Capitolo IX Geometria Proiettiva
6. Piano proiettivo e costruzioni classiche
6.1. Costruzione grafica del quarto armonico dopo tre punti: siano A, B, C punti di una retta proiettiva r immersa nel piano P2(K); si traccino due rette distinte m, n(6= r) per A e una retta h(6= r) per C; si consideri poi la seguente costruzione:
M := m ∩ h e N := n ∩ h; u := M ∨ B e v := N ∨ B; U := u ∩ n e V := v ∩ m; k := U ∨ V .
Il quarto armonico `e X := k ∩ r.
Infatti si consideri la proiettivit`a ϕ di r in s`e composta della proiezione di r su h di centro V e della proiezione di h su r di centro U . Si vede subito che X e C sono punti fissi di ϕ, e che ϕ scambia A con B. Dunque ϕ `e una involuzione di r in s`e, e
quindi la quaterna (A, B, C, X) `e armonica. A
B C X N M r m n h u v k U V
6.2. Costruzione del quarto armonico dopo tre rette di un fascio: siano a, b, c rette di unfascio di centro R immerso nel piano P2(K); si traccino due punti distinti M, N (6= R) di a e un punto H(6= R) di c; poi: m := M ∨ H e n := N ∨ H; U := m ∧ b e V := n ∧ b; u := U ∨ N e v := V ∨ M ; K := u ∧ v; il quarto armonico `e x := K ∨ R.
Si tratta semplicemente della costruzione duale della precedente; le rette di un fascio costituiscono una retta proiettiva (dello spazio duale). Riconoscere nella figura a lato la involuzione del fascio di asse R come nella dimostrazione precedente.
a b c N M H m n V U u v K x R
6.3. Quadrangolo piano completo: `e la figura piana formata da quattro punti, a tre a tre non allineati, detti vertici e dalle sei rette che li congiungono, dette lati. I punti di intersezione di coppie di lati opposti si dicono i punti diagonali. Le rette passanti per due punti diagonali si dicono le diagonali del quadrangolo; in ogni diagonale i punti diagonali separano armonicamente i punti di intersezione con i rimanenti due lati.
Giustificare l’affermazione precedente in termini della costruzione grafica del quarto armonico, e riconoscere in quella costruzione la pre-senza di un quadrangolo piano completo. Quante quaterne armoniche di punti e rette contiene un quadrangolo?
6.3.1. Relazioni quadrangoli-triangoli. Si osservi che ogni quadrangolo determina il suo triangolo diagonale (tre punti e tre rette). Viceversa, dato un triangolo ed un punto ad esso esterno (cio`e che non appartiene ad alcuna retta del triangolo), esiste un unico quadrangolo con quel vertice ed avente quel triangolo come triangolo diagonale: costruirlo.
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6.4. Quadrilatero piano completo: `e la figura piana for-mata da quattro rette, a tre a tre non appartenenti ad un fascio, detti lati e dai sei punti di intersezione, detti vertici. Le rette congiungenti coppie di vertici opposti si dicono le diagonali del quadrilatero. I punti di intersezione di due diagonali si dicono i punti diagonali, e il fascio di rette di quei centri si dicono i fasci diagonali. In ogni fascio diagonale, le due diagonali separano armonicamente le rette passanti per i rimanenti due vertici.
Giustificare l’affermazione precedente in termini della costruzione grafica del quarto armonico dopo tre rette d’un fascio, e riconoscere in quella costruzione la presenza di un quadrilatero piano completo. Quante quaterne armoniche di punti e rette contiene un quadrilatero?
6.4.1. Relazioni quadrilateri-trilateri. Dualizzare le affermazioni su quadrangoli-triangoli.
6.5. Quadrangolo piano semplice: `e la figura formata da una quaterna ordinata di punti complanari, a tre a tre non allineati (detti i vertici) e dalle quattro rette congiungenti punti (circo-larmente) consecutivi (dette i lati). Dati quattro punti complanari a tre a tre non allineati, quanti quadrangoli piani semplici distinti si possono formare? `E vero che sono tutti proiettivamente equiv-alenti tra loro (cio`e che possono essere scambiati ciascuno negli altri tramite proiettivit`a del piano)?
Dualizzare (quadrilatero piano semplice).
♠ 6.5.1. Separatori armonici comuni. Dati due punti distinti della retta proiettiva, vi sono infinite coppie che separano armonicamente i punti dati: infatti per ogni terzo punto distinto dai dati si pu`o trovare il quarto armonico.
Date due coppie di punti distinti della retta proiettiva, esiste una unica coppia di punti che separa armonicamente entrambe le coppie date (servono ipotesi sul corpo di base?). Per verificarlo conviene supporre che i punti della prima coppia abbiano coordinate 0 e ∞ (cosicch´e le coppie armoniche sono formate da punti di coordinate opposte), e della seconda coppia abbiano coordinate 1 e a (arbitraria). Nel caso di R, mostrare che i separatori armonici di due coppie di punti reali sono reali se e solo se le due coppie non si separano tra loro (cio`e se hanno birapporto positivo usando prima una coppia, poi l’altra). In particolare non sar`a possibile dare una costruzione grafica lineare dei separatori armonici comuni; per una costruzione grafica serviranno almeno delle circonferenze: a partire dai quattro punti A, B, C, D si tracciano due circonferenze per trovare il punto medio M dei separatori armonici comuni; poi la tangente da M a uno dei due cerchi permette di trovare i separatori comuni:
A B C D M T U V P Q kT −M k2= kA−M k kB−M k = kP −M k kQ−M k = kC−M k kD−M k (U, V, ∞, M ) = (A, B, U, V ) = (C, D, U, V ) = −1
(che propriet`a si stanno usando dei cerchi? Dati una circonferenza e un punto esterno, il prodotto delle sue distanze dai punti in cui una retta del suo fascio taglia la circonferenza non dipende dalla retta...).
6.6. Polarit`a di Poncelet di una coppia di rette rispetto ad un punto. Siano u, u0 rette distinte in un piano proiettivo, P un punto ad esse esterno:
6.6.1. per ogni r, r0∈ P∗(rette distinte del fascio per P ) i punti intersezione di ((r ∧ u) ∨ (r0∧ u0)) e ((r ∧ u0) ∨ (r0∧ u)) sono tutti allineati, e formano una retta passante per u ∧ u0 (detta retta polare di u, u0 rispetto a P );
6.6.2. per ogni r ∈ P∗ (retta del fascio per P ) i quarti armonici, se esistono, dopo P , r ∧ u, r ∧ u0 sono tutti allineati: `e la retta polare?
6.6.3. ogni retta per u ∧ u0 si pu`o ottenere come polare rispetto a qualche punto?
6.6.4. l’omologia involutoria di centro P e asse la retta polare manda u in u0secondo la proiezione di centro P ;
6.6.5. se un esagono ha i vertici pari in u, e quelli dispari su u0, allora i lati opposti si incontrano in tre punti allineati; il viceversa `e falso (vedi Pascal);
6.6.6. le polari di P rispetto alle coppie di lati di un triangolo incontrano i lati opposti in tre punti allineati (e tale retta si dice retta polare del triangolo rispetto a P );
6.6.7. e dualizzare tutto!
6.7. Osservazione: inserisco qui una osservazione che permette di meccanizzare certi calcoli successivi. Dati quattro punti distinti A, B, A0, B0 (che confonderemo con le loro coordinate in un sistema di riferimento scelto) del piano, vogliamo calcolare l’intersezione r ∧r0delle due rette r = A∨B e r0 = A0∨ B0. Bene: le coordinate pl¨uckeriane delle due rette (nel riferimento duale) sono date da r = A × B e r0= A0× B0, e il loro punto di intersezione ha coordinate r × r0= (A × B) × (A0× B0). Qui il × `e il prodotto vettore (in quanto elementi di K3).
Generalizzare a n iperpiani di uno spazio di dimensione n usando il cross-product.
6.8. Teorema di Pappo (Asse di collineazione). Date due rette distinte r, r0 del piano, e su ciascuna tre punti distinti, siano A, B, C ∈ r e A0, B0, C0 ∈ r, diversi da r ∧ r0; allora i tre punti (A ∨ B0) ∩ (B ∨ A0), (A ∨ C0) ∩ (C ∨ A0) e (B ∨ C0) ∩ (C ∨ B0) sono allineati, la retta a che li congiunge si dice asse di collineazione. Inoltre, l’asse di collineazione contiene r ∧ r0 se e solo se le tre rette A ∨ A0, B ∨ B0, C ∨ C0 sono concorrenti in un punto, e anche se e solo se i birapporti (A B C r ∧ r0) e (A0B0C0r ∧ r0) coincidono.
Dimostrazione. Si tratta di un facile conto, usando un sistema di riferimento in cui i punti A, B, C abbiano coordinate 10 a ,10 b ,10 c e i punti A0, B0, C0 a10 0 ,b10 0 ,c10 0
(in effetti basta scegliere due rette come fondamentali, e abbiamo ancora ampia scelta per specializzare il riferimento e precisare le coordinate dei punti; non lo facciamo solo per mantenere eleganza e simmetria del pro-cedimento di calcolo). Si noti che a, b, c, a0, b0, c0 sono tutti non nulli. Allora i tre punti di intersezione cercati sono le colonne della matrice
aa0− bb0 aa0− cc0 bb0− cc0 a0b0(a − b) a0c0(a − c) b0c0(b − c) ab(a0− b0) ac(a0− c0) bc(b0− c0)
che evidentemente ha determinante nullo, poich´e la somma a segni alterni delle colonne moltiplicate rispettivamente per cc0, bb0, aa0 d`a il vettore nullo. Similmente si dimostra l’inoltre. 6.8.1. Una dimostrazione alternativa, senza coordinate, pu`o essere data anticipando un po’ il punto seguente. Vi `e una unica proiettivit`a ϕ di r in r0 che manda i tre punti A, B, C ordinatamente in A0, B0, C0. Ora, fissando ad esempio A, consideriamo la retta che congiunge (A ∨ B0) ∩ (B ∨ A0) con (A ∨ C0) ∩ (C ∨ A0), chiamiamola a. Allora la composizione delle proiezioni da r ad a di centro A0 e da a a r0 di centro A d`a esattamente la proiettivit`a ϕ detta. Quindi questa retta contiene tutti i punti del tipo (P ∨ ϕQ) ∩ (Q ∨ ϕP ) per ogni P, Q ∈ r (in particolare per B, C).
Conviene anche osservare che la retta a `e l’unica passante per immagine e antimmagine tramite ϕ del punto r ∧ r0 (se non `e un punto unito), e che la scrittura di ϕ come composizione di proiezioni non `e unica (dipende dal punto A scelto) mentre la retta attraverso cui passano le proiezioni `e sempre a, unica.
6.8.2. Variazioni sul teorema di Pappo. Variando l’ordine dei punti possiamo trovare 6 rette di collineazione, e si distribuiscono in due gruppi di 3 in fasci (configurazione duale di Pappo?).
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6.9. Proiettivit`a tra rette immerse nel piano: una proiettivit`a tra due rette distinte del piano si scrive come composizione di al pi`u due proiezioni da rette a rette di centri opportuni. Infatti, se ϕ : r −→ r0, e A, B, C ∈ r distinti, allora i tre punti (A ∨ ϕB) ∩ (B ∨ ϕA), (A ∨ ϕC) ∩ (C ∨ ϕA) e (B ∨ϕC)∩(C ∨ϕB) sono allineati, la retta a che li congiunge si dice asse di collineazione per ϕ, e la proiettivit`a si scrive come composizione della proiezione r −→ a di centro ϕA e della proiezione a −→ r0 di centro A.
Si osservi anche che una proiettivit`a tra due rette dis-tinte `e una proiezione se e solo se il punto di intersezione `e
unito. A B C ϕA ϕB ϕC a r r0
6.9.1. Una proiettivit`a di una retta in s`e si scrive come proiezione di al pi`u tre proiezioni da rette a rette di centri opportuni. Il punto `e che basta comporre con una proiezione su un’altra retta, e poi decomporre la composizione come prodotto di due proiezioni (l’inversa di una proiezione `e una proiezione, ovviamente?).
6.9.2. Dualizzare: studiare le proiettivit`a tra fasci di rette del piano.
6.10. Triangoli prospettivi e omologici. Due triangoli A, B, C e A0, B0, C0 in Pn(K) (di lati a, b, c e a0, b0, c0, ove una minuscola congiunge le due maiuscole diverse) si dicono prospettivi se le rette A ∨ A0, B ∨ B0 e C ∨ C0 si incontrano in un punto (ovvero vertici omologhi generano tre rette convergenti in un punto); si dicono omologici se i tre punti a ∧ a0, b ∧ b0 e c ∧ c0 sono allineati (lati omologhi si incontrano in tre punti allineati).
Per due triangoli in un piano, essere omologici `e duale di essere prospettivi.
6.10.1. Teorema di Desargues. Una coppia di triangoli `e prospettiva se e solo se `e omologica (nel piano si tratta di un’affermazione autoduale: una implicazione `e duale dell’altra; in dimensioni maggiori?). A A0 B B0 C C0
Dimostrazioni. Osserviamo che se i triangoli sono prospettivi, oppure omologici, allora essi sono contenuti in uno spazio proiettivo di dimensione al pi`u tre. Inoltre, per dualit`a, nel caso piano basta dimostrare che due triangoli prospettivi sono omologici.
6.10.2. Proponiamo una prima dimostrazione usando esplicitamente delle coordinate proiettive. Supponiamo che i triangoli non siano complanari; poich´e i triangoli sono prospettivi, possiamo scegliere il punto di prospettivit`a come origine e i tre punti di un triangolo come gli altri punti fondamentali del riferimento. Dunque un triangolo ha vertici di coordinate A =
0 1 0 0 , B = 0 0 1 0 , C = 0 0 0 1 , mentre
l’altro ha vertici di coordinate A0= 1 a 0 0 , B0= 1 0 b 0 , C0= 1 0 0 c
, (cio`e sono prospettivi nell’origine). I lati dei due triangoli hanno equazioni
a : X0= 0 = X1 b : X0= 0 = X2 c : X0= 0 = X3 a0 : X1= 0 = bcX0− cX2− bX3 b0 : X2= 0 = acX0− cX1− aX3 c0 : X0= 0 = abX0− bX1− aX2
e quindi i tre punti di intersezione sono dati da a ∧ a0= 0 0 b −c b ∧ b0= 0 a 0 −c c ∧ c0 = 0 a −b 0 .
Per verificate che i tre punti sono allineati basta osservare che la loro somma con segni alterni `e nulla. Il viceversa, ovvero che triangoli omologici sono prospettivi si fa in modo analogo: scegliendo un riferimento proiettivo avente un vertice di ciascun triangolo in un punto fondamentale, e l’intersezione dei lati non omologhi di quei vertici come ulteriori punti fondamentali.
Usando A = 1 0 0 0 , A0= 0 0 0 1 , b ∧ b0 = 0 1 0 0 , c ∧ c0= 0 0 1 0 , abbiamo che B = 1 0 b 0 , B0 = 0 0 b0 1 , C = 1 c 0 0 , C0 = 0 c0 0 1 , con detb b0 c c0
= 0 (perch´e?). Si vede subito allora che si ha un punto di prospettivit`a.
6.10.3. Lasciamo per esercizio il caso di triangoli complanari; in questo caso possiamo scegliere un riferimento in cui il punto di prospettivit`a `e il punto unit`a, ed i tre vertici di un triangolo sono i punti fondamentali. Un facile disegno (o un facile conto) d`a allora il risultato. 6.10.4. Proponiamo una seconda dimostrazione che `e valida se supponiamo che i triangoli non siano complanari e non fa uso di coordinate. Siano π e π0 i piani su cui giacciono i triangoli, e sia % : π → π0la proiezione di centro il punto di prospettivit`a dei triangoli. Allora i punti della retta π ∧ π0 sono (i soli) uniti per %, e contengono i tre punti di intersezione dei lati (perch´e? un lato e la sua immagine, che `e il lato omologo, devono intersecare π ∧ π0 nello stesso punto...).
Per il viceversa, conviene cercare una proiettivit`a, tra i due piani contenenti i triangoli, che mandi i vertici del primo in quelli del secondo e che fissi puntualmente la retta di intersezione: sar`a allora una proiezione di centro un punto, e i due triangoli prospettivi. Per definire tale proiettivit`a si pu`o sia mandare i vertici nei vertici, e un punto della retta π ∧π0in s`e (allora bisogna dimostrare che i tre punti di intersezione dei lati omologhi sono punti uniti, possibile con un facile argomento di birapporti), sia mandare due punti di un triangolo nei corrispondenti dell’altro e fissare i punti di intersezione dei lati omologhi in π ∧ π0 (allora bisogna dimostrare che il terzo vertice va nel terzo vertice, e che anche il terzo punto di intersezione di lati in π ∧ π0 `e unito, entrambe cose facili). 6.10.5. Infine proponiamo una terza dimostrazione che `e valida se supponiamo che i triangoli siano complanari e non fa uso di coordinate. Poich´e i triangoli sono prospettivi possiamo considerare la proiettivit`a del piano che fissa il punto di prospettivit`a O e manda i vertici di un triangolo nei corrispondenti dell’altro. Si tratta di una omologia di centro O, poich´e il fascio di rette di centro O ha tre rette unite, e quindi `e unito. Dunque esiste una retta di punti uniti, che necessariamente contiene tutti i punti uniti distinti da O; in particolare contiene le tre intersezioni di lati corrispondenti (perch´e si tratta di punti uniti? sono punti che stanno su un lato e sulla retta per O e s`e stessi...). 6.10.6. Variazioni sul teorema di Desargues. Giocare con tre triangoli prospettivi dallo stesso punto, e con tre triangoli due a due prospettivi. Come si distribuiscono le rette di omologia, ci sono casi in cui coincidono?
♠ 6.11. Nota culturale. I teoremi di Pappo e Desargues (nel piano) sono molto importanti anche per una loro caratterizzazione algebrica, che qui non dimostriamo, ma che possiamo facilmente enunciare, anche se in modo un po’ impreciso. Costruendo la geometria proiettiva piana in termini assiomatici (per poi costruire qualche struttura algebrica di base canonicamente associata per iden-tificare la geometria assiomatica con costruzioni di algebra lineare), oppure definendola in termini di algebra lineare ma usando strutture algebriche di base pi`u deboli di un campo, si pu`o vedere che: vale il teorema di Desargues sse la struttura di base `e un corpo (non necessariamente commutativo, ma l’associativit`a del prodotto `e essenziale) e vale il teorema di Pappo sse la struttura di base `e un campo (cio`e la commutativit`a del prodotto `e essenziale). In particolare, Pappo implica Desargues (e non viceversa). Per esempio un piano proiettivo sui quaternioni rispetta il teorema di Desargues, ma non quello di Pappo; un piano proiettivo sugli ottonioni non verifica nessuno dei due teoremi.
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♠ 6.12. Altri esempi classici: prospettivit`a tra quadrangoli. Se due quadrangoli piani completi, senza vertici
o lati comuni, sono tali che cinque lati omologhi hanno intersezioni su una retta, allora anche la sesta coppia di lati omologhi si interseca in quella retta, e le quattro rette che uniscono vertici omo-loghi appartengono ad un fascio.
Se due quadrilateri piani completi, senza vertici o lati comuni, sono tali che cinque vertici omologhi generano rette d’un fascio, allora anche la sesta coppia di vertici omologhi genera una retta di quel fascio, e i quattro punti di intersezione di lati omologhi sono allineati.
6.13. Proiettivit`a tra rette sghembe nello spazio proiettivo: si tratta di proiezioni di centro una retta (si pu`o scegliere qualsiasi retta distinta da r ed r0 che sia complanare con le tre rette A ∨ ϕA, B ∨ ϕB e C ∨ ϕC: basta confrontare proiettivit`a e proiezione sui tre punti scelti). Si tratta di una costruzione gi`a incontrata? Le rette che si possono usare come asse che figura formano?
Dualizzare: studiare le proiettivit`a tra fasci di piani (di
asse una retta) nello spazio. Ovvero? A
B C ϕA ϕB ϕC r r0
♠ 6.14. Altri esempi classici: duale spaziale di Desargues? Si noti che il duale nello spazio tridimensionale della nozione di triangolo (3 punti, le 3 rette e il piano generati) `e la nozione di triplano (3 piani, le 3 rette e il punto segati), quindi una figura geometrica che di solito non si studia. Si pu`o comunque per una coppia di triplani dare le nozioni di essere omologici (intersezione di facce omologhe sono rette complanari), di essere prospettivi (sup di lati omologhi sono piani di un fascio), ed enunciare il teorema come: una coppia di triplani `e prospettiva se e solo se `e omologica.
Si generalizza senza difficolt`a al caso n-dimensionale.
♠ 6.14.1. Analogo spaziale di Desargues: teorema di Poncelet. In uno spazio proiettivo di dimensione 3, un tetraedro `e il dato di 4 punti in posizione generale, delle 6 rette e 4 piani da essi generati. Due tetraedri sono detti prospettivi se vertici omologhi generano rette d’un fascio, e sono detti omologici se facce omologhe si incontrano in rette complanari. Il teorema di Poncelet, che afferma che una coppia di tetraedri `e prospettiva se e solo se `e omologica, `e autoduale (in dimensione 3; `e vero, ma non autoduale in dimensioni superiori), e va pensato come la generalizzazione tridimensionale di Desargues.
Anche qui non vi sono ostacoli per trovare la generalizzazione n-dimensionale di Desargues. ♠ 6.15. Problema. Si pensi lo spazio euclideo come spazio affine immerso nello spazio proiettivo. Sappiamo allora che le rigidit`a (trasformazioni euclidee) rispettano le distanze tra due punti; le affinit`a non rispettano le distanze tra due punti, ma rispettano il rapporto delle distanze tra tre punti allineati; e infine che le proiettivit`a rispettano (quando ha senso) il birapporto delle distanze per quattro punti allineati, ma in generale non strutture pi`u semplici.
Trovare invarianti proiettivi n-dimensionali; per esempio nel caso del piano: ogni rigidit`a rispetta l’area del triangolo dato da tre punti; in generale le affinit`a cambiano le aree, ma cosa lasceranno invariato? e le proiettivit`a, appunto?
♠ 6.16. Nota culturale. Riguardando a ritroso le diverse geometrie finora incontrate (spazi vettoriali, spazi affini, spazi euclidei, spazi proiettivi) si pu`o capire lo spirito del cosiddetto “programma di Erlangen” in cui si definisce lo studio della geometria come lo studio degli invarianti sotto un gruppo di trasformazioni prefissato:
(0) per uno spazio vettoriale V `e il gruppo degli automorfismi di V (isomorfismi lineari GL(V )); (1) per uno spazio proiettivo P(V ) `e il gruppo delle proiettivit`a (PGL(V ));
(2) per uno spazio affine complementare di H∞in P(V ) `e il gruppo delle proiettivit`a che stabilizzano globalmente H∞ (affinit`a);
(3) per uno spazio conforme complementare di H∞ in P(V ) e con una scelta di una quadrica Ω in H∞`e il gruppo delle affinit`a che stabilizzano globalmente Ω (conformit`a rispetto a Ω);
(4) per uno spazio pseudoeuclideo complementare di H∞ in P(V ) e con una scelta di una forma quadratica q su H∞`e il gruppo delle affinit`a che rispettano q (rigidit`a, isometrie di q).
Negli ultimi casi siamo abituati ad usare forme definite positive (casi euclidei), ma si pu`o fare altri-menti. Pi`u grande `e il gruppo delle trasformazioni ammesse, meno sono gli invarianti geometrici che si possono trovare e definire, ma pi`u semplici e chiari tendono ad essere i risultati essenziali.
♠ 6.17. Problema-Gioco (per sviluppare l’immaginazione). Dato un triangolo di vertici A, B, C (lati a, b, c ciascuno opposto al vertice omonimo), e un triangolo inscritto di vertici A1 ∈ a, B1 ∈ b, C1 ∈ c, si pu`o trovare un altro triangolo inscritto in quello iniziale usando come vertici le intersezioni dei lati del secondo: A2 = a1∧ a, B2 = b1∧ b, C2 = c1∧ c; poi si procede usando il secondo triangolo, e per induzione si trova una successione di triangoli tutti inscritti in quello iniziale. Questo procedimento pu`o fermarsi o prosegue dando sempre triangoli diversi? Se non si ferma, che cosa succede al limite della successione di triangoli?
IX.7. Problemi. 71
7. Problemi.
7.1. Problemi di geometria proiettiva.
7.1.1. Discutere le soluzioni di aX + bY = c nel piano affine, e del sistema omogeneizzato. Descrivere le soluzioni del secondo, la loro relazione con le soluzioni del primo e fare un disegno che spieghi i risultati.
7.1.2. Discutere le soluzioni del sistemanX+Y =0X+Y =2 e del sistema omogeneizzato, confrontandone le soluzioni e facendo un disegno dei risultati. `E possibile disomogeneizzare il sistema ottenuto in modo da ottenere due rette in un piano affine che si intersechino?
7.1.3. Discutere le soluzioni del sistema nX+Y =1X−Y =1 e del sistema omogeneizzato, confrontandone le soluzioni e facendo un disegno dei risultati. `E possibile disomogeneizzare il sistema ottenuto in modo da ottenere due rette in un piano affine che siano parallele?
7.1.4. Discutere il sistema di equazioni di due piani distinti in A3
(R) ed il suo omogeneizzato, esplicitando i ranghi delle varie matrici, e confrontando le soluzioni dei due sistemi. Possibilmente fare un disegno che spieghi i risultati.
7.1.5. Discutere il sistema di equazioni di un piano ed una retta (non contenuta nel piano) in A3(R) ed il suo omogeneizzato, esplicitando i ranghi delle varie matrici, e confrontando le soluzioni dei due sistemi. Possibilmente fare un disegno che spieghi i risultati.
7.1.6. Discutere il sistema di equazioni di due rette distinte in A3
(R) ed il suo omogeneizzato, esplicitando i ranghi delle varie matrici, e confrontando le soluzioni dei due sistemi. Possibilmente fare un disegno che spieghi i risultati.
7.1.7. Perch´e un sistema che sia gi`a omogeneo non coincide con il proprio omogeneizzato? Confrontarne le soluzioni, facendo qualche esempio, con dei disegni esplicativi.
7.1.8. Discutere il sistema dei due piani P + hv, wi e Q + hv, ui ove P = 0 0 0 0 , Q = 0 1 0 0 sono punti in A4 (R) e v = 1 1 0 0 , w = 0 1 1 0 , u = 0 0 1 1
sono vettori di R4, ed il suo omogeneizzato. Disomogeneizzare il nuovo sistema in modo da trovare due piani (in uno spazio affine di dimensione 4) che si intersecano (in un punto?).
7.1.9. Discutere il sistema dei due piani P + hv1, v2i e Q + hw1, w2i ove P = 0 0 0 0 , Q = 0 0 1 1 sono punti in A4 (R) e v1 = 1 1 0 0 , v2 = 0 0 1 1 , w1 = 0 1 0 1 , w2 = 1 0 1 0
sono vettori di R4, ed il suo omogeneizzato. `E vero che i due piani sono contenuti in un sottospazio di dimensione tre?
7.1.10. Date due rette nel piano proiettivo, `e sempre possibile scegliere un piano affine