Sistema della griglia e schema di risoluzione delle equazioni differenzial

delle equazioni differenziali con soluzioni finite

11.10.1

Griglia sfalsata

In GENESIS le quantità calcolate lungo la linea di riva sono discretizzate lungo una griglia sfalsata, in cui la posizione sulla riva yi è definita al centro delle celle della griglia ed il tasso di

trasporto solido è invece definito al i wall delle celle come mostrato in Figura 65. Il margine sinistro è collocato alla cella 1 ed il margine destro è collocato alla cella N. In totale quindi vi sono N valori della posizione della linea di costa e quindi i valori della posizione iniziale della linea di costa sono dati a N punti. Ci sono N+1 valori del trasporto solido lungo costa poiché vi sono N+1 wall che racchiudono N celle.

Figura 65 Schema della griglia sfalsata (Hanson e Kraus 1989)

I valori del trasporto solido ai margini Q1 e QN+1 devono essere forniti al software, che invece

calcolerà i rimanenti valori Qi e yi. Poiché le quantità Qi sono funzioni delle condizioni del moto

ondoso, tutte le quantità del moto ondoso sono calcolate ai wall. Le estremità delle strutture sono anche asse collocate ai wall. I ripascimenti, gli sbocchi fluviali e altri sources o sinks di sedimento sono collocati al centro delle celle.

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11.10.2

Schema di risoluzione delle equazioni differenziali

implicite con soluzione limitata

Nella testo seguente “i” in posizione di pedice indica una quantità riferita ad un’arbitraria cella i - esima lungo la spiaggia. L’apice “‘” invece indica una quantità riferita al successivo step temporale, mentre le quantità prive di apice si riferiscono al presente time step. Si noti che le quantità Q’ e y’ non sono note e saranno calcolate, mentre quantità come q’ e DB’ sono dati

che vengono immessi nel software prima della simulazione e quindi noti.

Viene utilizzato lo schema implicito di Crank – Nicholson nel quale le derivate ∂Q\∂x ad ogni punto della griglia sono espresse come medie equamente pesate tra il presente time step e quello successivo, come mostrato nell’Equazione 64 (Crank 1975).

˜Š

˜" =12 &Š_ § _{− Š}§

∆" +Š_∆"− Š+ Equazione 64 Schema implicito di Crank – Nicholson

Sostituendo l’Equazione 64 nell’Equazione 39 ed effettuando la linearizzazione degli angoli delle onde nell’Equazione 40 in termini di ∂y\∂x si ottengono due sistemi di coppie di equazioni in due incognite, y’1 e Q’1, mostrate nell’Equazione 65 e nell’Equazione 66.

‡§_{= :}§_!Š§_{− Š} _ § _{# + ‡>} Equazione 65 Š§ _{= A !‡} _ § _{− ‡}§_{# + 5} Equazione 66 Dove: B’ è rappresentato dall’Equazione 67: :§ ₌ ∆- e2!“–+ “—§#∆"h Equazione 67 Yci è una funzione di quantità note, tra le quali q’i e qi;

Ei è una funzione dell’altezza d’onda, angolo d’onda e altre quantità note;

Fi è una funzione similare a Ei.

Per risolvere l’Equazione 65 e l’Equazione 66 si utilizza il così detto algoritmo a doppia scansione.

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11.11

Condizioni dei limiti laterali e vincoli

GENESIS richiede di specificare i valori di Q per entrambi i limiti laterali, ovvero per i wall 1 e N+1, per ogni time step. La determinazione di questi valori è estremamente importante ai fini della bontà dei risultati della simulazione.

I limiti ideali sono i punti terminali delle celle litorali, per esempio lunghi promontori e lunghi moli o pennelli. D’altro canto anche le strutture ingegneristiche, come pennelli, barriere o muri radenti possono essere presenti anche all’intero del dominio di interesse. Questi elementi interrompono il movimento del sedimento lungo la linea di costa e così costituiscono dei vincoli per il trasporto solido che devono essere incorporati nella simulazione.

11.11.1

Limite laterale pinned beach

Si utilizza quando è possibile trovare una porzione di costa in prossimità del dominio che non subisce dei movimenti apprezzabili nel tempo. Il concetto di pinned beach, espresso in termini di trasporto solido, è formulabile come Q1=Q2, considerando il limite sinistro, e come QN+1=QN,

considerando il limite destro. Facendo riferimento all’Equazione 63, se ΔQ=0 anche Δy=0 e quindi la linea di riva non si muove. Questo tipo di limite dovrebbe essere collocato lontano dal progetto per assicurare il fatto che le condizioni in prossimità del limite non siano influenzate dai cambiamenti che hanno luogo nel progetto stesso.

11.11.2

Limite laterale gated

Elementi come pennelli, moli, frangiflutti connessi alla riva e promontori che bloccano completamente o parzialmente il movimento del sedimento lungo la costa, se sono collocati ad uno degli estremi della griglia di calcolo possono rappresentarne i limiti. Se essi invece sono collocati all’interno del dominio di calcolo si comporteranno come dei vincoli per il trasporto solido e per il cambiamento della linea di costa. La rappresentazione è la stessa in entrambi i casi, ma si trova in punti diversi dello schema di risoluzione.

L’effetto di queste strutture quando sono collocate sui limiti del dominio si determina in base a quanto sedimento può passare aldilà della struttura. Bisogna considerare sia il sedimento che entra che quello che esce; infatti vi sono dei casi in cui le strutture sono tali da costituire dei limiti selettivi, dove ad esempio il sedimento esce, ma non può entrare. Questa condizione di limite laterale gated viene definita come condizione di limite a pennello. La rappresentazione matematica di questa condizione è piuttosto complessa, ma in ogni caso l’azione di regolazione presso il limite è controllata dall’azione combinata del passaggio e della trasmissione di sedimento, di cui si parlerà nel prossimo paragrafo.

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11.11.3

Movimento del sedimento

In GENESIS possono essere simulati due tipi di movimento di sedimento aldilà delle strutture. Un tipo di movimento si svolge attorno all’estremità finale della struttura e viene definito passaggio (bypassing); l’altro avviene attraverso e aldilà della struttura e viene detto trasmissione (transmission). Il passaggio avviene solo quando la profondità all’estremità della struttura DG è minore della profondità attiva di trasporto DLT. DG si ricava dalla forma del

profilo del fondale conoscendo la lunghezza della struttura ed il punto in cui è collocata. Tuttavia poiché le strutture sono collocate nei wall delle celle tra due posizioni della linea di riva che sono state calcolate, questa profondità non è univoca. In GENESIS viene considerata la profondità sopraflutto.

Per rappresentare il passaggio del sedimento viene introdotto un fattore di passaggio detto BYP, definito dall’Equazione 68:

:ª« = 1 −_““¬ Z

Equazione 68 Fattore di passaggio (bypassing) Dove:

DG≤DLT

Esso implica una distribuzione uniforme in direzione cross – shore del tasso di trasporto

longshore.

Se DG>DLT BYP=0. Quindi i valori di BYP variano tra 0 e 1. Se BYP=0 significa che non si ha

passaggio di sedimento e se BYP=1 significa che tutto il sedimento può potenzialmente oltrepassare la posizione della struttura. Il valore di BYP dipende dalle condizioni del moto ondoso ad ogni time step, poiché DLT è funzione dell’altezza d’onda e del periodo.

La trasmissione avviene verso terra, aldilà ed attraverso una struttura connessa a terra, come ad esempio un pennello. Per descrivere la trasmissione viene introdotto un analogo fattore di permeabilità PERM. Un valore di PERM nullo viene assegnato a quelle strutture che sono molto alte rispetto al valore medio del livello dell’acqua e si estendono molto verso terra. Una struttura completamente “trasparente” ha invece un valore di PERM pari a 1. Quindi PERM assume valori nell’intervallo da 0 a 1 e deve essere specificato dal modellatore stesso che si deve basare sulle caratteristiche strutturali dell’opera, la sua elevazione ed il range di marea del sito. Il valore ottimale di PERM deve essere determinato nel processo di calibrazione del modello.

Una volta che vengono determinati i valori di PERM e BYP, GENESIS calcola la frazione totale F di sedimento che passa aldilà, attraverso ed oltre la struttura connessa alla riva, secondo l’Equazione 69

129 5 = «A©†!1 − :ª«# + :ª«

Equazione 69 (Hanson 1987)

Questa frazione viene calcolata per ogni struttura connessa alla riva.

11.11.4

Muri radenti

Un muro radente, o più in generale, qualsiasi struttura parallela e radente alla costa non erodibile, impone un vincolo alla posizione della linea di riva che non può spostarsi verso terra aldilà della struttura stessa. Sono state sviluppate delle procedure per calcolare la posizione della linea di costa in cui è presente un muro radente (Hanson e Kraus 1985, 1986b). la procedura è consistente con la teoria della modellizzazione della risposta della linea di riva e ha le seguenti tre proprietà:

1. la linea di riva di fronte al muro radente non può retrocedere aldilà della struttura; 2. il volume del sedimento si conserva;

3. la direzione del trasporto solido longshore presso il wall è la stessa di quella del trasporto locale potenziale.

GENESIS inizialmente calcola il trasporto longshore come se tutto il sedimento presente fosse disponibile per il trasporto (tasso di trasporto potenziale). Nelle celle della griglia dove viene violato il vincolo del muro radente, il trasporto solido e la posizione della linea di riva vengono corretti. Queste quantità vengono corrette anche nelle celle confinanti per preservare il volume di sedimento e la direzione del trasporto solido. Non è ovviamente possibile collocare due muri radenti nella medesima cella perché significherebbe avere due posizioni di linea di riva nello stesso punto.