3.7
Risultati numerici
In questa sezione presenteremo i nostri risultati numerici originali per la resistivit`a didragin Eq. (3.2) ad arbitrarie temperature [43]. Come evidente dalla formula in Eq. (3.34) i due oggetti di interesse per il calcolo delle resistivit`a didrag sono le conduttivit`a intra-strato σ1 e σ2, la cui espressione generale `e data in Eq. (2.19), e
la conduttivit`a di drag σD che invece `e scritta in Eq. (3.50).
Il calcolo della conduttivit`a di singolo strato `e gi`a stato presentato in maniera esaustiva nel corso del secondo capitolo, al variare di un ampio numero di parame- tri e per impurezze di diversa natura. Ci`o che qualitativamente cambia rispetto al singolo strato sono le propriet`a di schermo dovute al DLG. Come trattato nella Sez. 3.5 gli effetti di schermo del DLG su un potenziale esterno statico sono radicalmente diversi rispetto a quelli dovuti al singolo strato. Per esempio il potenziale di una carica posta come descritto in Fig. (3.5) `e avvertito dagli elettroni dello strato ` = 1 come in Eq. (3.26) mentre `e avvertito dagli elettroni dello strato ` = 2 come in Eq. (3.27). Le due espressioni tendono all’interazione schermata dal singolo strato solo nel limite in cui la distanza inter-strato `e infinita - vedi Eq. (3.28) -, ovvero quando la perturbazione della densit`a di portatori indotta in uno strato non pu`o pi`u essere avvertita dal secondo strato.
Per determinare le conduttivit`a di singolo strato e la transconduttivit`a limitate da impurezze cariche, `e necessario calcolare il tempo di trasporto τ`(k) inserendo,
all’interno dell’Eq. 2.25 le interazioni elettrone-impurezza in Eq. (3.26) e (3.27). Contraddistingueremo la resistivit`a di drag cos`ı calcolata con il simbolo (CS) acro- nimo dell’inglese ”Charged Scatterers“.
Un altro modello di disordine che useremo sar`a quello delle impurezze a corto raggio localizzate all’interno degli strati di grafene. Contraddistingueremo tale modello con la sigla (SRS) acronimo dell’inglese ”Short range scatterers “.
Calcoleremo anche la resistivit`a di drag dovuta alla compresenza dei due meccani- smi, il cui tempo di trasporto `e dato dalla regola di Mattiessen ed `e riportato in Eq. (2.41). Indicheremo la resistivit`a cos`ı calcolata mediante l’apice (TOT).
Considereremo inoltre la resistivit`a didrag ρD calcolata mediante un tempo di tra-
sporto costante. Questa assunzione per il tempo di trasporto `e la cosiddetta RTA acronimo dell’inglese ” Relaxiation Time Approximation“, usata nella Ref. [44].
Abbiamo deciso di confrontare i dati sperimentali di bassa temperatura tratti dalla Ref. [37] con la formula analitica tratta dalla Ref. [42] e riportata in Eq. 3.58, variando 2 come parametro di fit. In Fig. 3.7 la transresistivit`a T = 81.0 K come
funzione della densit`a elettronica n1 = n2 ≡ n. I cerchi verdi vuoti sono i dati
sperimentali. La curva che meglio descrive i dati sperimentali `e 2 = 4.0, in buon
accordo con le misure capacitive del campione [37]. Fisseremo inoltre la distanza tra i due strati essere d = 7.5 nm [36, 37].
Per calcolare la resisistivit`a di drag in Eq. 3.34 `e necessario valutare a diversi vettori d’onda q e frequenze ω, la conduttivit`a di drag definita in Eq. (3.50). Note le espressioni per le suscettibilit`a non lineari in Eq. (3.80) e (3.81), l’integrale angolare
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 T /TF −1.5 −1.0 −0.5 0.0 ρD [Ω] (a) Carrega et al. ρ(RTA)D ρ(SRS)D ρ(CS)D (a) 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 T /TF −1.0 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 ∆ ρD [Ω] (b) ∆ρRT A ∆ρSRS ∆ρCS (b)
Figura 3.8: Nel pannello a) riportiamo la resistivit`a di drag ρD[Ω] in funzione della
temperatura in unit`a della temperatura di Fermi TF. La distanza tra i due strati `e
stata fissata a d = 7.5 nm e le costanti dielettriche a 1 = 1.0 , 2 = 4.0 ed 3 = 3.8.
La figura mostra chiaramente che nel regime di bassa temperatura la transresistivit`a `e indipendente dalla natura delle impurezze. Abbiamo usato diversi tempi di tra- sporto: un tempo di trasporto costante, corrispondente all’approssimazione RTA; un tempo di trasporto corrispondente alle impurezze a corto raggio non schermate (SRS) in Eq. (2.34); un tempo di trasporto corrispondente ad impurezze cariche schermate dal DLG (cfr. Eq. 2.29). Tutti questi modelli tendono alla predizione analitica di bassa temperatura in Eq. (3.58), nel limite T → 0. Nel pannello b) riportiamo ∆ρ(imp)D [Ω] definita in Eq. (3.82). La differenza tra i modelli di disordine comincia ad emergere intorno a T ' 0.1TF.
in ˆq pu`o essere effettuato in maniera analitica. La conduttivit`a di drag rimane quindi definita da un integrale in due dimensioni sul modulo del vettore d’onda|q| e sulla frequenza ω. Tale integrale `e stato da noi valutato e verificato numericamente.7
Per semplicit`a di trattazione supporremo che entrambi gli strati siano drogati n. Tutti i risultati possono essere estesi al caso di drogaggio di tipo p.
Innanzitutto abbiamo voluto confrontare i nostri risultati numerici con la predizione analitica in Eq. (3.58) valida per basse temperature, kBT ε1, ε2. Come abbia-
mo gi`a avuto modo di osservare l’Eq. (3.58) ha una dipendenza quadratica dalla temperatura e, inoltre, `e totalmente indipendente dallo specifico meccanismo di im- purezza. Un’importante conferma di questa predizione `e riportata nei pannelli (a) e (b) della figura Fig. 3.8, dove la transresistivit`a ρD `e mostrata in funzione della
temperatura ( in unit`a della temperatura di Fermi TF).
I diversi simboli usati nel pannello (a) rappresentano diversi meccanismi di di- sordine. La linea nera invece `e stata ottenuta mediante la predizione analitica in Eq. (3.58). Nel limite T → 0 di temperatura nulla tutti i risultati numerici convergono alla predizione analitica.
7Un codice di integrazione numerica scritto in FORTRAN e velocizzato utilizzando librerie
3.7 Risultati numerici 75 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 T /TF −300 −250 −200 −150 −100 −50 0 ρ (SRS) D [Ω] d = 7.5nm d = 15.0nm d = 30.0nm
Figura 3.9: La resistivit`a di drag in funzione della temperatura T /TF. In questo
calcolo abbiamo usato in entrambi gli strati impurezze a corto raggio (SRS), model- lizate dal tempo di scattering in Eq. (2.34). Utilizzando impurezze a corto raggio la transresistivit`a non ha parametri liberi. Infatti il parametro libero n(srs)V2
0, tipico
delle impurezze a corto raggio, si elide esattamente. La figura mostra l’evoluzione della resistivit`a di drag in un ampio intervallo di temperature, fino a T ' 2.5TF. Le
diverse curve si riferiscono a diverse distanze inter-strato d. La linea verde (tratti) si riferisce a d = 7.5nm, la linea rossa (punti) identifica d = 15.0nm mentre la linea blu (tratti e punti) `e d = 30.0nm. Le costanti dielettriche usate sono le stesse di quelle usate in Fig. 3.7: 1 = 1.0, 2 = 4.0 ed 3 = 3.8
Le deviazioni rispetto all’andamento T2 diventano evidenti intorno a T /T
F ' 0.2,
dopo il quale valore il contributo `e bene visibile. Per distinguere meglio il contributo di ciascun modello di trasporto abbiamo definito ∆ρ(α)d
∆ρ(α)D ≡ ρ(α)D − ρ(0)D (3.82)
dove ρ(0)D rappresenta l’ Eq. (3.58) mentre ρ(α)D identifica la natura dei meccanismi di disordine usati nel pannello (a) della Fig. 3.8. Questa quantit`a `e mostrata al pannello (b) della Fig. 3.8 dove `e possibile osservare che sostanziali differenze ri- spetto al caso di bassa temperatura sono riscontrabili in corrispondenza e aldil`a di T /TF ' 0.1.
In Fig. 3.9 consideriamo la resistivit`a didragdovuta soltanto alle impurezze a cor- to raggio. La resistivit`a `e stata qui calcolata mediante il tempo di trasporto in Eq. (2.34). L’unico parametro che entra all’interno del calcolo `e n(`)srs e ha un ruo-
lo fondamentale nel determinare la conduttivit`a intra-strato come per esempio `e possibile verificare in Fig. 2.5. Ad ogni modo, se si considera la definizione della transresistivit`a in Eq. (3.34) e l’espressione della transconduttivit`a σD - che in essa
compare - in Eq. (??), `e immediato verificare che tale costante si elide. La resistivit`a didrag ρ(SRS)D non dipende da tale costante.
In Fig. 3.9 mostriamo la transresistivit`a in un ampio intervallo di temperatu- re, fino a T ' 2.5TF, al variare della distanza inter-strato d. `E possibile osservare
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 T /TF −30 −25 −20 −15 −10 −5 0 ρ (CS) D [Ω] zimp= 0.6 nm zimp= 6.0 nm zimp= 30.0 nm (a) 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 T /TF −50 −40 −30 −20 −10 0 ρ (R T A) D [Ω] Full RPA Static screening c) (b)
Figura 3.10: Nel pannello (a) di questa figura la resistivit`a di drag `e determinata dall’uso di impurezze Coulombiane schermate dal DLG e posizionate come in Fig. 3.5. La figura rappresenta la resistivit`a di drag in funzione della temperatura in unit`a della temperatura di Fermi TF. I parametri sono identici a quelli usati in Fig.
3.7: la distanza inter-strato `e d = 7.5 nm, le costanti dielettriche sono 1 = 1.0,
2 = 4.0 ed 3 = 3.8. Le diverse curve si riferiscono all’unico parametro rimasto
libero, ovvero la distanza del piano carico zimp dallo strato basso ` = 2. La curva
rossa (punti) corrisponde a zimp = 0.6 nm, quella blu (punti e tratti) a zimp = 6.0 nm
e quella verde (tratti) a zimp = 30.0 nm. Nel pannello b) abbiamo confrontanto
l’approssimazione RPA con la cosiddetta ” Static screening approximation“ usando un tempo di trasporto costante per entrambi gli strati. Gli altri parametri sono stati scelti uguali a quelli della Fig. 3.7
.
mento quadratico a temperature molto basse (T /TF 0.1) la trasresistivit`a sale e
sviluppa un minimo in corrispondenza di T ' 1TF seguito da un andamento decre-
scente. Questo minimo dipende dalla presenza dei plasmoni di Dirac del DLG, la cui natura `e stata delucidata nella Sez. 3.5. Notiamo che l’ampiezza e la posizione del minimo dipendono dalla distanza tra gli strati d. In particolare T(min)- temperatura
alla quale si riscontra il minimo della transresistivit`a - `e direttamente proporzionale (circa lineare) alla distanza d. Nel pannello (a) della Fig. (3.10) consideriamo una diversa fonte di disordine, costituita da impurezze cariche situate nel substrato (vedi la linea verde in Fig. 3.5). Anche in questo caso la transconduttivit`a `e indipendente dalla densit`a di impurezze ma compare un ulteriore parametro libero, ovvero zimp,
la distanza tra lo strato ` = 2 e il piano carico (vedi la Fig. 3.5): all’aumentare della distanza del piano carico zimp la transresistivit`a aumenta.
In Fig. 3.10 (b) `e riportata la transresistivit`a calcolata mediante un tempo di trasporto costante (RTA). Abbiamo confrontato la transresistivit`a ottenuta median- te lo schermo dinamico dell’interazione inter-strato - vedi Eq. (3.30) -, con quella ottenuta mediante lo schermo statico U12(q, ω) → 0). Quest’ultima, essendo una
3.7 Risultati numerici 77 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 T /TF −300 −250 −200 −150 −100 −50 0 ρD [Ω] ρ(CS)D ρ(SRS)D ρ(TOT)D
Figura 3.11: La resistivit`a di drag come funzione della temperatura misurata in unit`a della temperatura di Fermi TF. In questa figura confrontiamo diversi modelli
di tempo di trasporto per l singolo strato. La linea rossa (punti) indica il caso di impurezze cariche (CS), con zimp = 0.6 nm come nel pannello (a) della Fig. 3.10,
la linea arancione (tratti e punti) tiene in considerazione entrambi i meccanismi di disordine. In quest’ultima curva abbiamo fissato il rapporto tra la densit`a di impurezze a n`
srs/ncs` = 0.4 per entrambi i fogli. Gli altri parametri sono identici a
quelli della Fig. 3.7.
.
tanto il contributo dei plasmoni del DLG alla resisistivit`a di drag. Il nostro risultato `e in accordo con quello ricavato alla Ref. [44]. La Fig. 3.11 `e un’analisi comparativa tra diversi modelli di disordine. La linea blu tratteggiata si riferisce alle impurezze a corto raggio (SRS) mentre la linea rossa punteggiata `e stata ottenuta utilizzando impurezze cariche (CS) poste a zimp= 0.6 nm. Si noti come la conduttivit`a limitata
da impurezze a corto raggio sviluppi un minimo molto pronunciato che si discosta di circa un fattore ' 10 rispetto a quello delle impurezze cariche. Inoltre nella mede- sima figura `e riportato un calcolo della resistivit`a didragutilizzando la compresenza delle impurezze (TOT). Per analizzare la compresenza delle impurezze abbiamo usa- to zimp = 0.6 nm e il rapporto tra la densit`a di impurezze n(SRS)` /n
(CS)
` = 0.4 - come
usato alla Ref. [21] -.
In Fig. 3.12 abbiamo confrontato alcuni dei meccanismi di disordine discussi fi- no ad ora con i dati sperimentali tratti da Kim et al. [37]. Mostriamo infatti la resisistivit`a didragρD a temperatura fissata al variare della densit`a di elettroni in
eccesso nei due strati n1 = n2 ≡ n. Consideriamo due temperature: nel pannello
(a) della Fig. 3.12 abbiamo fissato T = 166.0 K, mentre in Fig. 3.12 T = 242.0 K. I dati sperimentali corrispondono alla diagonale della mappa di colore riportata in Fig. (3.3) e sono qui rappresentati mediante cerchi verdi vuoti. I triangoli rossi rap- presentano impurezze cariche poste a zimp= 0.6 nm, e i quadrati blu rappresentano
impurezze a corto raggio. In entrambi i pannelli abbiamo rappresentato anche la predizione analitica di Carrega et al. [42] -cfr. 3.58 -. `E possibile osservare come entrambe le predizioni, sia quella tipica del liquido di Fermi di bassa temperatu- ra che quella di alta temperatura al variare dei diversi meccanismi di scattering,
1 2 3 4 5 6 7 n[1011cm−2] −40 −35 −30 −25 −20 −15 −10 −5 0 ρD [Ω] T = 166 K Kim et al. Carrega et al. ρ(CS)D ρ(TOT)D ρ(SRS)D (a) 1 2 3 4 5 6 7 n[1011cm−2] −40 −35 −30 −25 −20 −15 −10 −5 0 ρD [Ω] T = 242 K Kim et al. Carrega et al. ρ(CS)D ρ(TOT)D ρ(SRS)D (b)
Figura 3.12: Confronto con i dati sperimentali tratti dalla Ref. [37]. Riportiamo la resistivit`a di drag a temperatura fissata in funzione della densit`a di elettroni in eccesso n = n1 = n2 nell’intervallo di densit`a tra n = 1· 1011− 8 · 1011 cm2. Nel
pannello (a) mostriamo i dati a T = 166 K mentre nel pannello (b) T = 242 K. I parametri sono stati scelti uguali a quelli della Fig. 3.7. I dati sperimentali sono rappresentati in verde. I simboli sono risultati numerici per la resistivit`a di drag: i triangoli rossi corrispondono ad impurezze cariche (CS), i quadrati blu rappresentano impurezze a corto raggio (SRS) e i rombi arancioni rappresentano la combinazione delle due impurezze (TOT). Abbiamo fissato la distanza del piano carico zimp =
0.6 nm2 e il rapporto tra la densit`a di impurezze pari a n(`)
srs/n(`)cs = 0.4
deviano dai dati sperimentali di Kim et al..[37] Queste deviazioni diventano molto pronunciate quando T /TF cresce. In particolare, come `e evidente dalla figura, tutti
i contributi sovrastimano la transresistivit`a. Questa discrepanza `e ad ogni modo confinata al regime di basse densit`a dove, come abbiamo evidenziato nel Capitolo 2, la teoria del trasporto di Boltzmann tende ad essere inaccurata perch`e trascura effetti di coerenza elettrone-buca in entrambi i fogli.
Conclusioni
In questo elaborato abbiamo dato un significativo contributo [43] alla fisica del ‘Cou- lomb drag’ (attrito o frizione di Coulomb) tra doppi strati di grafene. Abbiamo ope- rato all’interno della teoria semiclassica del trasporto di Boltzmann e dell’approssi- mazione RPA (‘Random Phase Approximation’) per l’interazione elettrone-elettrone inter-strato. Per investigare il ruolo che il disordine ha a temperatura finita `e stato necessario implementare codici numerici per il calcolo della conduttivit`a intra-strato (Capitolo 2) e per la trasconduttivit`a di drag (Capitolo 3). Questo ha consentito di ottenere alcuni risultati originali di seguito indicati.
Abbiamo confermato, mediante analisi numerica, la predizione analitica di Car- rega et al. [42] secondo la quale la transresistivit`a di drag, alle basse temperature e ad alte densit`a di portatori (regime di liquido di Fermi normale), `e totalmente indipendente dal grado di disordine e dalla sua natura (corto versus lungo raggio).
Abbiamo effettuato uno studio sistematico della transresitivit`a al variare della natura del disordine nella regione di alte temperature (T /TF ' 1).
Abbiamo quantificato il ruolo dei plasmoni, ottico ed acustico, nella dipendenza dalla temperatura della transresistivit`a di drag.
Abbiamo inoltre confrontato la teoria di alta temperatura da noi sviluppata con i dati sperimentali di Kim et. al. [37]: Questo confronto ha dimostrato chiaramente che, ad ogni temperatura studiata, tutti i vari meccanismi di disordine considerati portano la transresistivit`a di drag calcolata teoricamente verso i dati sperimentali. Quest’ultima `e un’ulteriore conferma dell’indipendenza della transresistivit`a di drag, dalla natura del disordine, quando i due strati di grafene sono nel regime di liquido di Fermi normale. Abbiamo riscontrato per contro un vistoso discostamento dei dati sperimentali dalla teoria di alta temperatura al decrescere della densit`a di portatori. Tale discostamento pu`o essere imputato, a nostro avviso, a diverse cause.
I meccanismi di disordine da noi considerati (impurezze a corto raggio ed impu- rezze a lungo raggio di natura Coulombiana) non sono probabilmente i principali atti a limitare la conduttivit`a di un foglio di grafene su substrato. Questa eventualit`a `e peraltro emersa all’ interno del secondo capitolo, dall’analisi di alcuni meccanismi di trasporto d.c.. L’inclusione di altri meccanismi di disordine, come i fononi del substrato e le ripples potrebbero portare ad un notevole miglioramento nel confron-
to teoria-esperimento.
Inoltre la teoria di Boltzmann da noi utilizzata `e accurata per studiare campioni di grafene per i quali il cammino libero medio sia molto maggiore della lunghezza d’onda dell’elettrone. A riguardo `e probabile che, indipendentemente dalla natura del disordine, questa circostanza non si sia verificata all’interno dei campioni da noi presi in considerazione.
Una possibile strada per migliorare l’accordo teoria-esperimento potrebbe essere quello di raffinare l’interazione elettrone-elettrone inter-strato andando oltre la teoria perturbativa al secondo ordine e/o oltre l’approssimazione di schermo RPA.
Appendice A
Calcoli relativi al Cap. 1
A.1
Semplificazione della formula
In questa sezione faremo uso delle seguenti identit`a 1 1 + x = +∞ X n=0 (−1)nxn se x > −1 (A.1) Li2(x) = +∞ X n=0 xn n2 (A.2)
Mediante il cambio di variabile ε → −ε nell’integrale corrispondente al secondo addendo in Eq. (1.31) si ricava
δn(µ, T ) = Z +∞ 0 dεν(ε) 1 e(ε−µ)/(KBT )+ 1 − Z +∞ 0 dεν(ε) 1 e(ε+µ)/(KBT )+ 1. (A.3)
Utilizzando l’espressione per la densit`a di stati in Eq. (1.26) e passando a variabili adimensionali
x = ε/(KBT ) e y = µ/(KBT ),
l’Eq. (A.3) diventa
δn(µ, T ) = 2(KBT )
2
π(~vF)2
[I(y) − I(−y)] . (A.4)
Nell’Eq. (A.4) abbiamo introdotto I(y) =
Z +∞
0
dx x
ex+y + 1. (A.5)
Utilizzando l’espansione in serie di potenze in Eq. (A.1), l’integrale in Eq. (A.5) diventa I(y) = +∞ X n=0 (−1)ne−(n+1)y Z +∞ 0 dx xe−(n+1)x = +∞ X n=0 (−1)ne−(n+1)y (n + 1)2 =− +∞ X n=1 (−e−y)n n2 . (A.6)
Riconoscendo nell’ Eq. (A.6) l’espansione in Eq. (A.2) si ricava i
I(y) = −Li2(−e−y). (A.7)
Infine l’Eq. (A.3) ripristinando il potenziale chimico µ diventa δn(µ, T ) = 2(KBT ) 2 π(~vF)2 −Li 2(−eµ/(KBT )) + Li2(−e−µ/(KBT )) (A.8)
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