Genere e classificazione

3.1. _{Definizione (Genere Topologico).} Data una superficie S, definiamo il genere topologico di S come l’intero dato da:

g(S) =

(2 − χ(S)

2 ^{se S orientabile} 2 − χ(S) altrimenti. Dunque abbiamo che

χ(S) = 2 − 2g(S) se S orientabile 2 − g(S) altrimenti. 3.2. Esempi. 3.2.1. Sfera. g(S) = 0. 3.2.2. Toro. g(T) = 1. 3.2.3. Otre di Klein. g(K) = 2. 3.2.4. Piano proiettivo. g(P) = 1.

3.2.5. Somme connesse. g(S1#S2) = g(S1) + g(S2) se le superficie sono entrambe orientabili o entrambe non orientabili; g(S1#S2) = 2g(S1) + g(S2) se S1`e orientabile e S2 `e non orientabile (nel qual caso S1#S2 non `e orientabile). In particolare:

g(#n i=1T) = n, g(#n i=1P) = n, g(P#(#ⁿi=1T)) = 2n + 1, g(K#(#n i=1T)) = 2n + 2.

3.3. Teorema (di classificazione delle superficie reali compatte). A meno di omeomorfismi, le superficie reali compatte si classificano nel modo seguente: sfera (rappresentazione poligonale aa, genere 0), somma connessa di n tori (rappresentazioni poligonali a₁b₁a₁b₁· · · anb_na_nb_n, genere n), somma connessa di n piani proiettivi (rappresentazioni poligonali a₁a₁· · · a_na_n, genere n). Pensando in termini di genere: per g = 0 vi `e solo la sfera, per ogni genere g positivo vi sono due superficie, una orientabile (somma connessa di g tori) e una non orientabile (somma connessa di g piani proiettivi reali).

Equivalentemente: ogni superficie reale compatta orientabile `e una sfera oppure la somma connessa di n tori, e ogni superficie reale compatta non orientabile `e la somma connessa di una superficie reale orientabile e di un piano proiettivo o di un’otre di Klein.

La dimostrazione di questo teorema `e un esercizio di chirurgia delle superficie; bisogna mostrare che ogni superficie reale compatta si pu`o rappresentare con uno dei poligoni (modulo identificazione dei lati) che abbiamo visto essere delle forme canoniche per le somme connesse di tori e piani proiettivi. Procediamo in due passi, uno geometrico e uno algebrico:

Nel primo, si sceglie una triangolazione della superficie, e se ne ottiene un modello formato da un poligono piano con un numero pari di lati i quali devono essere a due a due identificati per ottenere la superficie di partenza. Questo si ottiene scegliendo un ordine nell’insieme dei triangoli tale che l’i-esimo triangolo τi abbia un lato in comune, sia ei, con almeno uno dei precedenti. Allora `e chiaro che possiamo disporre sul piano i triangoli euclidei (equilateri) in modo da rispettare la comunanza dei lati corrispondenti, ed ottenere una figura poligonale piana come detto, e tale che la superficie di partenza si ottiene come quoziente topologico del poligono (la mappa dal poligono alla superficie `e chiusa, poich´e `e mappa continua da un compatto ad uno spazio separato, quindi la superficie ha la topologia quoziente). Ora abbiamo un poligono con un numero pari di lati da identificare a due a due in uno dei due possibili modi; scegliendo un senso di percorrenza del bordo possiamo rappresentare la figura tramite una sequenza di lettere

abbcadcdef ef gg...

dove ogni lettera compare due volte e pu`o comparire semplice o soprallineata a seconda che si presenti nel verso di percorrenza o meno. Dobbiamo quindi, tramite chirurgia, ridurre questo simbolo a uno di quelli standard.

Nel secondo, si riducono tutte le possibili parole a quelle standard. Diciamo rappresentazione poligonale una qualsiasi sequenza di lettere, ciascuna occorrente due volte semplice o sovrallineata (come sopra, rappresentano i lati da identificare per ottenere la superficie dal poligono), e introduciamo le seguenti regole di equivalenza (usiamo le lettere romane per i lati, lettere greche per sequenze di lati):

(a) cancellazione: aa ∼ ∅ (rappresentazione poligonale della sfera); (b) ciclicit`a: aα ∼ αa;

(c) reversibilit`a: α ∼ α (il segnato di una sequenza `e la sequenza dei segnati nell’ordine inverso, e a = a);

(d) coppie concordi: αaβa ∼ αβaa (o equivalentemente, usando la reversione, αaβa ∼ αaaβ); (e) coppie discordi: αaββ⁰a ∼ αaβ⁰βa.

Le prime tre regole sono ovvie, le ultime due si giustificano con la chirurgia usuale: a a a^{0 β} α α β a a⁰ a⁰ e a a a^{0 β} β⁰ α α β β⁰ a a⁰ a⁰ Facciamo subito notare alcune conseguenze facili:

(d⁰) la regola per le coppie concordi si generalizza facilmente in

αaββ⁰a ∼ αβ⁰aβa ∼ αaβ⁰aβ ∼ αβ⁰aaβ

Osserviamo anche che le regole (d) ed (e), usando la ciclicit`a, si generalizzano lasciando invariata una eventuale coda γ, cio`e: αaβaγ ∼ αβaaγ e αaββ0aγ ∼ αaβ0βaγ.

(f ) Blocchi completi (cio`e, per ogni lettera contengono la gemella) di lettere sono mobili (giustifi-cazione euristica: si tratta di una superficie sommata-connessa, quindi si pu`o spostare dove si vuole): basta dimostrarlo per piani proiettivi e tori. Per i piani proiettivi `e facile: αaaβ ∼ αβaa (passando attraverso αaβa), e si generalizza in αaaβγ ∼ αβaaγ. Per i tori abbiamo αababβ ∼ αβabab perch´e

e si generalizza in αababβγ ∼ αβababγ. Segnaliamo anche le facili osservazioni che:

(1) K = P#P perch´e aabb ∼ abab;

(2) T#P = P#P#P perch´e aabbcc ∼ abacbc ∼ ab bc ac;

(3) di conseguenza risulta T#P = K#P, ma non si pu`o cancellare P. Vediamo allora la dimostrazione del teorema di classificazione:

(1) possiamo prima di tutto associare e scorporare tutte le coppie di lettere concordi che compaiono: si tratta di una somma connessa di piani proiettivi:

αaβaγ ∼ αβaaγ ∼ αβγaa e restano allora solo coppie discordi;

(2) se una coppia discorde `e separata da un’altra coppia discorde, possiamo associarle in un toro e scorporarlo:

αaβbγaδbε ∼ αabγβaδbε ∼ ababεαδγβ e si continua con εαδγβ fino a scorporare tutti i tori possibili;

(3) restano allora solo coppie discordi, non divise da altre coppie discordi: facendo induzione sulla distanza tra le due occorrenze di una lettera si arriva ai casi aa che si cancellano.

(4) Se si sono trovati solo tori, abbiamo finito. Se c’era anche solo un piano proiettivo possiamo usare la formula di somma connessa di tre piani proiettivi per trasformare tutto in una somma di piani proiettivi. Si osservi per inciso che possiamo capire subito se una parola d`a luogo ad una superficie non orientabile: deve avere almeno una coppia concorde.  3.4. Teorema (di classificazione delle superficie reali compatte, seconda forma). Due superficie reali compatte sono omeomorfe se e solo se sono entrambe orientabili o entrambe non orientabili, e hanno lo spesso genere oppure hanno la stessa caratteristica di Eulero-Poincar´e.

3.5. Significati topologici. In particolare, ogni superficie reale compatta orientabile di genere n `e omeomorfa ad una sfera con n manici, oppure a un toro con n buchi (primo significato topologico del genere). E ogni superficie reale compatta non orientabile di genere n `e omeomorfa alla somma connessa di un toro con n buchi con un piano proiettivo oppure con un’otre di Klein?

Il genere n di una superficie si pu`o interpretare topologicamente in questi termini:

3.5.1. n `e il massimo numero di cammini chiusi disgiunti che si possono togliere da una superficie, facendo in modo che rimanga ancora uno spazio connesso.

3.5.2. 2n `e il massimo numero di cammini chiusi senza componenti comuni che si possono togliere da una superficie, facendo in modo che rimanga ancora uno spazio connesso.

3.6. Problema. Studiare la superficie che si ottengono dai seguenti simboli per poligoni: 3.6.1. a₁a₂· · · an−1a_na₁a₂· · · an−1a_n (`e una somma connessa di n piani proiettivi); 3.6.2. a<sub>1</sub>a<sub>2</sub>· · · a<sub>n−1</sub>a<sub>n</sub>a<sub>1</sub>a<sub>2</sub>· · · a<sub>n−1</sub>a<sub>n</sub> (`e una somma connessa di [n/2] tori).

3.7. _Problema. Nel caso di superficie compatte non orientabili, che cosa si pu`o dire del significato topologico del genere? In particolare, se il genere `e n, quanti “buchi” ha la superficie?

3.8. Problema. Ogni parola con tutte le lettere doppie d`a una superficie reale compatta? 3.9. Problema. Ogni parola d`a una superficie reale compatta?