Analisi nel dominio della frequenza

Questa analisi è sempre a breve termine, ma è incentrata su una descrizione del fenomeno in termini di frequenza, ovvero di distribuzione in frequenza delle altezze d’onda. La descrizione del fenomeno del moto ondoso attraverso uno spettro ha lo scopo di descrivere la superficie del mare come un fenomeno stocastico, per caratterizzare tutte le possibili osservazioni che possono essere fatte sotto le medesime condizioni dell’attuale osservazione.

L’analisi ha sempre come punto di partenza una funzione ƞ(t), che rappresenta l’oscillazione della superficie del mare nel tempo, registrata da uno strumento ondametrico (Figura 16). Tale registrazione ha una durata temporale pari a D.

È possibile riprodurre esattamente questa registrazione come una somma di i–esime componenti armoniche, attraverso l’analisi in serie di Fuorier (Figura 20).

Figura 20 Scomposizione del segnale in i-esime componenti armoniche. Analisi di Fuorier (Holthuijsen 2007) Ognuna delle componenti è caratterizzata da una frequenza fi, un’ampiezza ai ed una fase ϕi;

29 ƞ!-# = . cos!2$2 - 3 4 #

Equazione 11 Rappresentazione delle componenti armoniche

L’intervallo di frequenza è dato da Δf=1/D. Attraverso l’analisi di Fourier si possono determinare i valori dell’ampiezza e della fase per ogni frequenza (Equazione 12).

55 6ƞ!-#7 → 9!2 # 3 :!2 #; Equazione 12 Trasformata di Fourier Dove:

A(fi) e la parte reale;

B(fi) e la parte immaginaria; j2=-1

A(fi) e B(fi) sono due funzioni di fi.

Si definiscono inoltre:

. <9 3 : 4 .=>-.? )_{9 *}:

Sostituendo questi valori nell’Equazione 11 e sommando tutte le equazioni acquisite si ottiene il segnale della registrazione inziale ƞ(t). Da questi valori si può comporre lo spettro per la fase e per l’ampiezza per questa registrazione.

In Figura 21 è riportato lo spettro dell’ampiezza, che rappresenta la distribuzione in frequenza delle ampiezze delle componenti armoniche del segnale. La funzione è discreta, nell’asse delle ascisse ho circa 103 _{componenti. Tra f}

i e fi+1 ho Δf, che rappresenta la risoluzione. Essa sarà

tanto più piccola quanto maggiore sarà D. Ci si ferma ad fi=10 in virtù dell’ordine di grandezza

considerato e perché le componenti sarebbero impercettibili o imputabili a semplice rumore elettrico (Cappietti A.A.2011-2012). Questo spettro fornisce già abbastanza informazioni per descrivere statisticamente l’elevazione della superficie del mare come se fosse nello stato stazionario.

30 Tuttavia per numerose ragioni è più rilevante presentare le informazioni nello spettro in un modo differente, ovvero considerando nell’asse delle ordinate la varianza, ai2/2, invece che la

semplice ampiezza. Quindi si considera lo spettro della varianza (Figura 22), invece che quello dell’ampiezza (Holthuijsen 2007).

Figura 22 Spettro della varianza (Holthuijsen 2007)

Questo grafico è piuttosto semplice e fornisce numerose caratteristiche. Tuttavia sia lo spettro dell’ampiezza che quello della varianza sono basati su frequenze discrete, per cui non possono essere rappresentativi di un fenomeno naturale.

Questo problema viene superato distribuendo la varianza su tutto l’intervallo Δfi alla frequenza

fi. In Figura 23 è mostrato il risultato di tale operazione, che è lo spettro della densità della

varianza. Sull’asse delle ordinate quindi si trova l’espressione riportata nell’Equazione 13. .

2∆2 Equazione 13

Figura 23 Spettro della densità della varianza (Holthuijsen 2007)

Questo spettro è definito per tutte le frequenze, ma è ancora discontinuo da una banda di frequenza a quelle adiacenti. Per ottenere un grafico continuo si cambia nuovamente la variabile dipendente con il limite della medesima espressione per Δf che tende a 0 (Equazione 14).

A!2# _∆E→lim _∆21 _2∆2. Equazione 14

31 In questo modo si ottiene lo spettro in frequenza (Figura 24), che fornisce una descrizione completa dell’elevazione della superficie del mare in senso statistico, a meno che possa essere visto come un processo stazionario, gaussiano. Questo implica che tutte le caratteristiche statistiche del campo d’onda possano essere espresse in termini di tale spettro (Holthuijsen 2007).

Figura 24 Funzione spettrale (Holthuijsen 2007)

La frequenza con maggiore energia è detta fp, frequenza di picco. Si ha quindi anche il periodo

di picco Tp=1/fp. Esso rappresenta il periodo significativo per l’analisi spettrale. Per aumentare

la risoluzione spettrale è necessario aumentare il periodo di registrazione D, quindi la quantità di componenti armoniche.

Dalla forma dello spettro si possono ricavare le caratteristiche delle onde del mare (Figura 25). Tanto più lo spettro è a banda stretta, quindi è limitato l’intervallo di frequenza, tanto più è regolare il moto ondoso (narrow band spectrum). Se lo spettro è stretto significa che la maggior parte delle onde hanno una frequenza vicina a fp. Quando si ha un narrow band, H1/3 e

Hm0 sono molto vicini. Quando si ha uno spettro largo significa che E(f) è diversa da zero in un

grande intervallo di frequenze, il moto ondoso ha pertanto infinite componenti, per cui è fortemente irregolare, si ha la sovrapposizione di numerose componenti armoniche (Cappietti A.A.2011-2012).

Figura 25 Correlazione tra le caratteristiche dello spettro e le caratteristiche del segnale di moto ondoso (Holthuijsen 2007)

32 La varianza utilizzata per la costruzione degli spettri ha anche un significato fisico, infatti essa è proporzionale all’energia del moto ondoso (Equazione 15), ovvero alla sua capacità di trasportare sedimenti, inquinanti e di provocare dei danni alle opere antropiche sulla costa.

.

2 = 8 ∝ A = G 8 Equazione 15 Dove:

Ei è l’energia meccanica dell’onda;

γ è il peso specifico dell’acqua.

L’energia totale relativa al moto ondoso in esame, m0, si calcola tramite la seguente risoluzione

spettrale, riportata nell’Equazione 16.

H = I!2 #∆2 = ₈

Equazione 16 Energia totale del moto ondoso in esame

L’altezza significativa calcolata con l’analisi nel dominio della frequenza, Hm0, è data

dall’Equazione 17.

= = 4JH

Equazione 17 Altezza significativa misurata con l'analisi nel dominio della frequenza

Si noti che dal punto di vista matematico m0 è il momento di ordine zero della funzione 2ed è

dato dall’Equazione 18.

H = K L!2#M2N

Equazione 18 Momento di ordine zero della funzione S(f)

Il periodo medio può invece essere calcolato in diversi modi (Equazione 19 e Equazione 20): O , =H_HO

Equazione 19 , =H_H Equazione 20

L’Equazione 20, in particolare, fornisce valori molto simili a quelli ottenuti attraverso l’analisi

zero crossing.

2 _{Momento di ordine i di una funzione:}

33 Sono state proposte numerose forme analitiche che forniscono una conoscenza della funzione continua attraverso spettri analitici parametrici, con una struttura simile a quella nell’Equazione 21. Esse sono state formulate attraverso l’analisi di tanti eventi ondosi, in diverse parti del mondo.

I62R, , 9 , 9 , 9 7 Equazione 21

La variabile ed i parametri sono combinati in diversi modi, soprattutto con elevamenti a potenza. Una funzione molto usata, che approssima molto bene lo spettro del relativo moto ondoso è la funzione JONSWAP(Joint North Sea Wave Project), riportato nell’Equazione 22.

I!2# = :S ⁄ RO 2OT%" U−1.256 R27O W GXYRUO6Z[EO 7 \ _]\W

Equazione 22 Spettro di JONSWAP Dove:

:S= _{. _ . ^^`O . aT! .b_`#}. ^ cde1.094 − 0.01915 ln Gh; R≈ ⁄ ⁄e1 − 0.32!G + 0.2#O .TTbh;

k = lk_km: 2 ≤ 2R p: 2 ≥ 2R;

il parametro γ è il parametro di elevazione, che varia tra 1 e 7 e determina la forma del picco spettrale. Il valore 1 caratterizza un picco basso ed uno spettro largo (broad band). Il valore 7 definisce un picco alto ed uno spettro stretto, onde regolari formate da lontano e che si propagano senza incontrare ostacoli per molti km (onde di swell). Nel Mare del Nord il valore tipico è 3.3, mentre nel Mediterraneo varia tra 2 e 3. Tanto più si hanno bacini estesi tanto più si hanno valori alti perché si possono avere onde di swell per gli ampi fetch. Il valore di γ pari a 1 corrisponde ad un altro spettro precedente conosciuto in letteratura con il nome di Pierson- Moskowitz, da cui è stato sviluppato lo studio per lo spettro JONSWAP.

Il percorso che è stato seguito può essere effettuato anche in direzione opposta: partendo da valori di Hm0, Tp e parametri noti si può sostituirli in una funzione parametrica, tipo quella di

JONSWAP e attraverso tutti i passaggi visti ottenere il segnale delle onde.