Analisi di esperimenti di trasporto dc rilevanti

2.3 Esperimenti di trasporto

2.3.2 Analisi di esperimenti di trasporto dc rilevanti

Fin dalla sua scoperta [3], il grafene ha esibito inusuali caratteristiche di trasporto della conduttività dc. Una di queste è la dipendenza lineare della conduttività dal potenziale di gate Vg ( si veda per esempio il pannello (a) della Fig. 2.6 ) e quindi

dalla densit`a di portatori carichi ( buche se Vg < 0 o elettroni se Vg > 0). Tale

comportamento è osservato lontano dal punto di neutralità di carica, ovvero per |εF| > 0, dove la conduttività è finita e pari a σmin ' e2/~.

All’interno della teoria semiclassica di Boltzmann appena descritta, il fatto che la conduttività di Drude sia lineare nella densità di portatori può essere fenomeno- logicamente spiegato assumendo τtr(k) ∝ k. Infatti, sostituendo in Eq. (2.21) si

ottiene immediatamente

σcs∝ kF2 ∝ n.

Sulla base di questa considerazione euristica, si comprende il motivo per il quale le impurezze cariche sono state considerate fin dall’inizio il principale meccanismo di

2.3 Esperimenti di trasporto 43 (e 2/h ) Vg(V) Dopingtime 0 20 40 60 –80 –60 –40 –20 0 σ 20 0s 6s 12s 18s (a) Electron Hole t(s) 0 4 8 12 16 1/ (V s m –2) µ t(s) 0 4 8 12 0.7 0.8 0.9 1.0 µ µ_e /h 0 3 6 9 12 15 (b)

Figura 2.6: In (a) `e rappresentata la conduttivit`a σ del campione di grafene in funzione del voltaggio di gate Vg per diversi tempi di dosaggio delle impurezze cari-

che; in (b) `e riportata la mobilit`a del grafene in funzione del tempo di dosaggio. Le figure sono state adattate dalla Ref. [26]

disordine limitante la conduttivit`a d.c. del grafene su substato. Infatti il tempo di trasporto limitato da impurezze cariche, espresso in Eq. (2.29) , ha la dipendenza dall’impulso k richiesta. Notevoli sono stati gli sforzi sia teorici [23], [24], [25], [21] che sperimentali [26] volti a corroborare questa semplice idea.

Il primo lavoro sperimentale completamente dedicato alla caratterizzazione della conduttività dc limitata da impurezze cariche è quello condotto da J. H. Chen et al. [26]. In questo esperimento le misure di conduttività al variare del voltaggio di gate Vg seguono l’aggiunta di ioni di Potassio (K+) al campione grafene-substrato.

Il dosaggio per unità di superficie è controllato dal tempo di esposizione a un flusso costante di ioni, depositati direttamente sul grafene. L’aggiunta di ioni ha effetti notevoli su conduttività e mobilità, come è possibile osservare dai pannelli (a) e (b) della Figura 2.6. Il pannello (a) della Fig. 2.6 riporta i dati sperimentali (punti) e il relativo fit lineare (linee) della conduttività σ in funzione del voltaggio di gate Vg, per diversi tempi di dosaggio degli ioni. L’intervallo di potenziali di gate nel

quale il fit lineare è fedele ai dati sperimentali cresce al crescere della densità di impurezze cariche ncs depositate. Questo fatto è stato attribuito alla competizione

tra impurezze di diversa natura (cfr. par. 2.2.3). Se assumiamo come fatto nelle Ref. [21, 23] che i principali difetti contro i quali gli elettroni diffondono siano le impurezze cariche schermate RPA ( cfr. par. 2.2.1 ) e le impurezze a corto raggio (cfr. par. 2.2.2), la conduttività totale è data dall’espressione (2.42). Ricordando la relazione tra mobilità e conduttività, l’Eq. (2.43) valida nel limite di temperatura nulla, può essere riscritta nella forma

1 σtot = 1 enµcs + 1 σsrs (2.46)

44 grafene -2 -1 0 1 2 n (1012_cm-2₎

ρ

(k Ω ) 0 2 in high-mediumκ 4 in He gas (a) _{300 K} -1 0 1 3 V_lg (V) in ethanol in He gas 0 2 1 2

ρ

xx ,

ρ

xy (k Ω ) ₀ 4 -1 0 1

ρ

xy n (1012cm-2) 300 K 0.5 T (b)

Figura 2.7: Nel pannello (a) è riportata la resistività in funzione del potenziale di gate Vg, convertito mediante la relazione (2.44) in densità di elettroni in eccesso n.

Figura tratta dalla Ref. [27]. Il pannello (b) `e stato lasciato come nella referenza. dove sia µcs che σsrs sono indipendenti dalla densit`a di portatori in eccesso n.

All’aumentare della densit`a di impurezze cariche ncs, la mobilit`a µcs in Eq. (2.46)

diminuisce. Il contributo delle impurezze cariche in Eq. (2.46) domina su quello dovuto alle impurezze a corto raggio. È dunque ragionevole aspettarsi che la linea- rità nella densità di portatori diventi sempre più in accordo con i dati sperimentali all’aumentare della densità di impurezze ncs.

L’inversa proporzionalità delle mobilità rispetto alla densità di impurezze ncsè veri-

ficabile dal pannello (b) in Fig. 2.6. Le mobilit`a rappresentate sono il risultato del fit dei dati sperimentali - cfr. pannello (a) della Fig. 2.6 -. Il modello utilizzato per effettuare il fit `e

σ(Vg) =

µeCg(Vg− Vg,min) + σres per Vg > Vg,min

µhCg(Vg− Vg,min) + σres per Vg < Vg,min (2.47)

dove Vg,min è il voltaggio di gate al quale la conduttività è minima, Cg è la capacità

di gate per unit`a di superficie, µe e µh sono le mobilit`a corrispondenti a rispetti-

vamente elettroni e buche e σres tiene conto della conduttivit`a finita al punto di

neutralità di carica. La capacità di gate del dispositivo è Cg = 1.15· 10−4 F/cm2 =

0.78· 1011_e/(Vcm2_{). I parametri µ}

e e µh sono riportati nel pannello (b) della Fig.

2.6. La figura mostra chiaramente l’inversa proporzionalità tra la mobilità e la den- sità di impurezze ncs depositate. Infine osserviamo che la traslazione del voltaggio

di gate Vg,min verso valori negativi `e qualitativamente consistente con la presenza

di impurezze cariche positivamente. Infatti la densit`a superficiale ncs induce un

potenziale V _{' −eC}gncs. Il potenziale di gate Vg,min al quale ha luogo la neutra-

lità di carica deve essere tale da neutralizzare il potenziale indotto dalle impurezze cariche L’effettiva presenza non intenzionalmente indotta delle impurezze cariche è stata sperimentalmente verificata in diversi lavori. Uno dei più recenti e significativi

2.3 Esperimenti di trasporto 45

`e quello condotto da L. A. Ponomarenko et al. [27]. Gli autori in questo articolo hanno variato sia i substrati sui quali contattare il grafene sia l’ambiente dielettrico soprastante. In entrambi i casi l’effetto `e una modifica della costante dielettrica effettiva α = e2_/(~v

F)2/( + sub) dove sub `e la costante dielettrica del substrato

mentre è la costante dielettrica della regione al di sopra del grafene. Il potenziale elettrone-impurezza carica è proporzionale ad α, quindi una modifica della costante di struttura fine effettiva deve ripercuotersi sulle proprietà di trasporto qualora le impurezze cariche siano presenti. L’uso di diversi substrati non ha portato a significative modifiche della mobilità limitata da impurezze cariche µcs in Eq. (2.46).

Come osservato dagli autori stessi, questo non esclude automaticamente che le impurezze cariche abbiano un ruolo dominante come meccanismo di disordine. Infatti `e possibile che la medesima densit`a tipica di impurezze sia invariabilmente presente in ogni substrato.

Nella seconda fase dell’esperimento `e stato modificato l’ambiente dielettrico al di sopra del grafene su SiO2 mediante la deposizione di diversi liquidi dielettrici qua-

li glicerolo con ' 42.0 ed etanolo con ' 25.0. Gli autori hanno analizzato le differenze rispetto al caso di riferimento corrispondente al dispositivo immerso in un’atmosfera di Elio (_{' 1). Nel pannello (a) della Fig. 2.7 è rappresentata la resi-} stività misurata per due dispositivi, uno immerso nell’atmosfera di He (linea rossa) e l’altro sommerso da una piccola goccia di glicerolo (linea blu) . L’estrazione della mobilità µcs tramite il fit dei dati sperimentali con il modello in Eq. (2.46) non

ha portato sostanziali modifiche. Infatti sperimentalmente la mobilità è cambiata di un fattore _{' 2 a fronte di un fattore ' 10 atteso teoricamente (cfr. Fig. 2.4).} La ripetizione dell’esperimento su campioni di più alta mobilità iniziale ha portato a modifiche ancora meno significative, dell’ordine del 30%. Malgrado ciò, almeno qualitativamente, i dati sperimentali sono consistenti con la presenza di impurezze cariche in quanto si osserva, all’aumentare della costante dielettrica , una crescita dei voltaggi di gate alla neutralità di carica e una crescita della mobilità.

Un altro importante esempio volto a investigare il ruolo che le impurezze cariche hanno sulle proprietà di trasporto è offerto dalla deposizione su titanato di stronzio (SrTO3). Quest’ultimo è un materiale isolante con una costante dielettrica for-

temente dipendente dalla temperatura. Tale costante passa da circa 200_{− 300 a} temperatura ambiente fino a circa 5000 alla temperatura di liquefazione dell’Elio. N.J.G. Couto et al. [28] hanno investigato la resistivit`a del grafene deposistato su SrTiO3 in un ampio intervallo di costanti dielettriche corrispondenti all’intervallo

di temperature T _{' 250mK ÷ 50.0K). Come è possibile osservare nel pannello (a)} della Fig. 2.8 la resistenza ( o la resistività, a meno di fattori adimensionali dipen- denti esclusivamente dalla geometria del campione ) è indipendente dalle costanti dielettriche, ciascuna corrispondente ad una diversa temperatura. Infatti le curve sono perfettamente sovrapposte. Questo esclude che le impurezze cariche abbiano un ruolo determinante per il grafene su SrTiO3.

In conclusione, il modello in Eq.(2.46) non sembra essere universale per spiegare gli esperimenti di trasporto. Infatti al variare della costante dielettrica del substrato, le curve di conduttivit`a non si discostano molto le une dalle altre come l’Eq. (2.46) predirrebbe. Inoltre, mantenendo invariato il substrato (ossido di silicio), in seguito

46 grafene

Figura 2.8: Il pannello (a) rappresenta la resistenza in funzione della densità di portatori in eccesso, per varie costanti dielettriche del substrato, sovrapposte e per questo indistinguibili. Nei pannelli (b) e (c) è rappresentata la corrispondente conduttività. L’immagine è stata presa dalla Ref. [27]

alla deposizione su grafene di diversi materiali dielettrici, non sempre si raggiunge un accordo quantitativo tra i fits dei dati sperimentali e le predizioni teoriche basate sul modello di impurezze cariche schermate . L’esperimento di J. H. Chen et al. [26], nel quale le impurezze cariche sono aggiunte intenzionalmente è in accordo con le predizioni dell’Eq. (2.46). Tale modello però non descrive quantitativamente i dati sperimentali dell’esperimento di L. A. Ponomarenko et al. [27]. Tuttavia, come già osservato, la presenza delle impurezze cariche anche in quest’ultimo caso è qualitativamente consistente con le osservazioni sperimentali. Quindi non è escluso che le impurezze cariche abbiano un ruolo, quanto meno per i dispositivi di bassa mobilità depositati su SiO2.

Capitolo 3

Coulomb drag in doppi strati di

grafene

3.1 Introduzione

Il fisico Pogrebinskii, nel suo pionieristico lavoro [29] del 1977, ha evidenziato per primo e con particolare enfasi il ruolo Coulomb drag nella comprensione delle intera- zioni elettrone-elettrone. Un tipico apparato sperimentale di Coulomb drag consta di due sottosistemi elettronici separati da un sottile strato di materiale isolante in modo da garantire la soppressione del tunneling quantistico degli elettroni e la con- seguente ibridizzazione delle funzioni d’onda. In questo modo i due sottosistemi mantengono inalterata la loro natura ma possono interagire tra di loro mediante l’interazione Coulombiana a lungo raggio. In uno dei due sottosistemi, chiamato attivo, viene fatta passare una densit`a di corrente ja mentre l’altro, denominato

passivo, è un circuito aperto in modo tale che nessuna corrente possa in esso scorrere. Una parte dell’impulso degli elettroni che scorrono nel sottosistema attivo viene trasferita nell’unità di tempo al sottosistema passivo mediante l’interazione Cou- lombiana elettrone-elettrone. Il sottosistema passivo risente quindi di una forza di attrito e, siccome in esso non può scorrere corrente, la densità di carica al suo interno si ridistribuisce in modo da controbilanciare tale forza di attrito. Si instaura cos`ı un campo elettrico di modulo _Ep all’interno dello strato passivo in modo da garantire

l’equilibrio. La quantità rilevante misurata negli esperimenti di Coulomb drag è la transresistività o resistività di drag ρD, ovvero il rapporto tra il campo elettrico che

si instaura nel sottosistema passivo Ep e la densit`a di corrente che scorre nello strato

attivo ja. La resistivit`a di drag `e quindi una misura diretta dell’impulso trasferito

tra i due sottosistemi e racchiude in essa preziose informazioni sulla natura dell’interazione elettrone-elettrone.

La forza d’attrito F, generata dallo scambio di impulso `e diretta lungo la direzione in cui scorre la corrente e il suo verso dipende esclusivamente dalla carica qa dei

portatori nello strato attivo. Il campo elettrico _Ep che si crea nello strato passivo

deve essere tale da soddisfare la seguente condizione di equilibrio

dove qp `e la carica dei portatori nel sottosistema passivo mentre ˆx`e un versore che

giace nello strato passivo ed è parallelo al versore della densità di corrente. Il segno della resistività di drag

ρD= E p

Nel documento "Coulomb drag" in doppi strati di grafene (pagine 46-52)