Anno accademico 2018/19

7.1. Sia ϕ : R −→ Rig(Rn

) una mappa differenziabile di gruppi dal gruppo additivo R al gruppo (per composizione) delle rigidit`a euclidee di Rn, cio`e ϕ(0) = id e ϕ(t + s) = ϕ(t) ◦ ϕ(s). La mappa ϕ e la sua immagine si dicono un sottogruppo 1-parametrico delle rigidit`a.

(a) Mostrare che l’immagine di ϕ `e un sottogruppo commutativo di Rig(Rn), che ϕ⁰(t) = ϕ(t)◦ϕ⁰(0) = ϕ⁰(0) ◦ ϕ(t) e dedurre che ϕ(i)(t) = ϕ(t) ◦ ϕ⁰(0)i.

(b) Consideriamo ora un punto P0 e definiamo la curva γ(t) come la traiettoria di P0 sotto l’azione del gruppo ϕ(t), cio`e γ(t) := ϕ(t)(P0). Mostrare che γ(i)(t) = ϕ(t)γ(i)(0). Dedurre che tutte le curvature di γ sono costanti. [sugg.: cosa si pu`o dire del riferimento di Fr´enet di γ?]

(c) Viceversa, consideriamo una curva γ(t) in Rn le cui curvature siano tutte costanti; mostrare che γ pu`o essere descritta come nella costruzione precedente, cio`e che γ `e la traiettoria di un punto sotto l’azione di un sottogruppo 1-parametrico delle rigidit`a. [sugg.: definire ϕ(t) nel modo ovvio a partire da γ(t), poi mostrare che si tratta di un sottogruppo 1-dimensionale.]

(d) Usare i punti precedenti e la struttura delle rigidit`a di Rⁿ [sugg.: forme canoniche con blocchi diagonali per SOn(R), e traslazioni nulle per i blocchi con autovalori 6= 1] per dare delle forme canoniche semplici per le curve a curvature costanti non nulle per n = 2, 3, 4, 5.

Traccia di soluzione: moralmente, l’esercizio afferma che le curve a curvature costanti in Rⁿ sono le traiettorie di curve che siano anche sottogruppi nelle rigidit`a euclidee.

(a) abbiamo ϕ(t) ◦ ϕ(s) = ϕ(t + s) = ϕ(s + t) = ϕ(s) ◦ ϕ(t) (immagine per omomorfismi di gruppi abeliani `e sottogruppo abeliano).

usando ϕ(t + ε) − ϕ(t) = ϕ(t)ϕ(ε) − ϕ(t) = ϕ(t)(ϕ(ε) − id) = (ϕ(ε) − id)ϕ(t) e il limite (ε → 0) del rapporto incrementale si ottiene la formula voluta; iterando, l’altra.

alternativa sportiva: derivando rispetto ad s l’uguaglianza ϕ(t + s) = ϕ(t) ◦ ϕ(s) e poi calcolando per s = 0 si ottiene la prima formula.

(b) da γ(t) = ϕ(t)(P0), abbiamo γ(i)(t) = (ϕ(t)(P0))(i)= ϕ(i)(t)(P0) = ϕ(t)ϕ⁰(0)i(P0) = ϕ(t)γ(i)(0). quindi abbiamo Γ(t) = ϕ(t)Γ(0) e per il riferimento di Fr´enet risulta E(t) = ϕ(t)E(0), e le curvature (invarianti per rigidit`a) sono le stesse per t = 0 e per t qualsiasi (quindi costanti). alternativa: la matrice delle curvature `e definita da E(t)⁰ = E(t)K(t), e usando la matrice P (t) della parte lineare di ϕ(t) abbiamo E(t) = E(0)P (t) e E(t)⁰ = (E(0)P (t))⁰ = E(0)P (t)⁰ = E(0)P (t)P⁰(0) = E(t)P⁰(0) da cui K(t) = P⁰(0).

(c) data una curva γ(t) a curvature costanti, definiamo ϕ(t) come l’unica rigidit`a euclidea che manda γ(0), E(0) in γ(t), E(t). Chiaramente ϕ(0) = id e dobbiamo mostrare che si tratta di un morfismo di gruppi, cio`e che ϕ(t + s) = ϕ(t) ◦ ϕ(s). Confrontando le curve ϕ(s) ◦ ϕ(t)γ(0) e ϕ(t + s)γ(0), per s fissato, usando che le curvature di γ sono costanti, si trova che soddisfano allo stesso sistema di Fr´enet con le stesse condizioni iniziali, quindi sono la stessa curva e si conclude che ϕ(s) ◦ ϕ(t) = ϕ(t + s).

alternativa: siccome E(t)⁰ = E(t)K con K costante, abbiamo che E(t) = E(0)eKt, e siccome P (t) (matrice della parte lineare di ϕ(t)) `e definita da E(t) = E(0)P (t), risulta P (t) = eKt, e quindi P (t + s) = eK(t+s)= eKteKs= P (t)P (s). Tenendo conto anche della parte di traslazione, si deduce che ϕ(t + s) = ϕ(t) ◦ ϕ(s). (d) abbiamo per n = 2: ϕ(t) =^10 cos t − sin t^{0 0} 0 sin t cos t  P0=^1a 0  γ(t) = a cos t a sin t
(cerchi), per n = 3: ϕ(t) = 1 0 0 0 0 cos t − sin t 0 0 sin t cos t 0 bt 0 0 1  P0= 1 a 0 0  γ(t) =^{a cos t}a sin t bt 

(eliche cilindriche), per n = 4: ϕ(t) = 1 0 0 0 0 0 cos t − sin t 0 0 0 sin t cos t 0 0 0 0 0 cos βt − sin βt 0 0 0 sin βt cos βt ! P0= 1 a 0 b 0 ! γ(t) = a cos t a sin t b cos βt b sin βt !

(eliche toriche), per n = 5: ϕ(t) =   1 0 0 0 0 0 0 cos t − sin t 0 0 0 0 sin t cos t 0 0 0 0 0 0 cos βt − sin βt 0 0 0 0 sin βt cos βt 0 ct 0 0 0 0 1   P₀=   1 a 0 b 0 0   γ(t) = a cos t a sin t b cos βt b sin βt ct ! (eliche torico-cilindriche).

7.2. Si consideri la superficie ottenuta ruotando la curva γ(u) =

1/ cosh(u) 0 u−tanh(u)



per u > 0 attorno all’asse verticale. Scrivere una parametrizzazione σ usando come parametri u e ϑ.

(a) Determinare le matrici di prima e seconda forma fondamentale di σ.

(b) Determinare la matrice dell’applicazione di Weingarten, e la curvatura K di σ; che tipi di punti vi sono su σ?

(c) Determinare le linee asintotiche di σ e le linee di curvatura su σ.

(d) Determinare le equazioni differenziali delle linee geodetiche di σ; ridurre il sistema ad una equazione differenziale ordinaria del prim’ordine.

(e) Descrivere le limitazioni a cui sono soggette le geodetiche, e in particolare determinare la minima distanza dall’asse di rotazione e la massima altezza che possono essere raggiunta da una geodetica. Risultati. La curva da ruotare `e una trattrice (ma non in parametro d’arco), e la superficie di rotazione `e la pseudosfera di Beltrami. Abbiamo parametrizzazione

σ(u, ϑ) = cos(ϑ)/ cosh(u) sin(ϑ)/ cosh(u) u−tanh(u)  , da cui si ricavano

σu= _cosh^sinh(u)2(u)

− cos(ϑ) − sin(ϑ) sinh(u)  , σϑ=_cosh(u)¹  − sin(ϑ) cos(ϑ) 0  , n = −_cosh(u)¹  sinh(u) cos(ϑ) sinh(u) sin(ϑ) 1  e σ_uu=_cosh¹3(u)

(sinh2(u)−1) cos(ϑ) (sinh²(u)−1) sin(ϑ)

2 sinh(u)

!

, σ_uϑ =_cosh^sinh(u)2(u)

 sin(ϑ) − cos(ϑ) 0  , σ_ϑϑ= −_cosh(u)¹ cos(ϑ) sin(ϑ) 0  . (a) GI = _cosh¹2(u)



sinh2(u) 0

0 1



, GII = _cosh^sinh(u)2(u) −1 0 0 1
. (b) L = G⁻¹_I GII = _sinh(u)^{1 −1}_{0 sinh}⁰2(u)



, K = −1, tutti i punti sono quindi iperbolici.

(c) le linee di curvatura sono quelle coordinate, poich´e L `e diagonale; le linee asintotiche devono avere u02− ϑ02= 0, e quindi u0= ±ϑ0, ovvero u = u₀± ϑ.

(d) il sistema delle geodetiche `e      sinh2(u) cosh2(u)u^0 0

=_cosh^sinh(u)3(u)(u⁰²− ϑ02) 

1 cosh2(u)ϑ^0

0

= 0

e l’equazione di unitariet`a `e sinh²(u)u⁰²+ ϑ⁰²= cosh²(u).

Come per tutte le superficie di rotazione si pu`o applicare la strategia di Clairaut: a parte i profili con ϑ<sup>0</sup>= 0 che sono geodetiche, dalla seconda equazione si ottiene ϑ<sup>0</sup>= c cosh<sup>2</sup>(u) ove c `e costante lungo la geodetica, e sostituendo nella unitariet`a si ottiene u⁰=^cosh(u)_sinh(u)√

1−c2cosh2(u), da cui dϑ

du ⁼ ϑ0

u0 = c_q^{cosh(u) sinh(u)} 1 − c2cosh²(u) che si pu`o anche integrare elementarmente.

(e) usando l’angolo α formato dalla geodetica con i paralleli u⁰ = 0 vediamo che c =_cosh^ϑ2⁰(u) = _cosh(u)^cos(α), da cui X = _cosh(u)¹ > c (la distanza dall’asse `e almeno c) e la massima altezza per la geodetica `e Z =√

7.3. Sia data la superficie di rotazione del profilo xz = sin(x) attorno all’asse delle z. (a) Si trovino una parametrizzazione e una equazione cartesiana per σ.

(b) Determinare le matrici di prima e seconda forma fondamentale di σ.

(c) Determinare la matrice dell’applicazione di Weingarten, e la curvatura K di σ; che tipi di punti vi sono su σ?

(d) Determinare le linee asintotiche di σ, le linee di curvatura di σ e le linee su σ che formano angolo costante con tutti i profili.

(e) Determinare le equazioni differenziali delle linee geodetiche di σ; vi sono soluzioni evidenti di questo sistema? Ridurre il sistema ad una equazione differenziale ordinaria del prim’ordine. 7.4. Sia data la superficie di parametrizzazione σ(t, ϑ) =^{t+cos ϑ}sin ϑ

t

 . (a) Si trovi una equazione cartesiana per σ e si dica se σ contiene rette.

(b) Determinare le matrici di prima e seconda forma fondamentale di σ.

(c) Determinare la matrice dell’applicazione di Weingarten, e la curvatura K di σ; che tipi di punti vi sono su σ?

(d) Determinare le linee asintotiche di σ, le linee di curvatura di σ e le linee ortogonali alle linee coordinate della parametrizzazione.

(e) Determinare le equazioni differenziali delle linee geodetiche di σ; vi sono soluzioni evidenti di questo sistema?

7.5. Sia data la superficie di rotazione ottenuta ruotando il profilo z = 1/x attorno all’asse z. (a) Trovare una parametrizzazione ed una equazione cartesiana per σ.

(b) Determinare le matrici di prima e seconda forma fondamentale di σ.

(c) Determinare la matrice dell’applicazione di Weingarten, e la curvatura K di σ; che tipi di punti vi sono su σ? Quali sono le isometrie di σ in s`e?

(d) Determinare le linee asintotiche di σ, le linee di curvatura di σ e le linee che formano angolo costante con le linee di curvatura.

(e) Determinare le equazioni differenziali delle linee geodetiche di σ; quali geodetiche possono as-sumere valori arbitrariamente alti di z?

7.6. Sia data la superficie di rotazione ottenuta ruotando il profilo z2= x attorno all’asse z. (a) Trovare una parametrizzazione ed una equazione cartesiana per σ.

(b) Determinare le matrici di prima e seconda forma fondamentale di σ.

(c) Determinare la matrice dell’applicazione di Weingarten, e la curvatura K di σ; che tipi di punti vi sono su σ? Quali sono le isometrie di σ in s`e?

(d) Determinare le linee asintotiche di σ, le linee di curvatura di σ e le linee che formano angolo costante con le linee di curvatura.

(e) Determinare le equazioni differenziali delle linee geodetiche di σ; quali geodetiche possono as-sumere valori arbitrariamente alti di z?