Analisi in frequenza delle serie temporali

I risultati descritti nel paragrafo precedente sono di interesse quando lo scopo del rilievo sia di natura topografica/geodetica, per cui il fatto di poter ottenere una maggiore ripetibilità delle proprie misure ed una migliore coerenza col sistema di riferimento formalmente definito rappresenta un valore aggiunto. Per altre applicazioni, come quelle di natura geofisica, lo scopo principale che ci si pone nell’utilizzo dei sistemi GNSS è quello di descrivere in modo affidabile i movimenti dei punti monitorati e fornirne una corretta interpretazione.

Per queste applicazioni un modello di movimento lineare nel tempo, necessario e sufficiente per scopi geodetici, diventa limitante ed è quindi necessario considerare anche le principali componenti periodiche di spostamento (Dong et al. 2002, Mao et al. 1999).

L’analisi in frequenza viene tipicamente svolta avvalendosi della teoria di Fourier e di algoritmi quali la FFT (Fast Fourier Transform), che hanno però la limitazione di poter operare esclusivamente su serie continue e piene di dati. Le serie temporali GNSS difficilmente possono avere queste caratteristiche per via degli outliers o di malfunzionamenti che possono occorrere alle strumentazioni e causare l’interruzione dei dati, o ancora per problemi di calcolo geodetiche che in una piccola percentuale sono inevitabili. Si è quindi deciso di utilizzare per l’analisi del contenuto in frequenza delle serie temporali il così detto periodogramma di Lomb- Scargle (LSP) (Lomb 1976, Scargle 1982), che permette di individuare la frequenza del segnale statisticamente più potente contenuto in una serie, anche non piena, di dati. Una volta individuate le frequenze caratteristiche diventa possibile quantificare l’ampiezza dei segnali sinusoidali attraverso un procedimento ai minimi quadrati. Si ricorda che un qualunque segnale di natura periodica, di qualunque forma esso sia, è rappresentabile dalla somma di opportuni segnali sinusoidali di diverse ampiezze, periodi e fasi.

Partendo dalle serie temporali dei residui 𝑣_ki _{è stato calcolato il periodogramma di Lomb-} Scargle, implementato in un codice Fortran, che fornisce la funzione di potenza del segnale nel dominio delle frequenze. Sono state quindi individuate le 5 frequenze più potenti f_kiI _{(con I}

=1…5) e per ciascuna di esse sono stati valutati i coefficienti di ampiezza AiI_k e B_kiI col metodo dei minimi quadrati. Con queste operazioni è stato quindi calcolato per ogni serie temporale un modello 𝑚𝑜𝑑_ki_{(t) del tipo:}

𝑚𝑜𝑑_ki_{(t) = 𝑞}

𝑘𝑖 + 𝑡 ∗ 𝑚𝑘𝑖 + ∑5I=1[AiIksin(2πfkiI∗ t) + BiIkcos(2πfkiI∗ t) ] (22) Il modello mod_ki_{(t) rappresenta quindi il movimento della stazione (i) nella componente} geodetica (k), considerando sia il trend lineare che la componente periodica.

Si fa notare che il LSP (Lomb Scargle Periodogram) permette di individuare affidabilmente la prima frequenza più potente, mentre i picchi di potenze minori di uno stesso periodogramma offrono una stima meno accurata. Si è quindi deciso di procedere iterativamente su ogni serie calcolando il segnale sinusoidale legato alla prima frequenza, sottraendolo alla serie temporale, ricalcolando il periodogramma e quindi il segnale associato alla nuova frequenza più potente. Questa sequenza è stata eseguita per le 5 volte necessarie a calcolare con la massima accuratezza possibile il segnale composto dalle prime 5 sinusoidi che caratterizzano ciascuna serie. Si precisa infine che la maggior parte dei segnali, che tipicamente hanno frequenza annuale o semestrale, sono ben descrivibili dalle prime 2 o 3 sinusoidi. Si è comunque deciso di utilizzarne 5 avendo verificato che le ampiezze delle ultime sinusoidi diventano molto vicine allo zero quando queste non sono significative, per cui non impattano negativamente sul modello, mentre in alcuni casi possono concorrere a descrivere meglio le forme d’onda più particolari.

In Figura 25 sono riportati i periodogrammi di Lomb-Scargle relativi alle 14 stazioni del test,

sovrapposti per le soluzioni GIS e RIS. Come si può notare le frequenze individuate sono piuttosto simili per quasi tutte le serie temporali e si concentrano prevalentemente sulle frequenza annuali e semestrali. Le differenze più evidenti tra i diversi siti sono in termini di potenza dei periodogrammi, ma si fa notare che questa è legata alla probabilità statistica che il segnale della tal frequenza sia presente, e non all’ampiezza di questo.

Figura 25 – Periodogrammi di Lomb-Scargle calcolati sulle serie temporali dei residui 𝑣_𝑘𝑖 per le soluzioni GIS (Rosse) e RIS (Blu). I grafici riportano in ordinata le frequenze ed in ascissa la potenza spettrale

normalizzata.

In Figura 26 vengono invece riportati i segnali descritti dai modelli 𝑚𝑜𝑑_ki(t) calcolati,

sovrapposti ancora una volta per GIS e RIS in modo da permetterne un confronto diretto. La prima considerazione generale che si può fare riguarda le ampiezze dei segnali individuati, che è generalmente di pochi millimetri e quindi vicina alla sensibilità massima delle misure GNSS.

Figura 26 – Modelli mod_ki(t) che descrivono il moto dei punti analizzati. In rosso i modelli relativi alle soluzioni GIS ed in blu quelli relativi alle soluzioni RIS.

Si può anche notare come in generale i segnali contenuti nelle serie delle soluzioni GIS siano piuttosto differenti da quelli relativi alle soluzioni RIS, specialmente sulle frequenze maggiori. Inoltre, soffermandosi sulla componente nord sembra evidente una certa differenza di velocità media dei punti per le due diverse soluzioni. Le ampiezze dei segnali appaiono evidentemente maggiori per le soluzioni GIS che per quelle RIS, e le differenze in questi termini sono mediamente del 50% su tutte le componenti geodetiche, e fino al 75% in alcuni casi particolari.

Solamente nella componente nord, per alcuni siti, le differenze di ampiezza dei segnali per le due soluzioni hanno valori inferiori al 10%.

Ci si è quindi chiesti quale fosse la perdita di segnale contenuto nelle serie temporali RIS rispetto alle soluzioni inquadrate con gli x-files globali. Si è pensato di calcolare le differenze tra i residui giornalieri delle due soluzioni, che hanno come unica differenza il processo di inquadramento, ed analizzare le serie temporali di queste differenze 𝑑_ki_:

𝑑_ki _{= 𝑣}

ki_GIS− 𝑣ki_RIS (23)

I segnali contenuti nelle serie 𝑑_ki _{sono stati stimati ancora una volta secondo il modello (22)} seguendo l’approccio sopra descritto e sono stati sovrapposti in Figura 27.

Figura 27 – Sovrapposizione dei 14 modelli mod_ki che descrivono l’andamento delle differenze d_ki tra le soluzioni GIS e RIS. La linea rossa rappresenta la media dei 14 segnali.

Osservando la figura appare evidente che ci sia una alta correlazione tra le serie temporali delle differenze 𝑑_ki per tutte le stazioni GNSS analizzate, nonché un segnale comune dell’ampiezza di qualche millimetro, che viene eliminato dalla soluzione GIS a seguito dell’inquadramento con

x-files regionali. Analizzando più nel dettaglio questo segnale medio, ancora per mezzo del LSP,

si evidenziano due frequenze principali di cui una annuale ed una semestrale, mentre l’ampiezza del segnale risulta essere di circa 2 millimetri per le componenti planimetriche e di

circa 5 millimetri nella componente di quota. La presenza di questo segnale comune così evidente spiega anche la differenza in termini di coefficienti di correlazione evidenziata in Tabella 2, per cui la maggiore correlazione tra le serie temporali GIS è verosimilmente imputabile al segnale descritto dalla linea rossa di Figura 27 – Sovrapposizione dei 14 modelli mod_ki che descrivono l’andamento delle differenze d_ki _{tra le soluzioni GIS e RIS. La linea rossa rappresenta la media}

dei 14 segnali.

Ci si è poi chiesti quanto la presenza dei segnali individuati nelle serie temporali analizzate influenzino la valutazione della ripetibilità delle misure PPP, ovvero i parametri 𝑝_𝑘𝑖 _{riportati in} Tabella 3. Sono stati quindi calcolati i residui delle serie temporali rispetto ai modelli di movimento che le caratterizzano, invece che rispetto al proprio trend lineare come nella (15), sottraendo i modelli 𝑚𝑜𝑑_ki_{(t) dai residui ∆}

k i_:

𝑤_ki = ∆_ki − 𝑚𝑜𝑑_ki(t) (24)

Sono quindi stati calcolati i valori del parametro 𝑝_𝑘𝑖 _{sugli valori 𝑤}

ki calcolati sia per la GIS che per la RIS, che vanno a rappresentare il rumore residuo delle serie temporali PPP a meno del moto dei punti misurati.

Valori del rumore residuo rispetto ai modelli stimati

GIS (mm) RIS (mm) SITO N E U N E U AJAC 1.7 1.6 4.9 1.1 1.1 3.6 GENO 1.6 1.4 5.6 1.1 0.9 3.9 GRAS 1.7 1.5 3.9 1.1 0.9 2.8 GRAZ 1.4 1.3 4.3 0.9 0.8 2.5 M0SE 1.4 1.4 4.2 0.9 1.0 3.0 MATE 1.7 1.5 4.7 1.2 0.9 3.3 NOT1 1.8 2.1 5.9 1.2 1.3 3.4 ORID 1.6 1.7 4.9 1.0 1.0 2.8 PRAT 1.8 1.6 4.9 1.3 1.0 3.8 TORI 1.7 1.7 5.3 1.2 1.1 3.6 UNPG 1.5 1.5 4.7 1.0 0.9 3.4 WTZR 1.4 1.4 4.3 1.0 0.8 2.6 ZIMM 1.4 1.4 4.2 0.9 0.9 2.7 ZOUF 1.7 1.5 4.7 1.2 1.0 2.9 Valore medio 1.6 1.5 4.8 1.1 1.0 3.2

Tabella 4 – Valori di rumore residuo rispetto ai modelli di movimento dei punti calcolati per ogni serie temporale.

Il valore di questi rumori è riportato in

Tabella 4, dove si può notare ancora una volta una riduzione media di circa il 33-38% per la soluzione RIS rispetto alla GIS.

Questa riduzione di rumore implica che i miglioramenti nella ripetibilità delle soluzioni evidenziati in Tabella 3 non sono semplicemente dovuti all’eliminazione di un segnale comune a tutte le serie GIS, bensì l’inquadramento regionale porta ad un reale miglioramento della ripetibilità delle misure PPP.

Pertanto, l’applicazione di x-files regionali al posto di quelli globali forniti dal JPL comporta da un lato la perdita di un segnale comune a tutta l’area considerata, ma dall’altro permette di evidenziare i segnali propri che caratterizzano il movimento di ogni singolo sito, che risultano anche meglio individuabili grazie ad una minore rumorosità delle misure utilizzabili.