Q0; in tal caso le corrispondenti quadriche improprie Q∞ eQ0
∞ sono proiettivamente equivalenti come quadriche di H∞.
Si noti cheQ e Q0non sono necessariamente equivalenti proiettivamente, proprio perch´e la scelta di un iperpiano (e il fatto di usare trasformazioni affini, cio`e che rispettano quell’iperpiano), rende non equivalenti due quadriche che intersecano in modi diversi (cio`e in quadriche non proiettivamente equivalenti) quell’iperpiano.
Essenzialmente, per quadriche non degeneri, bisogner`a distinguere se sono tangenti o meno a quel fissato iperpiano (paraboloidi versus quadriche a centro). `E gi`a chiaro che per una quadrica tangente all’iperpiano improprio non si potr`a avere una forma diagonale (perch´e?): quindi la classificazione non potr`a prevedere solo forme diagonali.
2.2. Propriet`a Affini.
2.2.1. Centri. Se Q `e quadrica affine non degenere, non tangente all’iperpiano improprio H∞
(quadrica a centro), definiamo il centro diQ come il polo H⊥
∞di H∞ rispetto aQ. `
E chiaro che in un riferimento affine in cui l’origine coincida con il centro, la matrice diQ `e della forma1 0
0 A∞
dove A∞`e la matrice (simmetrica) della quadrica impropriaQ∞.
Sempre per quadriche a centroQ, definiamo il cono asintotico come il cono che proietta Q∞ dal centro diQ, ovvero il cono tangente al centro di Q. Se scegliamo un riferimento standard (X0 = 0 equazione di H∞) e A `e la matrice di Q in tale riferimento, allora il cono asintotico ha equazione αX2
0+ XtAX = 0 dove α `e tale che la matrice del cono risulti di determinante nullo (quindi un cono, appunto; si noti che si sta cambiando solo il coefficiente di X2
0).
Non si d`a la stessa definizione per paraboloidi, in quanto il risultato sarebbe in ogni caso l’iperpiano improprio contato due volte.
2.2.2. Centri impropri Perch´e non si d`a un nome al polo dell’iperpiano improprio nel caso di quadriche non degeneri non a centro (paraboloidi): si potrebbe chiamare centroide o centro improprio? Si tratta di punti impropri, ma presentano alcune propriet`a di simmetria simili a quelle dei centri per le quadriche a centro, semplicemente ereditate dalle propriet`a di armonia della polarit`a.
2.2.3. Simmetrie. Le propriet`a di simmetria delle quadriche affini si ottengono dalle propriet`a di armonia della polarit`a nel caso speciale coinvolgente l’iperpiano improprio e il suo polo, ovvero sottospazi contenuti nell’iperpiano improprio e relativi sottospazi polari: il principio fondamentale `e che se L∞ 6 H∞ non `e tangente aQ (cio`e la quadrica intersezione Q ∩ L∞ `e non degenere, ovvero la forma quadratica di Q ristretta al sottospazio vettoriale corrispondente ad L∞ non `e degenere), allora L⊥
∞`e sottospazio complementare di L∞. L’omologia involutiva avente come assi L∞e L⊥ ∞ (per lo spazio affine: simmetria di asse L⊥∞e direzione L∞) lascia fissa globalmente (non puntualmente) la quadricaQ.
Lasciando per esercizio il caso di quadriche degeneri, discutiamo i due casi pi`u facili per le quadriche a centro e di paraboloidi.
(c) se C `e quadrica a centro, tutte le sottovariet`a lineari passanti per il centro sono di simmetria nella direzione della sottovariet`a polare (che `e contenuta nell’iperpiano improprio); in particolare il centro `e di simmetria perC ;
X.2. Quadriche negli spazi affini. 87
(p) se C `e paraboloide, ogni retta (risp. ogni iperpiano) per il centro improprio (centroide) `e di simmetria nella direzione dell’iperpiano (risp. punto) dell’improprio di cui `e polare.
2.3. Classificazione Affine.
2.3.1. Riduzione a forma canonica. Per cercare una forma canonica per la quadrica affine Q di matrice simmetrica A in un dato riferimento, si procede nel modo seguente:
(0) si diagonalizza la matrice A∞ di Q∞ (completandone i quadrati senza cambiare X0, oppure usando il teorema spettrale, oppure cercando un riferimento autopolare perQ∞in H∞) ottenendo una matrice della forma
a0 a0,1 · · · a0,n a0,1 a1 · · O · · · O · a0,n an
ovvero una forma quadratica del tipo
n X i=0 aiXi2+ 2 n X j=1 a0,jX0Xj.
I termini a0,i con ai 6= 0 possono essere annullati tramite traslazioni del tipo Xi− a0,iX0 (che sono affinit`a); ora restano due casi possibili:
(1) tutti gli a0,isono nulli: allora la matrice risulta diagonale;
(2) qualche a0,i 6= 0 con ai = 0: allora possiamo supporre che sia l’ultimo e sia a0,n = 1; con un cambiamento di coordinate affini del tipo Xn− 2Pn−1
j=1a0,jXj possiamo annullare tutti gli altri; con una ulteriore traslazione Xn− a0X0 si pu`o annullare a0. Quindi abbiamo ridotto la matrice a una delle due forme:
a0 0 0 ∆ oppure 0 0 1 0 ∆ 0 1 0 0
ove ∆ indica una matrice diagonale d’ordine n oppure n − 1 (e i coefficienti diagonali possono essere anche nulli).
2.3.2. Problema. Si possono ottenere le stesse conclusioni utilizzando il metodo di completa-mento dei quadrati? Per rispettare la struttura affine `e necessario e sufficiente “non cambiare X0”, cio`e nel cambiamento di variabili non alterare l’iperpiano scelto come improprio. Si vede allora facilmente che, completando i quadrati delle variabili diverse da X0, si arriva alla fine ad avere solo i termini che riguardano X0 e un’altra variabile, sia Xn. Bisogner`a allora distinguere a seconda che compaia il termine quadratico Xn2 (forme diagonalizzabili) o meno (forme non diagonalizzabili).
2.3.3. Osservazione. `E chiaro che se due quadriche sono affinemente equivalenti, esse sono anche proiettivamente equivalenti, e inoltre le quadriche ritagliate sull’iperpiano improprio sono pure proiettivamente equivalenti. Vale anche il viceversa: quindi la classificazione affine equivale alla clas-sificazione proiettiva della quadrica e della sua restrizione all’iperpiano improprio (segue facilmente a posteriori dalla classificazione).
2.3.4. Forme canoniche. Se r 6 n `e il rango di Q∞, abbiamo quindi le seguenti forme canoniche possibili per le equazioni diQ, per i possibili ranghi di Q:
(r) Pr i=1aiX2
i = 0 (la quadrica ha rango r, dunque sempre degenere, e si tratta di un cono proprio; caratterizzata da Q ∩ H⊥
∞66 H∞, ovvero H∞⊥ = V (Q), ovvero V (Q) > V (Q∞)); (r+1) X2
0+Pr i=1aiX2
i = 0 (la quadrica ha rango r+1, si dice quadrica a centro, di centro H∞⊥, se `e non degenere, se invece `e degenere si tratta di cilindro, detto non parabolico; sono quadriche caratterizzate da H∞⊥ 66 H∞ eQ ∩ H⊥ ∞6 H∞, ovvero H∞⊥ > V (Q) e Q ∩ H⊥ ∞= V (Q), ovvero V (Q) = V (Q∞)); (r+2) Pr i=1aiX2
i+2X0Xn = 0 (la quadrica ha rango r+2, si dice paraboloide se `e non degenere, se invece `
e degenere si tratta di cilindro, detto parabolico; sono quadriche caratterizzate da H∞⊥ 6 H∞
ovvero Q ∩ H⊥
∞> V (Q), ovvero V (Q) < V (Q∞)).
2.3.5. Elenchiamo le equazioni canoniche affini seguendo la coppia dei ranghi diQ e Q∞:
r(Q) r(Q∞) equazione descrizione n+1 n Pn i=1aiX2 i = 1 a centro n+1 n−1 Pn−1 i=1 aiX2 i+2Xn= 0 paraboloide r r Pr i=1aiX2 i = 0 cono proprio
r+1 r Pr
i=1aiXi2= 1 cilindro non parabolico
r+2 r Pr
i=1aiXi2+2Xn = 0 cilindro parabolico
2.3.6. Classificazione. Anche qui dipende dalla struttura dei quadrati nel corpo:
2.3.6.1. Se in C ogni elemento `e quadrato (per esempio corpi algebricamente chiusi come C), allora due quadricheQ e Q0 sono affinemente equivalenti sse Q e Q∞hanno gli stessi ranghi diQ0 e Q0
∞rispettivamente. Quindi nella tabella precedente tutti i coefficienti ai possono essere resi 1. 2.3.6.2. Esempi per An
(C): n = 1 (retta affine complessa)
r(Q) r(Q∞) equazione descrizione
2 1 X2
1 = 1 a centro: coppia punti affini distinti 2 0 0 = 2X1 paraboloide: un punto affine
1 1 X2
1 = 0 cono: un punto affine doppio n = 2 (piano affine complesso)
r(Q) r(Q∞) equazione descrizione 3 2 X12+ X22= 1 a centro
3 1 X12= 2X2 parabola
2 2 X12+ X22= 0 cono: coppia di rette
1 1 X12= 0 cono: retta doppia
2 1 X12= 1 cilindro: rette parallele 2 0 0 = 2X2 cilindro parabolico: improprio n = 3 (spazio affine complesso)
r(Q) r(Q∞) equazione descrizione 4 3 X2 1+ X2 2+ X2 3 = 1 a centro 4 2 X2 1+ X2 2 = 2X3 paraboloide 3 3 X2 1+ X2 2+ X2 3 = 0 cono: irriducibile 2 2 X2 1+ X2
2 = 0 cono: coppia di piani
1 1 X2
1 = 0 cono: piano doppio
3 2 X2
1+ X2
2 = 1 cilindro: irriducibile
2 1 X2
1 = 1 cilindro: piani paralleli
3 1 X12= 2X2 cilindro parabolico: irriducibile
2 0 0 = 2X2 cilindro parabolico: improprio
n = 4 (esercizio).
Si osservi in particolare che le quadriche irriducibili si dividono sempre in due tipi: quelle a centro e i paraboloidi.
2.3.6.3. Se C `e ordinato e ogni positivo `e un quadrato (per esempio C = R), i coefficienti ai
possono essere sostituiti con il loro segno; inoltre le quadriche a centro si distinguono in ellissoidi e iperboloidi a seconda che suppR(Q∞) sia vuoto oppure no. Due quadricheQ e Q0 sono affinemente equivalenti sseQ e Q∞ hanno le stesse segnature di Q0 e Q0
∞ rispettivamente, a meno del segno. Abbiamo la seguente classificazione dipendente da s (coeff.positivi?):
tipo equazione canonica valori di s
ellissoide con punti Pn
i=1Xi2= 1 s = n
ellissoide senza punti −Pn i=1X2 i = 1 s = 0 iperboloidi Ps i=1X2 i −Pn s+1X2 i = 1 0 < s 6 n−1 paraboloidi Ps i=1X2 i −Pn−1 s+1X2 i+2Xn= 0 n−12 6 s 6 n−1 coni propri Ps i=1X2 i −Pr s+1X2 i = 0 r2 6 s 6 r
cil. non par. Ps
i=1Xi2−Pr
s+1Xi2= 1 0 6 s 6 r
cilindri par. Ps
i=1Xi2−Pr
s+1Xi2+2Xn= 0 r2 6 s 6 r
Si osservi in particolare la proliferazione dei tipi di quadriche irriducibili: in An
(R) abbiamo sempre due tipi di ellissoidi (con o senza punti reali), n − 1 tipi di iperboloidi (corrispondenti al doppio delle segnature non definite di rango n, tolto 1 se n `e pari: perch´e?), e n/2, (n + 1)/2 tipi di paraboloidi a seconda che n sia pari, dispari (corrispondenti alle segnature di rango n − 1: perch´e?).
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2.3.6.4. Esempi per An(R): n = 1 (retta affine reale)
r s sgn(Q) sgn(Q∞) equazione descrizione
1 1 (1, 1) (1, 0) X12= 1 ellissoide: coppia punti affini distinti 1 0 (2, 0) (1, 0) −X2
1 = 1 ellissoide: coppia punti affini non reali 0 0 (1, 1) (0, 0) 2X1= 0 paraboloide: un punto affine
1 1 (1, 0) (0, 0) X2
1 = 0 cono: punto doppio n = 2 (piano proiettivo reale)
r s sgn(Q) sgn(Q∞) equazione descrizione 2 2 (2, 1) (2, 0) X2
1+ X2
2 = 1 ellisse con punti reali 2 1 (2, 1) (1, 1) X2
1− X2
2 = 1 iperbole 2 0 (3, 0) (2, 0) −X2
1 − X2
2 = 1 ellisse senza punti reali 1 1 (2, 1) (1, 0) X2
1 = 2X2 parabola
2 2 (2, 0) (2, 0) X2 1+ X2
2 = 0 cono: coppia rette complesse 2 1 (1, 1) (1, 1) X2
1− X2
2 = 0 cono: coppia rette reali 1 1 (1, 0) (1, 0) X12= 0 cono: retta doppia
1 1 (1, 1) (1, 0) X12= 1 cilindro: coppia rette reali parallele 1 0 (2, 0) (1, 0) −X2
1 = 1 cilindro: coppia rette complesse parallele n = 3 (spazio proiettivo reale)
r s sgn(Q) sgn(Q∞) equazione descrizione 3 3 (3, 1) (3, 0) X2
1+ X2 2+ X2
3 = 1 ellissoide con punti reali 3 2 (2, 2) (2, 1) X2
1+ X2 2− X2
3 = 1 iperboide iperbolico (rigato, una falda) 3 1 (3, 1) (2, 1) X2
1− X2 2− X2
3 = 1 iperboide ellittico (due falde) 3 0 (4, 0) (3, 0) −X2
1 − X2 2− X2
3 = 1 ellissoide senza punti reali 2 2 (3, 1) (2, 0) X2 1+ X2 2 = 2X3 paraboloide ellittico 2 1 (2, 2) (1, 1) X2 1− X2 2 = 2X3 paraboloide iperbolico 3 3 (3, 0) (3, 0) X2 1+ X2 2+ X2
3 = 0 cono: irriducibile, solo vertice reale 3 2 (2, 1) (2, 1) X2
1+ X2 2− X2
3 = 0 cono: irriducibile, con infiniti punti reali 2 2 (2, 0) (2, 0) X2
1+ X2
2 = 0 cono: coppia piani complessi coniugati 2 1 (1, 1) (1, 1) X2
1− X2
2 = 0 cono: coppia piani reali
1 1 (1, 0) (1, 0) X12= 0 cono: piano doppio
2 2 (2, 1) (2, 0) X12+ X22= 1 cilindro: base ellittica 2 1 (2, 1) (1, 1) X12− X2
2 = 1 cilindro: base iperbolica 2 0 (3, 0) (2, 0) X12+ X22= −1 cilindro: senza punti reali 1 1 (1, 1) (1, 0) X2
1 = 1 cilindro: coppia piani reali paralleli 1 0 (2, 0) (1, 0) −X2
1 = 1 cilindro: coppia piani complessi paralleli 1 1 (2, 1) (1, 0) X2
1 = 2X2 cilindro parabolico: irriducibile 0 0 (1, 1) (0, 0) 0 = 2X2 cilindro parabolico: improprio n = 4 (esercizio)