Approccio mediante 14 parametri di Helmert

Un secondo approccio è stato seguito nel tentativo di ottenere un sistema di riferimento maggiormente vincolato all’area italiana, rispetto all’ETRF2000, basandosi stavolta sulla trasformazione di Helmert. Anche in questo caso l’approccio è stato quello di determinare dei parametri di trasformazione che, una volta applicati all’ITRF2000, definiscono il nuovo sistema di riferimento.

La trasformazione di Helmert a 7 parametri (equazione 4 del capitolo 1) definisce il passaggio tra due sistemi di riferimento sotto le condizioni di similarità con variazione di scala, ciò significa che la forma della rete di punti non viene modificata ma solamente roto-traslata, a meno di una variazione di scala. Per determinare i 7 parametri di Helmert, incognite del problema, è necessario disporre di due set di coordinate tridimensionali. In particolare sono necessari almeno tre “punti doppi”, che permettono di definire un numero di equazioni sufficienti, cioè 9 su un minimo di 7. La definizione dei 7 parametri avviene per mezzo di una compensazione in blocco con approccio ai minimi quadrati, per cui è opportuno disporre di un numero ben superiore ai 3 “punti doppi” minimi, in modo da consentire il rigetto di quelli che forniscono i residui maggiori (o meglio, non compatibili con gli errori casuali delle misure) a valle della trasformazione.

L’idea con la quale è stato implementato il calcolo dei 14 parametri di Helmert, ovvero dei 7 relativi ad una determinata epoca e delle loro 7 variazioni nel tempo, è stata quella di definire per ogni giorno i 7 parametri di trasformazione tra un sistema A ed uno B, per poi calcolare la variazione nel tempo di ciascun parametro come pendenza della retta di regressione della sua serie temporale.

Per ogni giorno è possibile definire la roto-traslazione con variazione di scala come:

𝑋_𝐴 = (1 + 𝑠)𝑅(𝑋_𝐵) + 𝑇 (51)

Dove:

- 𝑋_𝐴, 𝑋_𝐵 sono le coordinate dei punti espresse nei due sistemi di riferimento A e B. - (1 + 𝑠) è il parametro di scala. In una rototraslazione a 7 parametri si assume che la

deformazione sia la stessa in ogni direzione per cui è sufficiente un solo parametro di scala.

[

1 𝛼𝑧 −𝛼𝑦

−𝛼𝑧 1 𝛼𝑥

𝛼𝑦 −𝛼𝑥 1

]

dove 𝛼𝑥, 𝛼𝑦, 𝛼𝑧 sono i coseni direttori, linearizzati in virtù dell’ipotesi di piccole variazioni di coordinate tra i due sistemi di riferimento, lecita operando in coordinate geocentriche.

- 𝑇 è il vettore di traslazione tra le origini dei due sistemi di riferimento.

L’equazione sopra riportata, scritta in forma estesa per l’i-esimo dei “punti doppi” produce un sistema del tipo:

{ 𝑋_𝐴𝑖 _{= 𝑡} 𝑥+ (1 + 𝑠)𝑋𝐵𝑖 + 𝛼𝑧𝑌𝐵𝑖− 𝛼𝑦𝑍𝐵𝑖 𝑌_𝐴𝑖 _{= 𝑡} 𝑦− 𝛼𝑧𝑋𝐵𝑖 + (1 + 𝑠)𝑌𝐵𝑖 − 𝛼𝑥𝑍𝐵𝑖 𝑍_𝐴𝑖 _{= 𝑡} 𝑧+ 𝛼𝑦𝑋𝐵𝑖 − 𝛼𝑥𝑌𝐵𝑖 + (1 + 𝑠)𝑍𝐵𝑖 (52)

Il sistema nel suo complesso viene scritto, in forma contratta, come:

𝐵𝛿𝐻 = 𝑓 + 𝜈 (53)

Dove B è la matrice disegno, 𝛿_𝐻 è il vettore 7×1 dei parametri di trasformazione incogniti, f è il vettore dei termini noti, in questo caso le coordinate dei punti doppi. Il sistema viene risolto attraverso la nota espressione:

𝛿_𝐻 = ( 𝐵𝑇_𝑃B)−1_{( 𝐵}𝑇_{𝑃𝑓) (54)}

Se definiamo B come il sistema di riferimento di partenza ed A come quello di arrivo, allora, applicando i 7 parametri così calcolati alle coordinate espresse nel sistema di riferimento di partenza 𝑋𝐵, si otterranno delle coordinate espresse nel sistema di arrivo A, ma diverse da quelle 𝑋_𝐴 che hanno definito la trasformazione.

Supponiamo ora che il sistema di riferimento A al quale si vuole arrivare sia perfettamente stabile nel tempo, per cui le coordinate 𝑋𝐴non variano nel tempo, mentre il sistema di riferimento B abbia una sua evoluzione nel tempo, per cui 𝑋_𝐵(𝑡). Definendo per ogni giorno la trasformazione di Helmert tra i due sistemi si otterranno per ogni giorno 7 parametri diversi.

Per definire la trasformazione tra i due sistemi nel tempo con un numero di parametri limitato, quindi non 7 diversi ogni giorno, si possono definire le variazioni nel tempo di ciascun parametro analizzando la serie temporale di questo e calcolando la pendenza della sua retta di regressione. Così facendo si determinano 7 ulteriori parametri sufficienti a definire nel tempo la trasformazione tra i due sistemi di riferimento.

Calcolo della trasformazione di Helmert a 14 parametri per i siti RDN

È stata quindi implementata in MATLAB una procedura ad hoc che permettesse il calcolo dei 7 parametri di trasformazione per ogni giorno. Questi sono stati calcolati considerando come punti doppi i siti di RDN precedentemente selezionati, come sistema di riferimento B di partenza l’ETRF2000, e come sistema stabile A di arrivo l’ETRF2000 all’epoca 2008.0. In pratica sono state confrontate giorno per giorno le coordinate della retta di regressione di ciascun sito, espresse appunto nell’ETRF2000 e variabili nel tempo, con le corrispondenti coordinate di riferimento nel sistema di riferimento italiano definito da RDN e precedentemente calcolate. Una volta determinati i parametri di trasformazione giornalieri è stata calcolata la retta di regressione di ogni parametro singolarmente, definendone la variazione nel tempo. I 14 parametri così calcolati sono riferiti all’epoca 2008.0, le unità di misura dei parametri sono rispettivamente metri e metri/anno per traslazioni e velocità di traslazione, mentre sono Mas (millisecondi di arco) e Mas/anno per rotazioni e velocità di rotazione, la scala, e la sua velocità sono numeri puri.

Ottenuti i parametri, questi sono stati applicati alla rete analizzata, in particolare alle coordinate espresse nel sistema di riferimento ETRF2000, con una trasformazione concettualmente identica a quella operata tra ITRF2008 ed ETRF2000 applicando i 14 parametri forniti dall’EUREF.

X(𝑡)_𝐼𝑇 = 𝑃(𝑡) X(𝑡)_{𝐸𝑇𝑅𝑆} (55)

Dove X(𝑡)𝐼𝑇 sono le coordinate dei siti RDN selezionati, alla generica epoca t, espresse nel nuovo sistema di riferimento, mentre X(𝑡)𝐸𝑇𝑅𝐹 sono le coordinate all’epoca t nel sistema di partenza ETRF2000. 𝑃(𝑡) sono i 7 parametri di trasformazione, definiti a partire dai 14 appena descritti con una relazione del tipo della (5) :

𝑃(𝑡) = P(2008.0) + 𝑃̇(𝑡 − 2008.0) (56) Una volta eseguita la trasformazione sono stati calcolati i nuovi vettori di velocità residua dei siti analizzati, espressi quindi nel nuovo sistema di riferimento, e sono stati calcolati i moduli delle velocità planimetriche al pari di quanto fatto nel precedente test:

𝑣_{𝑃𝑙𝑎𝑛}𝐻𝑒𝑙𝑚𝑒𝑟𝑡 = √(𝑣_𝑁𝐻𝑒𝑙𝑚𝑒𝑟𝑡2_{+ 𝑣}

𝐸𝐻𝑒𝑙𝑚𝑒𝑟𝑡2) (57)

Questi sono stati nuovamente confrontati con quelli espressi in ETRF2000 determinando le riduzioni percentuali delle velocità residue:

∆𝑣𝑃𝑙𝑎𝑛 = 𝑣𝑃𝑙𝑎𝑛

𝐸𝑇𝑅𝑆_−𝑣 𝑃𝑙𝑎𝑛𝐻𝑒𝑙𝑚𝑒𝑟𝑡

𝑣_{𝑃𝑙𝑎𝑛}𝐸𝑇𝑅𝑆 ∗ 100 (58)

Anche in questo caso interessa valutare la riduzione delle velocità residue inizialmente maggiori, per cui in Tabella 9 sono riportati esplicitamente i valori relativi alle 20 stazioni permanenti che presentavano le velocità residue maggiori rispetto all’ETRF2000. La riduzione della velocità di NOT1 in questo caso è rilevante, anche se risultati ancora migliori si ottengono per altri siti che presentavano velocità iniziali simili. In questo caso la riduzione valutando la riduzione media sulle 10 stazioni inizialmente più problematiche si ha un miglioramento del 51%, a fronte di un miglioramento medio sull’intera rete del 15%.

Stazione Diminuzione ∆𝑣_{𝑃𝑙𝑎𝑛} Stazione Diminuzione ∆𝑣_{𝑃𝑙𝑎𝑛}

MRLC 38% UGEN 79% HMDC 38% ISCH 61% MATE 63% RSTO -6% AMUR 49% SASA 64% TERM 47% FOGG 47% FASA 56% GIUR 78% PALE 44% CUCC 65% TREB 64% RSMN -1% MSRU 86% CAMP 22% Media dei 10 ∆𝑣𝑃𝑙𝑎𝑛 massimi 51% Media dei 20 ∆𝑣𝑃𝑙𝑎𝑛 massimi 48%

Tabella 9 – Valori percentuali di riduzione della velocità passando dal sistema ETRF2000 a quello ottenuto applicando a questo i parametri di Helmert. Sono riportati i valori di ∆𝑣𝑃𝑙𝑎𝑛 relativi alle 20 stazioni con le

velocità iniziali massime.

Si riporta in Figura 44 la rappresentazione grafica delle velocità originali in ETRF2000 (blu) e delle velocità residue rispetto al sistema di riferimento vincolato all’area italiana (verde). Si osserva come le stazioni situate nel sud della penisola presentino delle velocità residue evidentemente ridotte a valle del cambio di sistema di riferimento, mentre nel nord si ha il fenomeno contrario, per cui nel complesso le velocità residue ottenute risultano più omogenee tra loro di quanto non lo fossero inizialmente.

Figura 44 – Per ogni stazione sono riportate in blu le velocità residue rispetto all’ETRS ed in verde quelle espresse nel nuovo sistema di riferimento, definito attraverso una trasformazione di Helmert a 14 parametri.