1.6 Produzione e caratterizzazione del grafene
1.6.2 Caratterizzazione del grafene
La deposizione del grafene su un materiale isolante, per esempio l’Ossido di Silicio (SiO2), permette la visualizzazione ottica, dovuta all’interferenza tra l’onda riflessa
dal grafene e quella proveniente dal substrato. Il contrasto dipende dal numero di strati che compongono il frammento, come `e possibile osservare nel pannello a) della Fig. 1.10. La caratterizzazione del numero di strati pu`o essere effettuata mediante il microscopio a forza atomica che permette di ricostruire il profilo di altezza dei frammenti. Un’altra importante tecnica atta a testare la qualit`a del singolo strato di grafene `e lo scattering inelastico di luce: la spettroscopia Raman - vedi pannello (b) in Fig. 1.10 - in particolare `e uno strumento potente sia per isolare i singoli strati e sia per saggiare la purezza del grafene stesso.
Figura 1.10: Nel pannello (a) riportiamo un’immagine al microscopio ottico di diversi multistrati di grafene. Il contrasto cresce con il numero di strati. Nel pannello (b) `e invece riportata l’evoluzione dello spettro Raman del multistrato di grafene fino allo spettro caratteristico del singolo strato. L’Immagine `e stata presa dalla Ref. [16].
Capitolo 2
Il trasporto di Boltzmann dc
all’interno del singolo strato di
grafene
2.1
Introduzione
La teoria del trasporto di Boltzmann `e uno strumento utile per calcolare come si distribuiscono gli elettroni nello spazio delle fasi di un metallo in presenza di campi esterni, disomogenit`a spaziali e termiche e centri diffusori. Nel seguito presentere- mo tale teoria, specializzandola al caso del grafene fortemente drogato. L’oggetto di maggiore interesse `e la distribuzione degli elettroni fs(p, r) dove s `e l’indice di banda
(s = +1 per la banda di conduzione ed s =−1 per la banda di valenza) e (p, r) rap- presenta un punto nello spazio delle fasi 4-dimensionale. Ad ogni punto nello spazio delle fasi `e associato un volume infinitesimo dΩr,p = (∆p∆x/2π~)2 definito in modo
tale da contenere tanti stati quantistici (dΩr,p 1) e un elevato di particelle che
sia molto minore del numero totale di particelle ma al contempo molto maggiore di 1; inoltre, le scale ∆p e ∆x devono essere pi`u piccole delle altre scale del problema. Come osservato nella Ref. [17], una trattazione in termini di singola funzione di Blo- ch non `e adeguata in quanto, a causa del principio di indeterminazione, porterebbe a una completa delocalizzazione della funzione d’onda. L’elemento di volume spa- ziale dello spazio delle fasi associato alla posizione sarebbe quindi indefinito. Senza perdita di generalit`a, `e possibile per`o trattare la funzione d’onda elettronica come un pacchetto d’onda, le cui componenti sono funzioni d’onda di Bloch con impulsi definiti in un piccolo intervallo di modulo ∆k intorno a k. Infatti se ∆k ' 1/∆r il volume nello spazio delle fasi `e ben definito. Inoltre `e necessario che ∆r l dove l `e il cammino libero medio.`E contemporaneamente necessario che il volume dello spazio delle fasi sia molto pi`u piccolo del cammino libero l del materiale in esame, ovvero dello spazio in cui il pacchetto d’onda elettronico preserva il suo impulso k senza collidere con imperfezioni del cristallo. Osservando infine che la massima indeterminazione in impulso `e data dall’impulso stesso dell’elettrone, la condizione
30 grafene di validit`a della descrizione in termini di pacchetti d’onda `e riassumibile in
1 k 1 ∆k ' ∆r l oppure λ = 2π k l (2.1)
dove λ `e la lunghezza d’onda di de Broglie.
Se la trattazione mediante pacchetti d’onda `e valida, la dinamica degli elettroni `e descritta da equazioni del moto canoniche semiclassiche. In presenza di un campo elettrico E e magnetico H costanti e uniformi, dalla Ref. [18] riportiamo le equazioni del moto semiclassiche
˙r =vsk= 1 ~ ∂εsk ∂k ˙k =F /~ = −e ~ E+1 cvsk× H (2.2)
dove vsk `e la velocit`a di gruppo degli elettroni appartenenti a una data banda s.
Per il grafene, all’interno del modello MDF descritto nella sezione 1.2.3, s = +1 rappresenta la banda di conduzione mentre s =−1 la banda di valenza. L’evoluzione degli strati elettronici descritti dalle equazioni semiclassiche in Eq. (2.2) `e confinata a una data banda e nessuna transizione inter-banda `e permessa. Se il livello di Fermi `e |εF| ' 0 l’interferenza tra stati quantistici appartenenti a bande diverse diventa
importante. La dinamica semiclassica `e inadeguata a carpire tali effetti; pertanto nel presente lavoro ci limiteremo ad analizzare grafene fortemente drogato. A causa del teorema di Liouville una superficie nello spazio delle fasi evolve preservando il suo volume o, in altri termini, dΩr,k non dipende dal tempo. In assenza di
collisioni il numero di elettroni racchiuso in tale volume rimane costante. Pertanto la distribuzione di elettroni nello spazio delle fasi fs(k(t), r(t), t) non dipende dal
tempo ovvero vale 0 = d dtfs(k(t), r(t), t) = ∂fs ∂t + vk· ∂fs ∂r + F · 1 ~ ∂fs ∂k. (2.3)
La precedente `e l’equazione di Liouville.
In generale bisogna tener conto del flusso netto di elettroni all’interno del volume dΩr,k dello spazio delle fasi dovuto all’interazione elettrone-elettrone, all’interazione
elettrone-reticolo mediata dai fononi e all’interazione degli elettroni con impurezze esterne. Trascurando i primi due meccanismi si ricava
∂fs ∂t + vp· ∂fs ∂r + F 1 ~ · ∂fs ∂k =Isk{f} (2.4) con Isk{f} = X s0={±1} Z Sd2k0 (2π)2 [fs0(k 0 )(1− fs(k))Ws0k0→sk − fs(k)(1− fs0(k0))Wsk→s0k0]. (2.5)
2.1 Introduzione 31
L’Eq. (2.4) `e l’equazione di Boltzmann per il gas di elettroni che interagisce con un sistema di impurezze esterne. Il termine di destra dell’equazione di Boltzmann, esplicitato in Eq. (2.5), `e noto in letteratura come integrale di collisione. Esso quan- tifica il flusso netto di elettroni attraverso il volume Sd2k/(2π)2 dello spazio delle
fasi. Infatti fs(k) `e il numero medio di stati iniziali occupati in banda s con vettore
d’onda k, 1− fs(k) `e il numero medio di stati finali liberi in banda s con vettore
d’onda k e Wsk→s0k0 rappresenta la probabilit`a per unit`a di tempo di transire da uno
stato sk verso uno stato a impulso s0k0 a causa dell’urto con le impurezze. Risulta
quindi evidente che il primo termine tra parentesi quadre in Eq. (2.5) rappresenta il numero di elettroni che, in media e nell’unit`a di tempo, entra nel volume dΩr,k a
causa di urti con le impurezze; mentre il secondo termine rappresenta il numero di elettroni medio e per unit`a di tempo, uscente da tale volume.
Considerato che l’IC agisce solo sugli impulsi della distribuzione elettronica, ne de- riva la trascurabilit`a del numero di elettroni che nell’unit`a di tempo, a causa delle collisioni con le impurezze, si spostano da un punto r a un punto r0. Tale approssi-
mazione `e giustificata dal fatto che le transizioni k → k0 degli elettroni avvengono
in tempi caratteristici molto piccoli, tali da non permettere all’elettrone di cambiare sensibilmente la sua posizione durante l’urto. Le impurezze non sono quindi tali da rompere l’invarianza traslazionale del sistema. In assenza di inomogeneit`a spaziali esterne, indotte sulla funzione di distribuzione, l’integrale sulla variabile spaziale dello spazio delle fasi `e il fattore S in Eq. (2.5).
La probabilit`a di transizione per unit`a di tempo `e invariante per inversione della coordinata temporale e dunque vale Wsk→s0k0 = Ws0k0→sk. Tale tasso di probabilit`a
`e dato, al prim’ordine nella teoria delle perturbazioni, dalla regola d’oro di Fermi Wsk→s0k0 = 2π
~ | hs
0
k0| ˆHimp|ski |2δ(εsk− εs0k0). (2.6)
Nel seguito assumeremo disordine scalare che accoppia linearmente con la densit`a elettronica. L’Hamiltoniano di interazione pertanto `e
ˆ Himp = S1 P qnˆqV (imp) ext (−q) Vext(imp)(q) = F (q)v (ext) imp (q) (2.7)
dove abbiamo indicato con
F (q) =X
i
e−iq·Ri (2.8)
il fattore di struttura associato alla distribuzione delle impurezze, assunte puntiformi e ognuna centrata in Ri. Inoltre v(imp)ext (q) `e la trasformata di Fourier 2D appartenente
al piano del grafene
vext(imp)(q) =
Z
d2re−q·rvext(imp)(r). (2.9)
Nel seguito assumeremo che le impurezze siano distribuite casualmente all’interno di un piano parallelo al foglio di grafene in esame. Questo implica che il fattore di
32 grafene
struttura in Eq. (2.8) `e tale che 1 S2F (−q)F (q) = Nimp S2 + Nimp(Nimp− 1) S2 δq,0 (2.10)
dove Nimp = nimpS `e il numero di impurezze all’interno di una data superficie S.
Il secondo termine in Eq. (2.10) `e non nullo solo se k = k0, cio`e per transizio-
ni elettroniche che non modificano l’impulso dell’elettrone. Queste transizioni non possono contribuire alle propriet`a di trasporto perch´e non alterano la distribuzio- ne di equilibrio. Nel seguito ogni qual volta useremo l’Eq. (2.10) ometteremo il secondo addendo. L’espressione dell’operatore densit`a di singola valle che compare nell’Hamiltoniano (2.7) `e stata ricavata, in seconda quantizzazione, in Eq. (1.59). La presenza di due valli sar`a tenuta in conto nel seguito mediante il fattore di de- genarazione gv = 2 e le eventuali transizioni intervalle saranno trascurate. Anche
l’indice di spin verr`a omesso in quanto assumeremo che i modelli di disordine in- vestigati non influenzino l’evoluzione temporale di questo grado di libert`a (nessuno spin flip). La presenza dei due stati di spin a fissato k all’interno della prima ZB sar`a tenuta in conto mediante la degenerazione gs = 2.
La probabilit`a di transizione in Eq. (2.6) da uno stato |ii = c†sk|0i a uno stato |fi = c†s0k0|0i `e data da
Wf i= πnimp ~S |v (imp) ext (|k − k 0 |)|2(1 + ss0cos θkk0)δ(εsk− εs0k0). (2.11)
Sostituendo il tasso di probabilit`a all’interno dell’integrale collisionale in Eq. (2.5) per una data banda s e passando a coordinate polari per l’integrazione sulla prima zona di Brillouin, per la singola banda s si ricava
Isk{f} = nimp 4π~2v F X s0={±1} Z 2π 0 dθk0 Z +∞ 0 dk0 k0|vext(imp)(q)|2[δ(s|k| − s0|k0|)] × × (1 + cos θkk0) [f0 s(k 0 )− fs(k)] = = nimpk 4π~2v F Z 2π 0
dθk0|vext(imp)(q)|2| [fs(k0)− fs(k)] (1 + cos θkk0). (2.12)
Nella prima riga abbiamo usato l’identit`a δ(s~vF|k|−s0~vF|k0|) = δ(s|k|−s0|k0|)/(~vF);
nella seconda riga, l’integrazione impone s = s0,
|k| = |k0
| e quindi |k − k0
| = q = √
2kp1 − cos(θkk0).