Anno accademico 2015/16 - Temi d’esame: Geometria Differenziale

Temi d’esame: Geometria Differenziale

4. Anno accademico 2015/16

e generatrice1^t 0 .

(a) Usando come parametri t e s, si scrivano delle parametrizzazioni per σ; si trovi una equazione cartesiana per σ.

(b) Determinare le matrici di prima e seconda forma fondamentale di σ.

(d) Determinare le linee asintotiche di σ e le linee ortogonali alle linee coordinate della parametriz-zazione σ.

(e) Determinare le equazioni differenziali delle linee geodetiche di σ; vi sono le soluzioni evidenti di questo sistema? Vero o falso che σ `e localmente isometrica al piano euclideo?

3.5. Sia data la superficie rigata σ con direttrice ^{cos t}sin t 0 e generatricecos t⁰ sin t .

(a) Usando come parametri t e s, si scrivano delle parametrizzazioni per σ; si trovi una equazione cartesiana per σ.

(b) Determinare le matrici di prima e seconda forma fondamentale di σ.

(d) Determinare le linee asintotiche di σ e le linee ortogonali alle linee coordinate della parametriz-zazione σ.

(e) Determinare le equazioni differenziali delle linee geodetiche di σ; vi sono soluzioni evidenti di questo sistema? Vero o falso che σ `e localmente isometrica al piano euclideo?

3.6. Sia data la superficie rigata σ con direttrice t^t3 0 e generatrice⁰1 t .

(a) Usando come parametri t e s, si scrivano delle parametrizzazioni per σ; si trovi una equazione cartesiana per σ.

(b) Determinare le matrici di prima e seconda forma fondamentale di σ.

(d) Determinare le linee asintotiche di σ e le linee ortogonali alle linee coordinate della parametriz-zazione σ.

(e) Determinare le equazioni differenziali delle linee geodetiche di σ; vi sono soluzioni evidenti di questo sistema? Vero o falso che σ `e localmente isometrica al piano euclideo?

3.7. Sia data la superficie rigata σ con direttrice ^{cos t}sin t t

e generatrice^{− sin t}cos t 1

(a) Usando come parametri t e s, si scrivano delle parametrizzazioni per σ; si trovi una equazione cartesiana per σ.

(b) Determinare le matrici di prima e seconda forma fondamentale di σ.

(d) Determinare le linee asintotiche di σ e le linee ortogonali alle linee coordinate della parametriz-zazione σ.

(e) Determinare le equazioni differenziali delle linee geodetiche di σ; vi sono soluzioni evidenti di questo sistema? Vero o falso che σ `e localmente isometrica al piano euclideo?

4. Anno accademico 2015/16.

4.1. Sia γ(s) una curva biregolare unitaria in R3 (t(s), n(s), b(s) il suo riferimento di Frenet, κ(s) e τ (s) curvatura e torsione, supposte entrambe mai nulle).

(a) Esistono curve β che abbiano il versore b(s) come versore tangente? Determinare riferimento di Frenet, curvatura e torsione di tali curve.

(b) Esistono curve α che abbiano il versore n(s) come versore tangente? Determinare riferimento di Frenet, curvatura e torsione di tali curve.

(c) Le curve dei punti precedenti sono uniche, eventualmente a meno di quali trasformazioni? Esse determinano la curva di partenza γ, eventualmente a meno di quali trasformazioni?

Risultati.

(a) per trovare β(s) basta integrare b(s), e risulta quindi una curva unitaria; scrivendo tutto nella base t, n, b e usando le equazioni di Frenet di γ abbiamo:

β⁰= b tβ= b β⁰⁰= b⁰= −τ n nβ= ±n β⁰⁰⁰= −(τ n)⁰ = −τ⁰n − τ n⁰ bβ= ∓t = κτ t − τ⁰n − τ²b β⁰× β00= τ t κ_β= |τ | τ_β= κ

(b) per trovare α(s) basta integrare n(s), e risulta quindi una curva unitaria; scrivendo tutto nella base t, n, b e usando le equazioni di Frenet di γ abbiamo:

α⁰ = n tα= n α⁰⁰= n⁰= −κt + τ b nα=√^{−κt+τ b} κ2+τ2 α⁰⁰⁰ = (−κt + τ b)⁰ = −κ⁰t − κt⁰+ τ⁰b + τ b⁰ b_α= √τ t+κb κ2+τ2 = −κ⁰t − (κ2+ τ2)n + τ⁰b α⁰× α00= τ t + κb κα=√ κ2+ τ2 τα=^κτ 0− κ0τ κ2+ τ2 =^κ 2(τ /κ)⁰ κ2+ τ2 = ^{(τ /κ)} 0 1 + (τ /κ)2

D’altra parte β determina κ e τ (a meno del segno?), usando le equazioni di Frenet come visto, quindi determina γ a meno di isometrie dello spazio. Tenendo conto che β determina anche il versore binormale, a meno di casi particolari si ricostruisce γ a meno di traslazioni.

Invece α determina κ²+ τ²e (τ /κ)⁰/(1 + (τ /κ)²), che non permette di determinare univocamente κ e τ in generale. D’altra parte due eliche circolari ^{a cos ϑ}a sin ϑ

con diversi parametri a hanno lo stesso campo normale principale, ma non sono isometriche (si ottengono per dilatazioni sul piano orizzontale: due tali eliche si usano per una scala a chiocciola). Se però il rapporto τ /κ non è costante, possiamo ottenere arctan(τ /κ) integrando τ_α(l’eventuale costante di integrazione può essere assorbita da una riparametrizzazione?), e quindi determinare curvatura e torsione di γ, quindi γ a meno di isometrie dello spazio. Tenendo conto che α determina anche il versore normale, a meno di casi particolari si ricostruisce γ a meno di traslazioni.

4.2. Si consideri la superficie σ formata dalla unione delle rette tangenti all’elica cilindrica cos ϑ

sin ϑ ϑ

con ϑ ∈ R. Scrivere una parametrizzazione di σ usando come parametri u e ϑ. (a) Determinare le matrici di prima e seconda forma fondamentale di σ.

(b) Determinare la matrice dell’applicazione di Weingarten, e la curvatura K di σ; che tipi di punti vi sono su σ?

(d) Determinare le linee asintotiche di σ e le linee di curvatura su σ.

(e) Determinare le equazioni differenziali delle linee geodetiche di σ; vi sono soluzioni evidenti di questo sistema? La superficie `e localmente isometrica al piano?

Risultati. Scriviamo (u, ϑ) ∈ R^×× R: σ(u, ϑ) =^{cos ϑ−u sin ϑ}sin ϑ+u cos ϑ ϑ+u

. (a) Applichiamo lo yoga standard:

σu=^{− sin ϑ}cos ϑ 1

σϑ=^{− sin ϑ−u cos ϑ}cos ϑ−u sin ϑ 1 n =√¹ 2 sin ϑ − cos ϑ 1 GI =²_{2 2+u}²2 σuu=⁰0 0

σuϑ=^{− cos ϑ}− sin ϑ 0

σϑϑ =^{− cos ϑ+u sin ϑ}− sin ϑ−u cos ϑ 0 GII =√¹ 2 0 0 0 u (abbiamo supposto u > 0).

(b) Abbiamo K identicamente nullo, matrice di Weingarten L = G⁻¹_I GII = ¹

u√ 2

0 −1

0 1 da cui si deduce che tutti i punti sono parabolici.

(c) Impostando le condizioni di ortogonalit`a, cerchiamo le curve descritte da (u(t), ϑ(t)) tali che: (u⁰ϑ⁰)GI 1 0 = 0 u⁰+ ϑ⁰ = 0 u = −ϑ + c e (u⁰ ϑ⁰)GI 0 1 = 0 u⁰+ (2 + u²)ϑ⁰ = 0 √ 2 arctan(u/√ 2) = −ϑ + c

(d) Le linee asintotiche sono quelle che hanno come direzione tangente vettori isotropi di G_II: si tratta chiaramente delle curve con ϑ⁰ = 0, ovvero le prime linee coordinate della parametrizzazione (che sono rette).

Quelle stesse rette sono anche linee di curvatura (per la curvatura principale nulla), mentre l’altra famiglia di linee di curvatura, dovendo essere ortogonali alle precedenti, sono gi`a state trovate al punto precedente.

(e) Il sistema di equazioni differenziali per le linee geodetiche `e il seguente: (

(u⁰+ ϑ⁰)⁰= uϑ⁰² (2u⁰+ (2 + u²)ϑ⁰)⁰ = 0

chiaramente risolto dalle rette contenute in σ (ϑ⁰= 0, le equazioni si riducono a u⁰⁰= 0). Trattandosi di una sviluppabile, essa `e localmente isometrica al piano: si pu`o confrontarla con il sottinsieme del piano formato dalla unione delle tangenti alla circonferenza di raggio 2 (curvatura dell’elica essendo 1/2): per vedere subito la stessa prima forma fondamentale, che per σ “quasi non dipende” dalla terza coordinata, bisogna o usare le curve in parametrizzazione d’arco, op-pure parametrizzare la circonferenza con 2 ^cos(ϑ/

√ 2) sin(ϑ/√

2) per avere stessa curvatura e stessa velocit`a dell’elica di partenza.

4.3. Sia data la superficie di rotazione σ con profilo x = 2 + sin z (attorno all’asse delle z). (a) Si scrivano delle parametrizzazioni per σ e si trovi una equazione cartesiana per σ.

(b) Determinare le matrici di prima e seconda forma fondamentale di σ.

(d) Determinare le linee asintotiche di σ e le linee lossodromiche di σ (curve che formano angolo costante con i profili).