Risolvendo il sistema di equazioni in Eq. (3.13) si ottengono i coefficienti di Fourier, che sostituiti in Eq. (3.12), determinano il potenziale in tutto lo spazio. In particolare ci interessa osservare che l’espressione raccolta a destra della parentesi graffa in Eq. (3.12) - che indicheremo con la notazione φ(q, z, zimp) - `e la trasformata
di Fourier 2D (ovvero effettuata rispetto alla coordinata polare r) del potenziale generato da una carica posta a z =−zimp. Nello specifico, valutando φ(q, z`, zimp),
si ottiene l’interazione elettrone-impurezza Coulombiana vcs(`)(q). Ponendo Q = +e
all’interno di φ(q , z`, zimp) si ricava per i due potenziali di interazione
vcs(1)(q) =− eφ(q; d, zimp) =− 8πe2 2 qD(q)e −qzimp vcs(2)(q) =− eφ(q , 0 , zimp) =− 4πe2e−qzimp qD(q) e −qd( 2− 1) + eqd(1+ 2) , (3.14) con D(q) = e−qd(1− 2)(2− 3) + e+qd(1+ 2)(2+ 3). (3.15)
Riteniamo che il calcolo dei potenziali di interazione elettrone-impurezza vcs(`)(q) in
Eq. (3.14) sia uno dei risultati originali di questa Tesi. Osserviamo che le espressioni in Eq. 3.14, nel limite 1 = 2 = 3 = , convergono all’ espressione vcs(`)(q) =
−(2πe2)/(q)e−(z`+zimp)q del limite omogeneo.
Supponiamo di essere interessati a determinare la trasformata di Fourier 2D nei piani z costante, del potenziale generato da un elettrone posto nell’interfaccia ` = 2. Questa coincide con la funzione φ(q, z, 0) calcolata perQ = −e. Dato un elettrone nello stesso strato, l’interazione tra i due elettroni `e
V22(q) =−eφ(q, 0, 0) = 4πe2 qD(q)(2+ 1)e qd+ ( 2− 1)e−qd (3.16) dove D(q) `e stata introdotta in Eq. (3.15).
L’interazione tra gli elettroni appartenenti allo strato ` = 1 `e per simmetria deter- minata dalla sostituizione 1 ↔ 3 all’interno dell’Eq. (3.16) ovvero
V11(q) =
4πe2
qD(q)(2+ 3)e
qd+ (
2− 3)e−qd . (3.17)
L’interazione elettrone-elettrone inter-strato similmente `e V12(q) =−eφ(q, d, 0) =
8πe2
qD(q)2 (3.18)
con D(q) definita in Eq. (3.15). I risultati (3.16) e (3.18) possono essere verificati alla Ref. [39].
3.5
Approssimazione RPA per il doppio strato di
grafene
In Eq. (3.14) abbiamo ricavato l’energia di interazione tra una singola impurezza po- sta nell’origine del piano z =−zimpe un singolo elettrone posto nel piano z = z`. Le
(a) (b)
Figura 3.6: Nel pannello (a) `e riportato il contributo dei modi plasmonici, ottico (rosso) ed acustico (nero). Nella figura (b) il Landau Damping dei rispettivi modi `e quantificato all’interno del singolo strato. Queste immagini sono state tratte dalla Ref. [40]
interfacce sono in realt`a occupate da due fogli di grafene bulk che definiscono due gas MDF interagenti. Studieremo gli effetti di schermo del DLG dovuti all’interazione elettrone-elettrone all’interno della teoria della risposta lineare in approssimazione RPA. Per calcolare la matrice dielettrica del DLG seguiremo, da un punto di vista metodologico, il lavoro di Zheng et al. [41]. Dato un potenziale esterno scalare V`(q, ω) che agisce sullo strato `, il corrispondente potenziale esterno schermato
W (q, ω) `e2
W`(q, ω) = V`(q, ω) + V``0(q)δn(ind)
`0 (q, ω) (3.19)
dove δn(ind)` (q, ω) `e la perturbazione di densit`a in trasformata di Fourier indotta dal potenziale esterno nello strato ` e V``0 `e la trasformata di Fourier dell’interazione
elettrone-elettrone inter-strato (` = `0) e intra-strato (`
6= `0) che incorpora gli effetti
dell’ambiente dielettrico. Le espressioni esplicite sono state derivate in Eq. (3.18), (3.16).
La densit`a di carica indotta pu`o essere messa in relazione con il potenziale esterno V`q, ω e con il potenziale schermato V`(q, ω) mediante, rispettivamente, le funzioni
di risposta densit`a-densit`a causale (χ) e propria ( ˜χ). Per un sistema eterostrutturato la funzione di risposta densit`a-densit`a propria `e una matrice tale che
δn(ind)` (q, ω) = ˜χ``0(q, ω)W`0(q, ω) (3.20)
L’approssimazione RPA consiste nell’assumere che un gas di elettroni risponda al potenziale schermato come un gas di elettroni non interagente. Per il DLG impone
˜
χ(RPA)``0 (q, ω) = δ`,`0 χ(0)
`0 (q, ω) (3.21)
3.5 Approssimazione RPA per il doppio strato di grafene 57
Inserendo la prescrizione RPA in Eq. (3.21), all’interno dell’Eq. (3.20), l’Eq. (3.19) fornisce un’espressione tra potenziale esterno e schermato, ovvero la matrice dielettrica del DLG. Infatti valutando
(DLG)(q, ω)−1
``0 =
W`(q, ω)
V`0(q, ω) (3.22)
si ricava la matrice dielettrica
(DLG)(q, ω) −1 = 1 (q, ω) 1− χ(0)2 (q, ω)V22(q) χ(0)2 (q, ω)V12(q) χ(0)1 (q, ω)V12(q) 1− χ(0)1 (q, ω)V11(q) (3.23) con 3 (q, ω) =h1− χ(0)1 (q, ω)V11(q) i h 1− χ(0)2 (q, ω)V22(q) i − −χ(0)1 (q, ω)χ (0) 2 (q, ω)(V12(q))2. (3.24)
Facendo uso della matrice dielettrica in Eq. (3.33) `e possibile ricavare il potenziale di una carica schermata dal DLG
wcs(`)(q) = lim ω→0 (DLG)(q, ω)−1 ``0 v (`0) cs (q) (3.25)
Pi`u esplicitamente il risultato `e wcs(1)(q ) = 1 (q, 0) h 1− χ(0)2 (q, 0)V22(q) v(1)cs (q ) + χ(0)2 (q, 0)V12(q)v(2)cs (q) i (3.26) wcs(2)(q ) = 1 (q, 0) h 1− χ(0)1 (q, 0)V11(q) v(2)cs (q ) + χ(0)1 (q, 0)V12(q)v(1)cs (q) i (3.27) Osserviamo che vale il seguente limite
lim d→+∞w (`) cs ( q) = vcs(`)( q) 1− χ(0)` (q, 0)V``( q) (3.28) Quando la distanza tra i due strati diventa molto grande, l’interazione inter-strato tra gli elettroni V12(q) si annulla. In questo limite si recupera quindi lo schermo di
singolo strato ( cfr. Sez. 1.5.3). Le Eq.ni (3.26) e (3.27) rappresentano un risultato originale di questa Tesi.
Tramite la matrice dielettrica calcolata in Eq. (3.33) `e possibile determinare l’intera- zione elettrone-elettrone schermata dinamicamente a livello RPA. Questa `e definita da
U``0(q ω) =(DLG)(q, ω)
−1
ll00V`00`0 (3.29)
3L’uso della notazione (q, ω) in questo capitolo va distinto dall’analoga notazione per la
di cui `e di particolare importanza, nel contesto del Coulomb drag , il termine d’interazione inter-strato
U12(q ω) =
V12(q, ω)
(q, ω) . (3.30)
La funzione di risposta densit`a-densit`a causale χ``0(q, ω) per il DLG interagente
RPA controlla la risposta in densit`a δnind
` (q, ω) al potenziale esterno V`(q, ω).
Infatti δnind
` (q, ω) = χ``0(q, ω)V`(q, ω) che `e uguale, per definizione, alla risposta
in densit`a al potenziale schermato in Eq. (3.20). Facendo uso di questa identit`a e sfruttando le relazioni (3.22) e (3.33) `e possibile determinare
χ``0(q, ω) = χ(0)` (q, ω)δ``00(DLG)(q, ω)
−1
`00`0 (3.31)
Profumo et. al. [40] hanno caratterizzato i modi collettivi del DLG. Questo pu`o esssere effettuato studiando i poli della matrice dielettrica DLG inversa che compare in Eq. (3.33) o equivalentemente kDLG(q, ω)k = 0. Quest’ultima condizione `e
soddisfatta per (q, ω) =h1− χ(0)1 (q, ω)V11( q) i h 1− χ(0)2 (q, ω)V22( q) i − −χ(0)1 (q, ω)χ (0) 2 (q, ω)(V12( q))2 = 0. (3.32) L’Eq. (3.32) ammette due soluzioni una di alta frequenza ωop(q) nota come modo
di plasma ottico e un’altra di pi`u bassa frequenza ωac(q) corrispondente al modo
di plasma acustico. I modi collettivi plasmonici del DLG coinvolgono eccitazioni elettroniche tra stati inter-banda in ciascuno strato MDF ( ovvero le regioni B.2 e B.3 del piano raffigurato in Fig. (1.5). Il modo ottico `e associato alla risposta in fase delle densit`a elettroniche nei due strati mentre quello acustico `e associato al risposta in controfase. Per questo motivo i parametri naturali del problema sono la densit`a totale di elettroni n = (n1 + n2) e la polarizzazione di densit`a ζ = (n2 −
n1)/n. Nel pannello (a) della Fig. 3.6 riportiamo le dispersioni dei modi plasmonici,
ottico e acustico, ottenuti dalla soluzione dell’Eq. (3.32) nella condizione ζ = 0 (uguali densit`a). Nella regione di piccoli vettori d’onda `e possibile osservare le caratteristiche dispersioni ωop(q) ' √q e ωac(q) ' q, tipiche dei plasmi in due
dimensioni [7]. Quando i modi superano la linea tratteggiata invadendo il continuo elettrone-buca inter-banda ha luogo il decadimento diretto dei modi di plasma in coppie elettrone-buca (Landau damping) quantificato dal pannello (b) della Fig. 3.6. Infatti a valutazione di χ`(q, ωac,op(q)) in un generico strato (per esempio il primo)
quantifica lo smorzamento dei modi di plasma.