1. Problemi di topologia generale.
1.1. Esempi di quozienti. L’insieme delle quadriche affini viene topologizzato usando la sua identificazione con (un sottinsieme di) uno spazio proiettivo. Considerando l’insieme delle classi di equivalenza modulo affinit`a, sappiamo che vi `e solo n numero finito di classi di equivalenza; in questo insieme finito, descrivere la topologia quoziente.
Per esempio nel caso n = 2 le coniche non degeneri sono classificate in quattro classi (E ed E0, ellissi con o senza punti reali, P parabole, I ellissi) e risulta che {E0} `e un chiusaperto, {P } un chiuso, {E} ed {I} aperti la cui chiusura contiene P ; si osservi che la topologia riflette le propriet`a di deformazione geometrica: deformando l’equazione di una parabola, si ottengono sia ellissi che iperboli... Considerando tutte le coniche (comprese le degeneri)?
Considerare anche i casi n = 1, 3.
1.2. Confrontare la topologia di X con la topologia debole su X rispetto alla famiglia di mappe continue di X in R, e rispetto alla famiglia di mappe continue di X in s`e.
1.3. Confrontare lo spazio R∞=S
n>1Rn(dove Rn`e incluso in Rn+1come iperpiano xn+1= 0) dotato della topologia induttiva delle mappe di inclusione Rn ⊆ R∞
, e lo spazio RN=Q
i>1R dotato della topologia prodotto, cio`e della debole rispetto alle proiezioni sui fattori. Il primo si pu`o vedere come sottinsieme del secondo, ma ha una topologia pi`u fine di quella indotta dal prodotto. La topologia prodotto `e metrizzabile, quella induttiva no (non `e localmente numerabile).
1.4. Si considerino gli spazi H0 = Q
n>1[0, 1] = [0, 1]N e H = Q
n>1[0, 1/n] con le rispettive topologie prodotto (delle topologie usuali degli intervalli). `E vero che si tratta di spazi metrizzabili? Eventualmente, sono isometrici?
1.5. Consideriamo {0, 1} con la topologia discreta. `E vero che {0, 1}N(prodotto numerabile di copie di {0, 1}). con la topologia prodotto `e uno spazio discreto? `E vero che `e metrizzabile?
1.6. Discutere eventuali isomorfismi e relazioni tra: pettine del topologo (formato dal segmento orizzontale [0, 1] e dai segmenti verticali di altezza 1 su 0 e 1/n per n > 0 intero), sua interzezione con il triangolo di origine e versori, sua intersezione con il triangolo simmetrico, e con il rastrello del topologo (cono dell’insieme formato da 0 e 1/n per n > 0 intero).
1.7. Discutere eventuali isomorfismi e relazioni tra: pettine razionale (formato dal segmento orizzontale [0, 1] e dai segmenti verticali di altezza 1 sopra ogni razionale del segmento), sua in-terzezione con il triangolo di origine e versori, sua intersezione con il triangolo simmetrico, e con il rastrello razionale (cono dell’insieme formato dai razionali di [0, 1]).
1.8. Discutere e confrontare Di× Dj , Di∗ Dj , Di∧ Dj . Similmente per Si× Sj , Si∗ Sj , Si∧ Sj. 1.9. Discutere le propriet`a di separazione delle topologie cofinita (aperti sono il vuoto e gli insiemi con complementare finito), escludente (aperti sono lo spazio e gli insiemi che non contengono un fissato punto), includente (aperti sono il vuoto e gli insiemi che contengono un fissato punto).
1.10. Dato X uno spazio topologico, studiare il suo duplicato (prodotto di X con {0, 1} dotato della topologia banale). Confrontarlo con il prodotto di X con {0, 1} dotato della topologia discreta, e con X t X.
1.11. Usando la somma amalgamata dell’intervallo [0, 1] con s`e stesso sulle mappe di inclusione di [0, 1), riconoscere un segmento con due teste. Inventare similmente un segmento con gli estremi doppi, e un circolo con uno o pi`u punti raddoppiati.
1.12. Descrivere le somme amalgamate di due inclusioni di Q, N, Z, R r N, R r Z in R. 1.13. Descrivere la somma amalgamata di X × R e Z sopra X × Z con le mappe evidenti (inclusione e proiezione su Z). Confontarlo con la somma amalgamata di X × [−1, 1] e Z sopra X × Z
usando la mappa (x, z) 7→ (x, 1/z) (per z 6= 0, (x, 0) altrimenti).
1.14. Scrivere e classificare tutte le sequenze di n lettere, ciascuna doppia ev. soprassegnata, come superficie reali compatte, per n = 1, 2, 3, 4. Per esempio, per n = 1: aa (piano proiettivo reale) e aa (sfera). Per n = 2: aabb, aabb, aabb, abab, abab, abab, abba, abba, abba.
1.15. Discutere una rappresentazione poligonale e/o come complesso cellulare dello spazio ottenuto dal cono di una circonferenza, identificando il vertice con un punto della circonferenza, e identificando il ciclo cos`’i ottenuto con la circonferenza stessa. Si tratta di una variet`a reale?
1.16. Le rette del piano proiettivo reale formano uno piano proiettivo reale. Le rette del piano affine reale formano un nastro di Moebius (aperto). Un modo `e vedere che il complementare di un punto nel piano proiettivo reale `e omeomorfo a un nastro di Moebius (aperto).
2. Problemi su omotopia e gruppo fondamentale.
2.1. Scrivere esplicitamente retratti di deformazione del toro bucato e dell’otre di Klein verso la somma puntata di due circonferenze.
2.2. Scrivere esplicitamente retratti di deformazione della sfera bucata verso un punto, e del piano proiettivo bucato verso una circonferenza.
2.3. Descrivere gruppo fondamentale e rivestimenti di un cilindro e di un nastro di Moebius. Per ogni n ∈ N si ottiene una superficie reale con bordo a partire dal quadrato unitario e identificando due lati opposti dopo aver torto n volte il quadrato (tenendo i due lati da identificare paralleli: n = 0 d`a il cilindro, n = 1 il nastro): discutere isomorfismi, tipo di omotopia, gruppo fondamentale e rivestimenti. 2.4. Descrivere gruppo fondamentale e rivestimenti di un cilindro infinito (senza bordo) e di un nastro di Moebius infinito (senza bordo): si ottengono al solito modo partendo da I × R.
2.5. Dal centro di una mela, n vermiciattoli scavano ciascuno una galleria verso l’esterno. Quando sono tutti usciti, qual `e il gruppo fondamentale e il tipo d’omotopia della mela? Che genere ha il suo bordo?
2.6. Determinare il gruppo fondamentale di un grappolo d’uva.
2.7. Mostrare che le superficie reali compatte“bucate”, cio`e private di un punto, hanno il tipo di omotopia di un bouquet di cerchi. Discuterne quindi il gruppo fondamentale e i rivestimenti.
2.8. Discutere le superficie reali compatte a cui siano stati tolti k punti.
2.9. Abbiamo che π1(X) `e abeliano sse gli isomorfismi tra i π1(X, x) non dipendono dai cammini scelti ma solo dagli estremi x.
2.10. Se esiste un punto e ∈ X e una funzione ϕ : X × X → X con ϕ(e, x) = x = ϕ(x, e) (per ogni x ∈ X) allora π1(X, e) `e commutativo.
2.11. Determinare la relazione tra π1(X, x) (visto come classi di omotoopia di mappe (S1, s) →(X, x)) e H(S1, X) (classi si omotopia di mappe S1→ X).
2.12. Mostrare che ogni endomorfismo di gruppo di π1(S1) proviene da una endomorfismo continuo di S1.
2.13. Se Y `e sottospazio di X, trovare condizioni sotto le quali la mappa π1(Y, y) → π1(X, y) sia iniettiva, suriettiva, isomorfismo.
2.14. Se x `e retratto di deformazione forte di X, allora ogni intorno U di x ammette un sottointorno V con inclusione V → U nullomotopa.
Disponendo a zig-zag infiniti pettini del topologo (o pettini razionali), trovare uno spazio che sia contraibile ma non retratto di deformazione di alcun suo punto.
2.15. Se X `e unione finita di S1 tangenti tra loro nel piano reale, descrivere i possibili tipi di omotopia.
2.16. Se X `e unione finita di S2 aventi a coppie al pi`u un punto comune, descrivere i possibili tipi di omotopia.
2.17. Se X `e semplicemente connesso, descrivere i rivestimenti univesali di X × Y e X ∨ Y . 2.18. Se X `e connesso per archi, allora X ∗ Y `e semplicemente connesso.
2.19. La restrizione (sulla base) di un rivestimento `e ancora un rivestimento? Di un rivestimento universale, resta un rivestimento universale? Relazioni con i gruppi fondamentali e di Galois dei rivestimenti?
2.20. Descrivere tipo di omotopia, gruppi fondamentali e rivestimenti universali, confrontandoli tra loro dei seguenti spazi: prodotto del grafo “∞” con D2, somma puntata di due tori solidi, bitoro solido, somma connessa di due tori solidi.
2.21. Descrivere tipo di omotopia, gruppi fondamentali e rivestimenti universali, confrontandoli tra loro dei seguenti spazi: prodotto del grafo “∞” con S1, somma puntata di due tori, somma connessa di due tori.
2.22. Descrivere tipo di omotopia, gruppi fondamentali e rivestimenti universali di R3 cui siano state tolte 1, 2, 3 rette, distinguendo a seconda della posizione reciproca delle rette. Cosa cambia usando P3
(R)?
2.23. Considerando lo spazio della matrici d’ordine 2 a coefficienti in R e in C, calcolare i gruppi fondamentali dei seguenti sottospazi: matrici di traccia nulla, matrici di determinante nullo, matrici di determinante 1, matrici triangolari superiori di determinante 1, matrici di determinate 1 e traccia nulla, matrici di determinate −1 e traccia nulla (non serve il teorema di Seifert Van Kampen).
3. Problemi sui complessi cellulari.
3.1. Descrivere tipo di omotopia, gruppi fondamentali, rivestimenti del piano R2 e della sfera S2 cui sono tolti n punti (per n ∈ N). Cosa pu`o succedere se si toglie una quantit`a numerabile di punti? Distinguere se questi formano un insieme discreto o meno...
3.2. Descrivere tipo di omotopia, gruppi fondamentali, rivestimenti del toro T cui sono tolti n punti (per n ∈ N).
3.3. Descrivere tipo di omotopia, gruppi fondamentali, rivestimenti di K e P2 cui sono tolti n punti (per n ∈ N).
3.4. Descrivere tipo di omotopia, gruppi fondamentali, rivestimenti della sfera S2 cui sono aggiunte n 1-celle (per n ∈ N).
3.5. Descrivere tipo di omotopia, gruppi fondamentali, rivestimenti del toro T cui sono aggiunte n 1-celle (per n ∈ N).
3.6. Descrivere tipo di omotopia, gruppi fondamentali, rivestimenti del piano proiettivo reale P2cui sono aggiunte n 1-celle (per n ∈ N).
3.7. Descrivere tipo di omotopia, gruppi fondamentali, rivestimenti dell’otre K cui sono aggiunte n 1-celle (per n ∈ N).
3.8. Descrivere sospensione e cono di un complesso cellulare.
3.9. Descrivere le operazioni tra spazi topologici fatte su complessi cellulari. 3.10. Descrivere la sfera S∞ = S
i>0Si (sottinsieme di R∞ = S
i>0Ri, usando le inclusioni Ri ,→ Ri+1 con equazione l’ultima coordinata) come complesso cellulare, usando due i-celle ad ogni passo i. Dimostrare che S∞ `e contraibile (sugg.: inclusioni non identiche di sfere sono funzioni nullomotope; tuttavia il modo tecnicamente pi`u facile di fare la contrazione `e in due tempi: prima shiftare a destra tutte le coordinate, che `e omotopo all’identit`a, e poi contrarre tutto al punto con prima coordinata 1).
3.11. Descrivere P∞(R) =S
i>0Pi(R) (esplicitare le inclusioni) come complesso cellulare (una i-cella ad ogni passo i). `E vero o falso che si tratta dell’insieme delle rette per l’origine di R∞ (vedi sopra). `E vero o falso che P∞(R) `e contraibile?
3.12. Dare possibili descrizioni di Sn
e Pn
(R) come complessi cellulari. Usare anche n = ∞. Come sono i sistemi dei gruppi fondamentali corrispondenti?
3.13. Il gruppo fondamentale del toro `e Z2, quello del toro solido `e Z: questo contraddice l’asserzione che il gruppo fondamentale di un complesso cellulare `e quello del suo 2-scheletro?
3.14. Discutere gruppi fondamentali e rivestimenti di S2
∨ P2 (R), P2 (R) ∨ P2 (R), S1 ∨ P2 (R). Cosa si pu`o dire in generale di X ∨ Y ?
3.15. Spazi con gruppo fondamentale isomorfo a Z: descrivere il pi`u esplicitamente possibile i rivestimenti e i loro automorfismi per i seguenti spazi: S1
, S2∨ S1
, S2 unito con una 1-cella tra polo nord N e polo sud S, S2
/N ∼ S (sfera con i due poli identificati), S2t{S,N }S2 (due sfere appiccicate per i rispettivi poli; notare che `e il rivestimento con due fogli di P2
(R) ∨ P2
(R)...), D2 unito con una 1-cella tra due punti diversi del bordo, il piano privato dell’origine, la sfera senza i due poli.
3.16. Dato uno spazio topologico X con rivestimento universale eX, mostrare che il cono privato del vertice C×(X) e la sospensione privata dei due vertici S×(X) hanno lo stesso gruppo fondamentale di X, e hanno rivestimenti universali rispettivamente C×( eX) e S×( eX).
3.17. Determinare i rivestimenti universali abeliani dei seguenti spazi: S1
∨ S1 , S1 ∨ S1 ∨ S1, otre di Klein K, P2 (R) ∨ P2 (R), S1 ∨ P2 (R).
3.18. Disegnare il rivestimento universale e il rivestimento universale abeliano di M2= T#T.
4. Problemi sui grafi.
4.1. Discutere eventuali isomorfismi, tipi di omotopie, gruppi fondamentali, rivestimenti dei seguenti spazi: somma puntata di una quantit`a numerabile di circonferenze, l’unione delle circonferenze del piano di centri (n1, 0) e raggi n1 (per n ∈ N: vortice di circonferenze), l’unione delle circonferenze del piano di centri (n, 0) e raggi n (per n ∈ N).
4.2. Discutere tipi di omotopie, gruppi fondamentali, rivestimenti per una circonferenza cui vengano aggiunte n 1-celle (per n ∈ N).
4.3. Discutere il gruppo fondamentale del grafo ottenuto da due alberi isomorfi identificando i vertici omologhi.
4.4. Discutere il gruppo fondamentale del grafo ottenuto da un albero identificando tutte le foglie in un punto.
4.5. Studiare il grafo con un vertice e due loop, in particolare i suoi rivestimenti: quello universale, quello associato al sottogruppo derivato di Z ∗ Z, quelli di ordini bassi, ...
4.6. Studiare analogamente i grafi con due vertici e due/tre lati.
4.7. Dato un complesso cellulare, che relazioni vi sono tra il rivestimento universale del suo 1-scheletro, e l’1-scheletro del suo rivestimento universale?