Analisi zero crossing o nel dominio del tempo

Una registrazione di moto ondoso si presenta come in Figura 17, dove si osserva l’andamento della funzione ƞ, ovvero dell’elevazione della superficie del mare nel tempo. Un‘onda è definita come la porzione della funzione compresa tra due successivi attraversamenti dello SWL (zero) nella stessa direzione. Quando lo SWL viene attraversato passando da valori negativi a valori positivi si parla di punti upcrossing, viceversa, se si passa da valori positivi a valori negativi si hanno punti downcrossing. Considerare i downcrossing o gli upcrossing è indifferente, perché le caratteristiche statistiche sono simmetriche, purché si utilizzi sempre lo stesso criterio per tutta la durata dell’analisi.

Figura 17 Definizione di un'onda in una registrazione dell'elevazione della superficie del mare con i punti

downcrossing (in alto) e upcrossing (in basso) (Holthuijsen 2007)

Una volta che sono state individuate le onde all’interno della registrazione, nel periodo temporale di riferimento, si rilevano i periodi e le altezze d’onda di ciascuna di esse. A questo punto si possono definire le grandezze statistiche fondamentali.

25 = 1

Equazione 1 Altezza d'onda media

La radice quadratica media (root – mean – square) dell’altezza d’onda Hrms è definita

dall’Equazione 2.

= 1

Equazione 2 Radice quadratica media dell'altezza d'onda

Questo valore è rilevante per i progetti relativi all’energia dell’onda perché l’energia d’onda è proporzionale al quadrato dell’altezza d’onda.

Tuttavia le grandezze descritte, per quanto semplici, non sono utilizzate molto spesso, perché sono molto differenti rispetto al valore dell’altezza d’onda significativa stimata a vista, che è tradizionalmente utilizzata.

Per tale motivo, si usa frequentemente il valore dell’altezza significativa H1/3 che viene definita

come la media delle altezze di un terzo delle onde più alte registrate, come indicato dall’Equazione 3.

⁄ = 1_⁄3 ⁄

Equazione 3 Altezza significativa misurata con il metodo zero crossing Dove:

j non indica la sequenza temporale delle onde, ma indica la sequenza delle onde ordinate per altezza decrescente. Studi sperimentali hanno dimostrato che l’altezza d’onda significativa misurata con tale metodo è simile a quella misurata a vista.

Talvolta viene utilizzata H1/10, la media delle altezze di un decimo delle onde più alte registrate,

nell’Equazione 4.

⁄ = _⁄1₁₀ ⁄

Equazione 4 Altezza media di un decimo delle onde più alte Allo stesso modo possono essere definiti diversi valori di periodo. Nell’Equazione 5 è riportato il periodo medio.

= 1

26 Il periodo d’onda significativo T1/3, analogamente a quanto accade per l’altezza d’onda, viene

definito come il periodo medio di un terzo delle onde più alte, è espresso nell’Equazione 6.

⁄ = 1_⁄3 ⁄

Equazione 6 Periodo significativo Dove:

j non indica la sequenza temporale delle onde, ma indica la sequenza delle onde ordinate per altezza decrescente.

Così come per l’altezza d’onda, talvolta viene utilizzato il periodo medio di un decimo delle onde più alte, T1/10, definito dall’Equazione 7.

⁄ = _⁄1₁₀ ⁄

Equazione 7 Periodo medio di un decimo delle onde più alte

È fondamentale conoscere le relazioni che ci sono tra le diverse espressioni con cui è possibile calcolare ciascuna grandezza. Per quanto riguarda l’altezza d’onda si può approssimare che H1/3 ≈ Hv in quanto dai dati sperimentali emerge la relazione riportata nell’Equazione 8, che è

valida se le grandezze sono entrambe misurate in metri. ⁄ = 1.67 .

Equazione 8 Relazione tra l’altezza d’onda significativa misurata con l'analisi zero crossing e quella stimata a vista Inoltre è importante sottolineare che H1/3 è ovviamente maggiore dell’altezza massima

raggiunta durante la registrazione, Hmax. Il valore del rapporto tra Hmax e H1/3 oscilla tra 1.8 e 2.0

ed è tuttavia meno accurato perché più set di dati possono avere lo stesso H1/3, ma

difficilmente avranno la stessa Hmax. Il massimo è legato al moto ondoso ed alla durata della

misurazione: più è lunga più è probabile che si ottenga un valore massimo. Si può quindi affermare che la altezza d’onda massima corrisponde circa al doppio di quella significativa. Il periodo significativo misurato a vista non coincide con il valore misurato con l’analisi zero

crossing. Infatti tra queste due grandezze vi è la relazione riportata nell’Equazione 9.

⁄ = 2.83 .

Equazione 9 Relazione tra il periodo significativo misurato con l'analisi zero crossing e quello stimato a vista Dopo aver definito queste grandezze è possibile studiarne la distribuzione statistica. La Figura 18 riporta il grafico ad istogrammi delle altezze d’onda. Nelle ordinate è riportato il numero di onde nelle rispettive classi di altezza d’onda, definite nelle ascisse. Dall’osservazione di tale grafico si può ricavare la moda, ovvero la classe maggiormente rappresentata.

27 Figura 18 Esempio di istogramma delle altezze d'onda (Goda 2010)

Si può ottenere una distribuzione migliore normalizzando le altezze d’onda al loro valore medio e riportando sull’asse delle ascisse le frequenze relative n/N, divise per l’intervallo della classe di altezza normalizzata, Δ(H/Hm). In questo modo l’area sottesa al grafico è unitaria

(Figura 19).

Figura 19 Istogramma normalizzato delle altezze d'onda (Goda 2010)

Tale andamento può essere rappresentato da una funzione di distribuzione teoretica, che è raffigurabile come la funzione continua presente nella Figura 19. Essa è la cosiddetta distribuzione di Rayleigh, data dall’Equazione 10.

!"# =$₂ %" &'$_{4 ) * +} Equazione 10 Distribuzione di Rayleigh

La funzione p(x) rappresenta la densità di probabilità, ovvero la probabilità che un’altezza d’onda rispetto al valor medio ricada nell’intervallo della cella i-esima che ha un’ampiezza ΔH.

28 Tale funzione fu originariamente trovata da Lord Rayleigh alla fine del XIX secolo per descrivere l’intensità del suono emesso da un infinito numero di sorgenti. Nel 1952 Longuet - Higgins dimostrò che questa distribuzione era applicabile anche alle onde marine e da allora la distribuzione di Rayleigh viene universalmente impiegata per descrivere le altezze d’onda (Goda 2010).