Retrazioni e retratti

2.1. Retrazioni.

2.1.1. Un sottospazio S di X si dice retratto di X se l’inclusione i ammette una inversa sinistra continua p (pi = id_S). La funzione r = ip di X in s´e si dice retrazione (vale r(x) ∈ S per x ∈ X, r(x) = x sse x ∈ S). L’esistenza di p inversa destra continua di i equivale all’esistenza della retrazione r.

2.1.2. I retratti di un hausdorff sono chiusi (essendo il luogo di coincidenza di due funzioni continue, identit`a e retrazione).

2.2. Retratti di deformazione.

equivalenza omotopica (in particolare, non `e detto che sia un retratto: si chiede solo pi ∼ idS, non necessariamente =, e ip ∼ idX).

2.2.2. Si dice un retratto di deformazione (forte) se esiste una retrazione di X su S omotopa alla identit`a di X (relativamente ad S). Di conseguenza, l’inclusione `e una equivalenza omotopica (il viceversa `e falso).

2.2.3. Retratto di deformazione forte implica retratto di deformazione, che implica sia retratto di deformazione debole, sia retratto; tra queste due nozioni non vi sono implicazioni dirette.

2.2.4. _{Estensione delle omotopie. Per una coppia (X, S), si dice che vale la propriet`}a di estensione delle omotopie se per ogni mappa f : X → Y e ogni omotopia H₀ : S × I → Y con H0(s, 0) = f (s), esiste una omotopia H : X × I → Y con H0(x, 0) = f (x) che estende H0.

2.2.5. Una coppia (X, S) ha la propriet`a di estensione delle omotopie sse il cilindro mappante dell’inclusione S ,→ X (unione di X × {0} e S × I) `e un retratto di X × I (cilindro di X).

2.2.6. In particolare, se la condizione `e vera, se S `e contraibile allora la proiezione X → X/S `e equivalenza omotopica. Si osservi che questo `e falso senza ipotesi: in generale non vi sono relazioni tra il fatto che S sia contraibile e il fatto che X e X/S siano omotopicamente equivalenti (cio`e quozientare con un sottinsieme contraibile pu`o cambiare il tipo di omotopia: pensare a due pettini del topologo uniti in modo da dare uno spazio non contraibile).

 2.2.7. Se (X, S) e (Y, S) sono coppie con la propriet`a di estensione delle omotopie, e se f : X → Y `e una equivalenza omotopica identica su S, allora f `e una equivalenza omotopica relativamente a S.

In particolare, se S ,→ X `e equivalenza omotopica con la propriet`a di estensione delle omotopie, allora S `e un retratto di deformazione forte di X.

 2.2.8. Una mappa f : X → Y `e una equivalenza omotopica sse X `e retratto di deformazione forte del cilindro mappante di f .

 2.2.9. Due spazi sono omotopicamente equivalenti sse sono contenuti in un terzo di cui en-trambi sono retratti di deformazione forte. Quindi la relazione di omotopia `e la relazione di equivalenza generata da quella di retratto di deformazione forte.

3. Applicazioni.

3.1. Esempi.

3.1.1. Ogni punto di ogni spazio `e un retratto dello spazio, ma `e un retratto di deformazione sse lo spazio `e contraibile.

3.1.2. Il pettine del topologo `e contraibile relativamente a ogni punto. Tutti i punti sono retratti di deformazione del pettine, di deformazione forte?

3.1.3. Due pettini del topologo incollati in punti di non contraibilit`a formano uno spazio connesso per archi ma non contraibile.

3.1.4. La palla Bn `e retratto di deformazione forte di Rn, la palla aperta `e retratto di defor-mazione debole di Rn

(ma non retratto) e la sfera Sn−1`e retratto di deformazione forte di Rn

r {0} (e anche di Bn

r {0}).

3.1.5. Se S `e contraibile contenuto in X pure contraibile, allora S `e retratto di deformazione debole di X, ma non necessariamente un retratto: per esempio il pettine del topologo contenuto nel quadrato, oppure la palla aperta unitaria contenuta in Rⁿ.

3.2. Caso delle sfere.

Siano S la sfera unitaria e B la palla unitaria di uno spazio normato.

3.2.1. Due mappe f, g ∈ C(X, S) mai antipodali sono omotope relativamente al luogo di coincidenza. Quindi ogni mappa non suriettiva `e nullomotopa.

3.2.2. Per ogni funzione f ∈ C(S, Y ): f `e nullomotopa (anche relativamente ad un assegnato punto) sse f ammette una estensione continua F ∈ C(B, Y ). Basta infatti passare da omotopia ad estensione sulla palla tramite S × I  C(S) ∼= B, la mappa essendo (x, t) 7→ ((1 − t)x, t).

In particolare: la sfera `e contraibile sse esiste una retrazione della palla sulla sfera (suo bordo): basta usare la mappa identica della sfera (nullomotopa sse si estende alla palla). Le sfere sono con-traibili negli spazi Banach di dimensione infinita.

3.2.3. Per le sfere in dimensione finita, sono veri ed equivalenti: • Non contraibilit`a della sfera: la sfera Sn non `e contraibile.

• Non retrazione della palla sulla sfera: non esistono retrazioni continue dell’inclusione della sfera Sn nella sua palla.

• Teorema del punto unito di Brouwer per funzioni continue della palla in s`e: <sup>ogni</sup> funzione continua della sfera Bn in s`e ammette un punto unito.

(e gli analoghi enunciati usando funzioni di classe qualsiasi, invece che solo continue: usando il teorema di Stone-Weierstrass si vede che il teorema di Brouwer `e vero nel caso continuo sse `e vero per un’altra classe).

Per vedere che le ultime due condizioni sono equivalenti: data ϕ senza punti uniti, definiamo r : Bn+1

→ Sn intersecando la semiretta aperta da ϕ(P ) verso P con la sfera; data una retrazione r, possiamo usare −i ◦ r oppure (id − r)/2 come continue prive di punti uniti.

Per dimostrare la non retrazione potremo usare degli invarianti algebrici: n = 0 per connessione, n = 1 usando il π1, n usando il πn. Ma possiamo gi`a ora dare una dimostrazione elementare: suppo-nendo di avere una retrazione differenziabile potremmo dedurre che il volume (n + 1)-dimensionale di B<sup>n+1</sup>`e nullo, che `e assurdo.

3.3. Applicazioni ai complessi cellulari.

3.3.1. Per le coppie di un complesso cellulare ed un suo sottocomplesso la propriet`a di estensione delle omotopie vale (basta mostrare che il cilindro di una cella ha come retratto di deformazione la cella stessa e il cilindro del suo bordo; per questo basta una proiezione da un punto sovrastante il cilindro).

3.3.2. Se (X, S) `e una coppia di complessi cellulari, e S `e contraibile, allora X → X/S `e equivalenza omotopica. Dunque X/S ∼= (X ∪ C(S))/C(S) ∼ X ∪ C(S) (perch´e C(S) `e sempre contraibile).

Se S e T sono sottocomplessi contraibili, allora X/S ∼ X/T . In particolare S2

/S0

∼ S2

∨ S1 (ma non ∼=; introdurre una 1-cella incollata ad S⁰, e una “parallela” in S2

), e in generale Sn

/Si

∼ Sn

∨ Si+1

per i < n. Una superficie torica con n dischi meridiani `e omotopicamente equivalente alla somma puntata ciclica di n dischi, ovvero alla somma puntata di un cerchio e di n dischi.

3.3.3. Se (X, S) `e una coppia di complessi cellulari, e f, g : S → Y sono mappe omotope, allora X tS,fY e X tS,gY sono omotopicamente equivalenti.

In particolare, se S `e contaibile in X (cio`e l’inclusione `e omotopa all’inclusione d’un punto), X/S ∼ X ∪ C(S) ∼ X ∨ S(S). Per esempio, Sn

/Si ∼ Sn∨ Si+1 per i < n. 3.4. Gioco.

Due superficie reali X, Y immerse in Rn si dicono omotope, o topologicamente equivalenti, se esiste una applicazione continua ϕ : [0, 1] × X −→ Rn

tale che ϕ(0, ·) sia l’immersione di X in Rn, ϕ(1, ·) sia un omeomorfismo di X su Y , e per ogni t si abbia un omeomorfismo di X in Xt= im ϕ(t, ·). Si tratta di avere un “disegno animato” che trasforma X in Y senza ricorrere a tagli, strappi, cuciture o altri accidenti discontinui.

Si considerino allora le seguenti superficie immerse in R3, e si dica quali sono equivalenti tra loro, e quali no, giustificando le risposte positive tramite qualche fotogramma del “disegno animato”:

Due tori:

Un bitoro:

Un toro e un bitoro:

Immaginarsi tutte le configurazioni possibili di due bitori tipo quello rosso. Per esempio:

Si osservi invece che tutte le configurazioni precedenti di superficie possono essere “sciolte” in R⁴: in particolare il miglior strumento per un ladro di biciclette sembra essere una palla aperta di R4