`e negativo se i portatori di carica hanno segno concorde mentre `e positivo se i porta- tori di carica hanno segno discorde. Quanto appena affermato discende direttamente dall’ Eq. (3.1), ricordando che il segno della forza d’attrito che in essa compare `e uguale al segno della carica dei portatori nel sottosistema attivo.
Il fenomeno del Coulomb drag , essendo determinato dall’interazione Coulombiana elettrostatica tra i due fogli di grafene, dipende in maniera determinante dal para- metro adimensionale d kF, dove kF rappresenta l’impulso di Fermi tipico di ciascun
foglio. L’ interazione elettrostatica tra i due fogli `e proporzionale a exp(−dkF). Ne
deriva una classificazione dell’accoppiamento tra i due fogli di grafene: il regime di accoppiamento debole corrispondente a dkF 1 il regime di accoppiamento forte in
cui dkF 1.
Durante gli anni ’90 un notevole sforzo sia teorico [30, 31] che sperimentale [32] `e stato dovuto allo studio del Coulomb drag in gas di elettoni bidimensionali parabolici (2DEG). `E stata studiata la dipendenza di ρD dalla distanza tra i due sottosistemi,
dalla temperatura e dalla densit`a di portatori. Molta attenzione `e stata inoltre ripo- sta sul ruolo dei plasmoni [30, 33] e sul ruolo dei fononi [34, 35] nella transresistivit`a di drag.
Il grafene a causa della sua natura bidimensionale `e un naturale candidato per lo studio del Coulomb drag . La versatilit`a con la quale `e possibile regolare la densit`a di portatori e lo spessore nanometrico dei fogli di grafene hanno offerto l’opportunit`a di esplorare la resistivit`a di drag in regimi non accessibili con normali 2DEG.
3.2
Gli esperimenti di Coulomb drag
Con l’avvento del grafene `e emerso un rinnovato interesse negli esperimenti di Cou- lomb drag . Tra i pi`u significativi citiamo quelli di S. Kim et al. [36, 37] e di Gorbachev et al. [38].
Il primo esperimento di Coulomb drag tra gas di elettroni bidimensionali (2DEG) risale agli anni ’90 [32]. I campioni usati in questo esperimento sono doppie buche quantiche, ottenute tramite la crescita epitassiale di un’eterostruttura di
AlGaAs/GaAs. Lo spessore di ciascuna buca, corrispondente allo strato di GaAs, `e di circa ' 20nm paragonabile allo spessore della lega di AlGaAs che separa e definisce le due buche. A una distanza dell’ordine di ' 100nm, sopra e sotto le buche quantiche, viene posto del silicio drogato grazie al quale `e possibile indurre una densit`a di elettroni n' 1.5 × 1011 cm2 in eccesso nella sottobanda pi`u bassa di
ciascun pozzo quantico. La temperatura di Fermi `e di circa TF = 60 K. Contatti di
gate indipendenti su entrambi i pozzi quantici permettono lo svuotamento selettivo di ciascuna delle due buche mentre contatti di tipo ohmico permettono l’imposizione di una corrente nello strato attivo e la misura di una differenza di potenziale nello
3.2 Gli esperimenti di Coulomb drag 49
Figura 3.1: La figura riporta la resistenza di drag RD, definita come RD = Vp/Ia =
−ρD(L/W ) con ρD, dove ρD `e la transresistivit`a introdotta in Eq. (3.2) ed L e W
sono le lunghezze rispettivamente longitudinale e trasversale delle buche quantiche. Tale convenzione `e coerente con il segno positivo della resistenza riportata, poich`e i portatori in entrambi gli strati sono elettroni. La resistenza di drag RD`e riportata in
funzione della temperatura, nel regime di basse temperature (T /TF . 0.1) e mostra
un comportamento quadratico. L’inserto rappresenta schematicamente le doppie buche quantiche. L’immagine `e stata adattata dalla Ref. [32].
Figura 3.2: Nel pannello (a) `e rappresentato un disegno e un’immagine al micro- scopio ottico del DLG usato per le misure di resistivit`a di drag. Nei pannelli (b) e (c) esemplificano gli effetti che i potenziali VBG e VTL hanno sulla densit`a degli
elettroni. Immagine adattata dalla Ref. [37].
strato passivo. Un esempio di misura di transresistenza di drag `e dato nel pannello della Fig. 3.1: la resistenza di drag riportata nel regime di bassa temperatura, esibisce un comportamento circa quadratico nella temperatura stessa.
Nell’esperimento di Kim et al. [37], il doppio strato di grafene, in sigla DLG1
acronimo dell’inglese “Double Layer Graphene”, (cfr. Fig. 3.2), `e stato fabbrica- to deponendo uno dei due strati di grafene al di sopra di un frammento di SiO2,
242 K 166 K 2 5 2 3 4 0 2 -1 0 1 81 K -2 nB (10 11 /cm 2 ) nB (10 11 /cm 2 ) nB (10 11 /cm 2 ) 0 -3 -2 2 4 0 -2 -4 nT(1011/cm2) -4 -2 (Ω) nT(1011/cm2) -5 -4 4 2 0 -2 -4 -2 0 2 4
Figura 3.3: In figura `e riportata, sotto forma di mappa di colore, la resistivit`a didragsperimentale ρD in funzione della densit`a di portatori nT ed nB nello strato,
rispettivamente, alto e basso. I tre diversi pannelli si riferiscono alle tre temperature (T = 81, 166, 242 K) alle quali sono state effettuate le misure. L’immagine `e stata presa dalla Ref. [37].
spesso ' 280 nm, a sua volta fatto crescere su un substrato di Silicio fortemente drogato. Questo primo strato di grafene `e stato modellato in una barra di Hall, alla quale sono stati imposti dei contatti ohmici. La prima barra di Hall `e stata quindi sovrastata da uno strato di Ossido di Alluminio Al2O3 dello spessore di circa
' 7.5 nm, accresciuto mediante ALD - acronimo dell’inglese “Atomic Layer Deposi- tion”. La natura isolante di Al2O3 impedisce il tunneling elettronico, come richiesto
negli esperimenti di Coulomb drag . `E stata infine sagomata una barra di Hall, a contatto con lo strato di Al2O3. Il dispositivo appena descritto `e rappresentato nel
pannello (a) della Fig. 3.2. Con riferimento alla medesima figura, i due potenziali VTL e VBG hanno il ruolo di controllare in maniera indipendente le une dalle altre,
le densit`a di portatori all’interno dei due fogli di grafene, come `e schematicamente illustrato nei pannelli (b) e (c). Una fotografia al microscopio ottico della geometria e dei contatti `e data nel pannello pannello (a) della Fig. (3.2). La transresistivit`a `e stata determinata facendo passare una corrente nello strato basso e misurando una differenza di potenziale nello strato alto. Variando i potenziali di gate VTL e
VBG e quindi le densit`a di elettroni nT ed nB `e stata determinata la transresistivit`a,
riportata in Fig. 3.3. Notiamo che il segno della resistivit`a didrag`e consistente con le considerazioni fatte nella Sez. 3.1. Inoltre il modulo della resistivit`a di drag non dipende dal segno relativo della carica dei portatori. Questa `e una diretta conferma della simmetria delle bande rispetto ai punti di Dirac all’interno del modello MDF. La distanza inter-strato e gli impulsi di Fermi esplorati collocano l’esperimento in un regime di accoppiamento intermedio (dkF ' 1).
L’esperimento di Gorbachev et al. [38] si basa sull’uso di hBN come barriera isolante tra i due strati di grafene. Pochi monostrati atomici (' 3) di hBN per-