Capitolo IX Geometria Proiettiva
1. Spazi Proiettivi
Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita su un corpo K.
1.1. Definizione (Spazio proiettivo completo associato a V ). Lo spazio proiettivo completo associato a V `e l’insieme
S(V ) := {W : W 6 V }
di tutti i sottospazi di V , dotato delle operazioni di intersezione e somma di sottospazi e l’ordine dell’inclusione. Queste operazioni rendono S(V ) un reticolo, cio`e un insieme parzialmente ordinato (tramite la relazione di inclusione) dotato due operazioni binarie di minimo (l’intersezione di sot-tospazi) e massimo (la somma di sotsot-tospazi) e in cui per ogni sottinsieme esistono gli estremi inferiori e superiori (rispettivamente l’intersezione e la somma di tutti i suoi elementi). In particolare {0} `e l’elemento infimo (e si dice il vuoto proiettivo), e V stesso `e l’elemento supremo del reticolo.
1.1.1. Elenchiamo alcune facili osservazioni; siano Wi∈ S(V ). (a) W1⊆ W2 se e solo se W1+ W2= W2se e solo se W1∩ W2= W1;
(b) (W1+ W2) ∩ W3⊇ (W1∩ W3) + (W2∩ W3), ma in generale non sono uguali; (c) (W1∩ W2) + W3⊆ (W1+ W3) ∩ (W2+ W3), ma in generale non sono uguali.
Le ultime due osservazioni dicono che il reticolo S(V ) non `e distributivo (contrariamente al reticolo della potenza di un insieme, i.e. il reticolo dei sottinsiemi d’un insieme dato).
1.1.2. Spazi proiettivi punteggiati e fogli(eggi)ati associati a V . L’interesse della definizione di spazio proiettivo completo consiste nella sua struttura di reticolo. Definiamo comunque anche due suoi sottinsiemi: lo spazio proiettivo punteggiato, (risp. lo spazio proiettivo fogliato) associato a V `e l’insieme
P(V ) := {W : W 6 V, dimCW = 1} (risp. I(V ) := {W : W 6 V, dimCW = dimCV − 1} ) delle rette (risp. degli iperpiani) di V . Questi insiemi non hanno struttura di reticolo, ma ogni elemento W di S(V ) pu`o essere identificato con la collezione di elementi di P(V ) contenuti in W (risp. la collezione di elementi di I(V ) contenenti W ).
1.2. Definizione (Sottospazi e stelle). Sia W un sottospazio vettoriale di V . L’insieme S(W ) ⊆ S(V ) si dice il sottoreticolo completo (o sottospazio proiettivo completo) di sostegno W di S(V ), mentre P(W ) ⊆ P(V ) si dice il sottospazio proiettivo punteggiato di sostegno W .
L’insieme S(V /W ) ∼= {W0 ∈ S(V ) : W 6 W0} ⊆ S(V ) si dice la stella (proiettiva) completa di asse W , mentre I(V /W ) ∼= {W0∈ I(V ) : W 6 W0} ⊆ I(V ) si dice la stella di iperpiani di asse W .
Vogliamo vedere come la dualit`a degli spazi vettoriali si traduce nel contesto degli spazi proiettivi completi:
1.3. Proposizione. Sia V∗:= HomK(V, K) lo spazio vettoriale duale di V . La dualit`a canoni-ca tra V e V∗(la forma bilineare che manda la coppia (v, v∗) in v∗(v) ∈ K) induce un antiisomorfismo di reticoli
τV : S(V ) −−−→ S(V∗)
dato da τV(W ) := W⊥. Inoltre per ogni W ∈ S(V ) il morfismo τV induce un antiisomorfismo S(V /W ) −−−→ S(W⊥) ∼= S((V /W )∗) ;
dunque la dualit`a τV scambia sottospazi di S(V∗) con stelle di S(V ) (e viceversa).
Dimostrazione. Antiisomorfismo di reticoli significa che si tratta di una biiezione insiemistica che rovescia la struttura d’ordine del reticolo, cio`e scambia infimo e supremo, rovescia le inclusioni, scambia estremi inferiori e superiori. Tutte queste propriet`a sono ben note per la corrispondenza data dall’ortogonale per la dualit`a standard. Anche l’ultima asserzione deriva da fatti noti della dualit`a. 1.4. Lo spazio proiettivo standard. Lo spazio proiettivo standard di dimensione n su K `e lo spazio proiettivo associato allo spazio vettoriale standard su K di dimensione n + 1; dunque Sn(K) := S(Kn+1). Lo spazio proiettivo punteggiato associato `e formato dalle rette di Kn+1 (come spazio vettoriale), e quindi pu`o essere identificato con l’insieme quoziente dei suoi vettori non nulli
modulo la relazione di equivalenza data dalla proporzionalit`a (due vettori determinano la stessa retta vettoriale se e solo se sono proporzionali): Pn(K) := (Kn+1r {0})/K×, tramite la biiezione
α : P(Kn+1) −−−→ Pn(K)
che manda ogni sottospazio hvi nella classe di equivalenza [v] di un generatore.
I punti di Pn(K) possono essere divisi in due sottinsiemi disgiunti: quelli con prima coordinata X0 non nulla, e allora possono essere rappresentati unicamente da un vettore con X0= 1 (dividendo per X0), e quelli con X0= 0, e in questo caso le altre coordinate sono ancora definite a meno di una costante moltiplicativa non nulla. Quindi vediamo che
Pn(K) = { 1 X : X ∈ Kn} t {h 0 X i : X ∈ Kn} ∼= An(K) t Pn−1(K)
ovvero lo spazio proiettivo standard `e unione disgiunta di uno spazio affine della stessa dimensione e di uno spazio proiettivo di dimensione diminuita di 1, che ha il significato geometrico di contenere le direzioni delle rette dello spazio affine.
A n(K ) | {z } Pn(K) (rette di Kn+1) P n−1(K )(r ette diK n) X0= 1 X0= 0
In particolare una retta proiettiva si ottiene aggiungendo un punto ad una retta affine (l’unico punto all’infinito di quella retta affine!), e un piano proiettivo si ottiene aggiungendo una retta proiettiva ad un piano affine (i punti della retta proiettiva rappresentano le direzioni delle rette affini di un qualunque fascio improprio; rette parallele nell’affine condividono lo stesso punto all’infinito).
In un certo senso gli spazi proiettivi sono le stelle di 0 in uno spazio vettoriale (di dimensione uno di pi`u), e in questo senso sono gi`a stati incontrati all’interno della geometria affine ogniqualvolta si parlava di fasci, stelle, ecc. di sottospazi affini (per descrivere i quali bisogna in effetti usare parametri omogenei definiti a meno di costanti moltiplicative non nulle, oppure perdere qualche sottospazio...).
1.5. Definizione (Spazio proiettivo). Un insieme S dotato di una biiezione α = αS: S(V ) −−−→ S
si dice uno spazio proiettivo completo di spazio vettoriale sovrastante V . Si solito si indica con S tutta la terna (S, V, αS). Per trasporto di struttura tramite la biiezione α, S risulta munito di una struttura di reticolo: indichiamo con 6 la relazione d’ordine (dunque α(W1) 6 α(W2) se e solo se W1 ⊆ W2) con ∧ l’operazione di inf (dunque α(W1) ∧ α(W2) = α(W1∩ W2)) e con ∨ l’operazione di sup (dunque α(W1) ∨ α(W2) = α(W1+ W2)).
La dimensione di S `e per definizione dimSS := dimKV − 1; per ogni s = α(W ) ∈ S, la sua dimensione `e definita da dimSs := dimKW − 1. Gli elementi di S di dimensioni −1, 0, 1, 2, dimSS − 1 si dicono rispettivamente vuoto (proiettivo), punti, rette, piani, iperpiani di S.
IX.1. Spazi Proiettivi. 35
Il sottinsieme P = {s ∈ S : dimSs = 0} si dice lo spazio proiettivo punteggiato associato ad S, ed `e in biiezione con P(V ); il sottinsieme I = {s ∈ S : dimSs = dim S − 1} si dice lo spazio proiettivo fogliato associato ad S, ed `e in biiezione con I(V ).
1.5.1. Per esempio, la dimensione dello spazio proiettivo completo associato a V `e dimS(V )S(V ) := dimK(V ) − 1, e la dimensione di W ∈ S(V ) `e dimS(V )W := dim S(W ) = dimK(W ) − 1. Dunque i punti di S(V ) sono i sottospazi di dimensione 1 di V . Il vuoto proiettivo `e il sottospazio h0i, si pu`o indicare con ∅S(ma non `e l’insieme vuoto), e ha dimensione dimS∅S= −1 (ed `e l’unico di dimensione −1).
1.5.2. Sottospazi e Stelle. Un sottinsieme L di uno spazio proiettivo punteggiato P (con α da P(V )) si dice una variet`a proiettiva (lineare) se `e immagine tramite α di un insieme del tipo P(W ) per un sottospazio W di V ; ci`o vale se e solo se per ogni coppia di suoi punti contiene la retta che li congiunge.
Allo stesso modo si definiscono le stelle per trasporto di struttura da P(V ): esplicitare.
1.5.3. La definizione di spazio proiettivo pu`o sembrare inutilmente complicata dal fatto di pren-dere un insieme in biiezione con un P(V ), invece che P(V ) stesso. Il punto `e che molto spesso capitano insiemi con struttura di spazio proiettivo che non sono essi stessi associati a spazi vettoriali naturali: per esempio un fascio di rette di centro un punto di un piano affine `e una retta proiettiva, ma vi `e solo una identificazione naturale con qualche spazio proiettivo associato a uno spazio vettoriale. Allo stesso modo, mentre un sottospazio proiettivo di P(V ) si presenta spontaneamente come P(W ), e quindi `e uno spazio proiettivo, una stella anche `e uno spazio proiettivo, ma `e solo in biiezione (ma canonica...) con un P(V /W ), in quanto la stella `e formata da sottospazi di V (contenenti W ), e non da sottospazi di V /W .
Per ulteriore esempio, l’insieme delle coniche nel piano (o in generale delle quadriche in spazi proiettivi) forma uno spazio proiettivo (di che dimensione? con quali coordinate?).
1.6. Definizione (Spazio proiettivo duale). Sia (S, αS) uno spazio proiettivo completo di spazio vettoriale sovrastante V . Lo stesso insieme S, dotato della biiezione αS∗:= αS◦ τV∗= αS◦ τV−1 si dice lo spazio proiettivo duale (di spazio sovrastante (o sottostante) V∗) e si indica con S∗. Dunque se S = (S, V, αS), allora S∗= (S, V∗, αS∗).
1.6.1. Se s ∈ S e dimSs = r, allora abbiamo (s ∈ S∗ e) dimS∗s = dim S − r − 1, cio`e dimS∗s = dim S − dimSs − 1 (perch´e dimK(W⊥) = dimKV − dimKW ).
Se T ⊆ S `e il sottospazio di S di sostegno t ∈ S, allora T ⊆ S∗ `e la stella di S∗ di asse t ∈ S∗. In particolare i punti di S sono gli iperpiani di S∗: P = I∗ e I = P∗.
1.6.2. Esempio: S∗(V ). Lo spazio proiettivo duale dello spazio S(V ) si indica con S∗(V ) (piuttosto che S(V )∗) ed `e insiemisticamente identico a S(V ), ma dotato della struttura di spazio proiettivo che eredita dall’isomorfismo τV : S∗(V ) → S(V∗) (che manda W 6 V in W⊥ 6 V∗). In particolare, per esempio, il vuoto proiettivo di S∗(V ) `e V , il sup di due elementi `e l’intersezione dei due, e l’inf ne `e la somma.
1.6.3. Osservazione. Limitandosi agli spazi proiettivi standard (associati a spazi vettoriali) potremmo anche definire che lo spazio proiettivo duale sia lo spazio proiettivo associato allo spazio vettoriale duale, e potremmo trarne esattamente gli stessi risultati ed enunciati, se non altro perch´e vi `e una identificazione canonica di S∗(V ) con S(V∗). Il punto `e che per uno spazio proiettivo qualsiasi S non si saprebbe quale altro insieme usare, se non proprio S stesso.
1.7. (meta)Teorema (principio di dualit`a proiettiva). Sia S uno spazio proiettivo. Ogni asserzioneA scritta in termini di elementi di S coinvolgendo solo la struttura di reticolo (cio`e usando ∧, ∨, 6, dim) `e vera se e solo se risulta vera l’asserzione duale A∗ che si ottiene sostituendo ∧ con ∨, ∨ con ∧, 6 con > (relazione duale) e dim con dim S − 1 − dim.
Dimostrazione. Se l’affermazione A `e vera per ogni spazio proiettivo S, in particolare essa `e vera per lo spazio proiettivo duale S∗; allora basta “tradurre” l’affermazioneA fatta in S∗ in termini di elementi di S. Chiaramente si ottiene l’affermazione A∗, che perci`o `e vera. Il viceversa segue, visto
1.7.1. Facciamo notare esplicitamente, come conseguenza del teorema di dualit`a proiettiva, che basta dimostrare una delle due affermazioni affinch´e anche l’altra sia vera. Ma di pi`u: se si dispone di una dimostrazione diA che sia scritta esplicitamente coinvolgendo solo la struttura di reticolo, allora si pu`o trasformarla in una dimostrazione diA∗ (nello stesso modo in cuiA∗ si ricava daA ).
1.7.2. Notiamo anche che, come mostreranno gli esempi qui sotto, un analogo principio di dualit`a non pu`o essere vero per gli spazi affini. Spesso, negli esempi seguenti, i risultati scritti a sinistra sono veri per gli spazi affini, mentre quelli scritti a destra lo sono solo sotto ipotesi di “non-parallelismo”.
1.7.3. Una nota terminologica: spesso si usa “simmetrizzare” la relazione 6, cio`e dire che s ed s0si appartengono se s 6 s0 oppure s06 s. Per esempio di dice che un punto appartiene ad una retta (e questo `e usuale), ma anche che una retta appartiene ad un punto (contiene quel punto, ovvero la retta appartiene alla stella di asse quel punto).
1.8. Esempi in dim S = 2. Elenchiamo affiancati nozioni e relazioni duali:
vuoto proiettivo (dimensione −1). piano proiettivo (dimensione 2).
punto (dimensione 0). retta (dimensione 1).
tre punti sono allineati (appartengono alla stessa retta).
tre rette appartengono allo stesso fascio (si incon-trano nello stesso punto).
triangoli: tre punti non allineati e le tre rette che li congiungono.
trilateri: tre rette non in un fascio e i tre punti di intersezione.
quadrangoli: quattro punti 3 a 3 non allineati e le sei rette che li congiungono.
quadrilateri: quattro rette 3 a 3 non in un fascio e i sei punti di intersezione.
(si noti che triangoli e trilateri sono nozioni equivalenti, quadrangoli e quadrilateri no). Scriviamo affiancati alcuni enunciati duali (dimostrarli per esercizio).
due punti distinti appartengono ad un’unica retta (la congiungente i due punti).
due rette distinte appartengono ad un unico punto (l’intersezione delle due rette).
tre punti non allineati generano il piano proiet-tivo.
tre rette non passanti per uno stesso punto si in-contrano nel vuoto proiettivo.
d > 2 punti sono allineati sse due a due generano la stessa retta.
d > 2 rette sono in un fascio sse due a due si intersecano nello stesso punto.
ogni quadrangolo determina un triangolo diago-nale (con vertici le intersezioni di lati opposti).
ogni quadrilatero determina un trilatero diago-nale (con lati le congiungenti di vertici opposti). 1.9. Esempi in dim S = 3. Elenchiamo affiancati nozioni e relazioni duali:
vuoto proiettivo (dimensione −1). spazio proiettivo (dimensione 3).
punto (dimensione 0). piano (dimensione 2).
retta (dimensione 1). retta (dimensione 1).
(dunque la nozione di retta `e autoduale in dimensione proiettiva 3); tre punti sono allineati (appartengono alla stessa
retta).
tre piani appartengono allo stesso fascio (si inter-secano nella stessa retta).
quattro punti sono complanari (appartengono allo stesso piano).
quattro piani appartengono alla stessa stella (si intersecano nello stesso punto).
tetraedri: quattro punti non complanari, con le sei rette e i quattro piani che li congiungono.
tetrapiani: quattro piani non di una stella, con le sei rette e i quattro punti in cui si intersecano. Scriviamo affiancati alcuni enunciati duali (dimostrazioni per esercizio).
due punti distinti appartengono ad un’unica retta (la congiungente i due punti).
due piani distinti appartengono ad un’unica retta (l’intersezione dei due piani).
tre punti non allineati generano un piano (il piano congiungente).
tre piani non passanti per una stessa retta si in-contrano in un punto.
un punto e una retta che non si appartengono determinano un unico piano (il congiungente).
un piano e una retta che non si appartengono de-terminano un unico punto (l’intersezione). se due punti distinti appartengono ad un piano
allora la retta congiungente appartiene a quel pi-ano.
se due piani distinti contengono un punto allora la retta intersezione contiene quel punto.
IX.1. Spazi Proiettivi. 37
se due rette si intersecano in un punto allora gen-erano un piano.
se due rette generano un piano allora si incon-trano in un punto.
Quindi l’affermazione “due rette generano un piano se e solo se si incontrano in un punto” `e autoduale (nello spazio proiettivo di dimensione 3), come pure “due rette generano lo spazio se e solo se si incontrano nel vuoto proiettivo”.
se d > 1 rette si intersecano due a due, allora ap-partengono ad uno stesso piano oppure apparten-gono ad uno stesso punto (o entrambi).
se d > 1 rette sono due a due complanari, al-lora appartengono ad uno stesso punto oppure appartengono ad uno stesso piano (o entrambi). Si noti che l’enunciato `e autoduale.
1.10. Esempi in dim S = 4. Elenchiamo affiancati nozioni e relazioni duali:
vuoto proiettivo (dimensione −1). spazio proiettivo (dimensione 4).
punto (dimensione 0). spazio (dimensione 3).
retta (dimensione 1). piano (dimensione 2).
tre punti sono allineati (appartengono alla stessa retta).
tre spazi appartengono allo stesso fascio (si inter-secano nello stesso piano).
quattro punti sono complanari (appartengono allo stesso piano).
quattro spazi appartengono alla stessa stella (si intersecano nella stessa retta).
due rette si intersecano in un punto. due piani generano uno spazio. Scriviamo affiancati alcuni enunciati duali (dimostrazioni per esercizio).
due punti distinti appartengono ad un’unica retta (la congiungente i due punti).
due spazi distinti appartengono ad un’unico piano (l’intersezione dei due spazi).
tre punti non allineati generano un piano (il piano congiungente).
tre spazi non passanti per uno stesso piano si in-contrano in una retta.
un punto e una retta che non si appartengono determinano un unico piano (il congiungente).
uno spazio e un piano che non si appartengono determinano un’unica retta (l’intersezione). se due punti distinti appartengono ad un piano
allora la retta congiungente appartiene a qual pi-ano.
se due spazi distinti contengono una retta allora il piano intersezione contiene quella retta.
due rette generano un piano se e solo se si incon-trano in un punto.
due piani si intersecano in una retta se e solo se generano uno spazio.
se d > 1 rette si intersecano due a due, allora ap-partengono ad uno stesso piano oppure apparten-gono ad uno stesso punto (o entrambi).
se d > 1 piani si intersecano due a due in rette, allora appartengono ad uno stesso spazio oppure appartengono ad una stessa retta (o entrambi). Si noti che l’enunciato non `e autoduale, ma lo diventa opportunamente generalizzato: in Pn, se d > 1 sottospazi di dimensione r > 0 si intersecano due a due in sottospazi di dimensione r − 1, allora appartengono ad uno stesso spazio di dimensione r + 1 oppure ad una stella di centro uno spazio di dimensione r − 1 (o entrambi), per ogni n, r, d.
D’ora in poi, il lettore dovr`a per ogni nozione o affermazione proiettive esplicitare, se possibile, nozione e asserzione duale, anche se l’estensore delle note se ne dimentica.
1.11. Teorema (Formula di Grassmann proiettiva). Sia S uno spazio proiettivo com-pleto. Per ogni s, t ∈ S abbiamo che
dimS(s) + dimS(t) = dimS(s∨t) + dimS(s∧t)
(si osservi inoltre che la formula di Grassman `e autoduale, o meglio una disuguaglianza `e duale dell’altra).
Dimostrazione. Segue immediatamente dalla analoga formula per gli spazi vettoriali. Se s = α(U ) e t = α(W ), abbiamo che
dimK(U ) + dimK(W ) = dimK(U + W ) + dimK(U ∩ W )
1.11.1. Esempi. La formula di Grassmann pu`o essere usata per dimostrare che variet`a lineari proiettive sufficientemente grandi devono avere una intersezione non vuota. Per esempio:
(a) due rette nel piano proiettivo hanno sempre (almeno) un punto in comune; infatti se x `e la dimensione dell’intersezione abbiamo 1 + 1 6 2 + x, dunque x > 0; quindi nel piano proiettivo non vale il quinto postulato di Euclide (“per ogni punto esterno ad una retta passa una ed una sola retta parallela alla data”), perch´e non esistono rette parallele. Moltri altri assiomi degli elementi di Euclide sono falsi negli spazi proiettivi; per esempio gli assiomi d’ordine.
(b) una retta ed un piano nello spazio proiettivo tridimensionale hanno almeno un punto in comune. (c) due piani si intersecano almeno in una retta in uno spazio proiettivo di dimensione 3, ed almeno
in un punto in uno spazio proiettivo di dimensione 4.
(d) qual `e la minima dimensione di uno spazio proiettivo in cui due sottovariet`a lineari di dimensioni m ed n si incontrino nel vuoto?
(e) qual `e la massima dimensione di uno spazio proiettivo in cui due sottovariet`a lineari di dimensioni m ed n si incontrino almeno in un punto?
1.11.2. Posizioni reciproche di sottospazi proiettivi. Si osservi anche che due sottospazi proiettivi hanno sempre come intersezione un sottospazio proiettivo (eventualmente il vuoto proiettivo, che `e α(0)). Identificando allora ogni sottospazio con il proprio supporto punteggiato, possiamo dire che le uniche posizioni reciproche sono l’essere incidenti (per definizione, l’intersezione punteggiata non `e vuota), oppure essere sghembi (per definizione, l’intersezione punteggiata `e vuota); non vi sono fenomeni di parallelismo.
Diciamo anche che due sottospazi proiettivi sono complementari se sono sghembi e il loro sup `e l’intero spazio proiettivo. In particolare la somma delle loro dimensioni dev’essere la dimensione dello spazio proiettivo diminuita di 1 (perch´e?).
Quali sono le nozioni duali di essere sghembi (generanti), di essere incidenti, di essere comple-mentari?
1.11.3. Inseriamo alcune osservazioni classiche, con le duali, da verificare per esercizio: In uno spazio proiettivo di dimensione tre, date
due rette sghembe e un punto ad esse esterno, esiste una unica retta per quel punto e incidente le due date.
In uno spazio proiettivo di dimensione tre, date due rette sghembe e un piano che non ne contenga nessuna, esiste una unica retta di quel piano e incidente le due date.
(entrambi gli enunciati sono falsi in spazi affini di dimensione 3; quello di destra sembra pi`u facile da dimostrare? In quello di sinistra, la retta cercata viene come intersezione di due piani ovvii, il che garantisce l’unicit`a: dette r, s le due rette e P il punto, la retta cercata deve essere contenuta sia nel piano r ∨ P sia nel piano s ∨ P , che sono diversi, quindi si intersecano in una retta che `e complanare, e quindi incidente, sia con r che con s.)
In uno spazio proiettivo di dimensione 4, dati un piano e una retta sghembi, e un punto ad essi esterno, esiste una unica retta per quel punto e incidente piano e retta dati.
In uno spazio proiettivo di dimensione 4, dati un piano e una retta sghembi, e uno spazio che non contenga nessuno dei due, esiste un unico piano di quello spazio tale che?.
Cosa si pu`o dire per due piani sghembi in uno spazio proiettivo di dimensione 5? Come si pu`o generalizzare in dimensione n dati due sottospazi sghembi?
1.12. Sistemi di riferimento. In generale scegliere un sistema di riferimento in qualche spazio `e equivalente a scegliere un isomorfismo con una forma canonica di tali spazi. Per esempio per spazi vettoriali scegliere una base `e come dare un isomorfismo lineare con lo spazio standard Kn; per spazi affini scegliere un riferimento `e come dare una affinit`a con lo spazio affine standard An(K); per spazi euclidei scegliere un riferimento ortogonale `e come dare una isometria con lo spazio euclideo standard En(K).
Quali dati servono in uno spazio proiettivo per ottenere una corrispondenza biiettiva con lo spazio standard Pn(K)?
1.12.1. Proposizione-Definizione (Sistemi di riferimento proiettivi e coordinate omogenee). Sia S uno spazio proiettivo di dimensione n e spazio vettoriale sovrastante V . I seguenti dati sono equivalenti tra loro:
IX.1. Spazi Proiettivi. 39
(b) n + 2 punti P0, . . . , Pn, U di P tali che n + 1 tra loro non stiano su un iperpiano, ovvero generino tutto S (i P0, . . . , Pn formano l’edro fondamentale e U `e il punto unit`a);
(b∗) n + 2 iperpiani p0, . . . , pn, u tali che n + 1 tra loro abbiano sempre intersezione vuota.
Ogni scelta di tali dati si dice un sistema di riferimento proiettivo su S. Una volta scelto un riferimento proiettivo, ad ogni punto p ∈ P resta associata una n + 1-upla di coordinate omogenee (cio`e non tutte nulle e definite a meno di una costante moltiplicativa non nulla).
Dimostrazione. L’equivalenza di (b) e (b∗) `e garantita dal teorema di dualit`a proiettiva. Pre-cisamente abbiamo pi= Pi⊥ e u = U⊥ (cio`e, si usa la base duale nello spazio duale).
Dato (a) scegliamo per (b) i punti Pi determinati dalla base data di V e come punto unit`a U il punto determinato dalla somma dei vettori della base (chiaramente il tutto `e ben definito a meno di proporzionalit`a). Dato (b) possiamo scegliere una base di V nel modo seguente: siano virappresentanti dei Pi e u rappresentante di U , tali che u sia la somma dei vi (perch´e si pu`o fare?); allora i vi sono la base (perch´e?) voluta di V , ed `e definita a meno di proporzionalit`a.
Scelto un sistema di riferimento, e normalizzato come sopra per ottenere una base di V , ad ogni punto P di P, rappresentato da un vettore v ∈ V , restano associate le coordinate di v nella base scelta; chiaramente sono definite a meno di un multiplo scalare non nullo (perch´e la base lo `e, e anche il vettore v), e si dicono le coordinate omogenee di P nel riferimento scelto. 1.12.2. Nota. Dato un riferimento, l’assegnazione delle coordinate d`a una biiezione tra lo spazio proiettivo dato P (di dimensione n) e lo spazio proiettivo standard Pn(C): si osservi esplicitamente che per avere questa biiezione non basta dare n + 1 punti di P in posizione generale, ma serve anche il punto unit`a.
Quindi, per ogni dato problema in P possiamo ad n + 2 punti in “posizione generale” associare le coordinate standard del riferimento canonico di Pn(C) se questo `e utile per semplificare i conti.
Che relazioni vi sono tra sistemi di riferimento proiettivi in Pn(C) e sistemi di riferimento affini in An(C)?
1.13. Equazioni cartesiane di sottospazi. Dati m + 1 punti P0, . . . , Pm di uno spazio proiettivo P, si dicono in posizione generale se gli m + 1 vettori che li rappresentano sono linearmente indipendenti, ovvero sse la pi`u piccola variet`a proiettiva che li contiene ha dimensione m. In tal caso le equazioni della variet`a proiettiva congiungente gli m + 1 punti sono date dalla condizione