Teoria di Galois dei rivestimenti

4.1. Automorfismi di rivestimenti.

4.1.1. Dato un rivestimento p : Y → X definiamo G(p) = G(Y /X) il gruppo delle trasformazioni di rivestimento, cio`e degli automorfismi di Y che commutano con p (si chiama anche gruppo di Galois del rivestimento p). Esso agisce liberamente e propriamente su Y . La mappa Y → Y /G(Y /X) `e sempre un rivestimento, come pure Y /G(Y /X) → X (che `e omeomorfismo sse il rivestimento p `e normale).

4.1.2. Naturalmente le trasformazioni di rivestimento agiscono sulle fibre del rivestimento, ed `e l’identit`a sse induce l’identit`a su una (e allora ciascuna) fibra.

4.1.3. Rivestimenti normali. Un rivestimento `e normale se vale una delle seguenti condizioni (equivalenti tra loro):

(0) `e isomorfo a uno del tipo Y → Y /G con G gruppo discreto con azione propriamente discontinua su Y ,

(1) X `e omeomorfo a Y /G(Y /X);

(2) il gruppo delle trasformazioni di rivestimento G(Y /X) agisce in modo transitivo su una (e allora ciascuna) fibra;

(3) il suo gruppo fondamentale `e normale nel gruppo fondamentale della base,

(4) ogni elemento del gruppo fondamentale della base si rialza a cammini che sono sempre chiusi o sempre aperti (indipendentemente dal punto iniziale scelto per il rialzamento).

Inoltre ogni endomorfismo di un rivestimento normale `e un automorfismo.

L’equivalenza di (1) e (2) `e ovvia; quella di (2) e (3) `e facile tenendo conto che gruppi fondamentali di punti di una fibra sono coniugati (nel gruppo della base); (2) implica (4) `e ovvio: basta rialzare un cammino e spostarlo con l’azione del gruppo; (4) implica (3) `e facile: rialzamenti dei coniugati di un rialzamento chiuso sono chiusi.

4.1.4. Rivestimenti abeliani. Un rivestimento Y di X si dice abeliano se `e normale e G(Y /X) `e abeliano. Se X ammette rivestimento universale eX, allora ammette anche un rivestimento abeliano universale (nel senso che ogni altro rivestimento abeliano ne `e un quoziente modulo un sottogruppo del suo gruppo di trasformazioni di rivestimento), e si realizza come quoziente Xab= eX/G<sup>0</sup> dove G<sup>0</sup> `e il sottogruppo derivato di G = G( eX/X) ∼= π1(X).

4.2. Relazioni con i gruppi fondamentali.

4.2.1. Compatibilit`a di G(Y /X) con l’azione sulle fibre di π1(X). Sulle fibre di un rivestimento Y di X agiscono due gruppi: G(Y /X) a sinistra, e il gruppo fondamentale (basato sull’immagine della fibra) a destra, e le due azioni sono compatibili. In particolare, G(Y /X) agisce sulle fibre con applicazioni equivarianti per l’azione del gruppo fondamentale.

4.2.2. Il gruppo G(Y /X) `e naturalmente isomorfo al gruppo delle trasformazioni equivarianti (per l’azione del gruppo fondamentale) di una (ognuna) fibra del rivestimento.

4.2.3. Se p : Y → X `e rivestimento qualsiasi, allora abbiamo una sequenza esatta di gruppi: 1 −→ π₁(Y ) −→ N (π₁(Y )) −→ G(Y /X) −→ 1

e in particolare G(Y /X) ∼= N (π1(Y ))/π1(Y ), dove N (π1(Y )) `e il normalizzante di π1(Y ) in π1(X). 4.2.4. Se p : Y → X `e rivestimento normale, allora l’inclusione dei gruppi fondamentali e la mappa naturale verso G(Y /X) danno una sequenza esatta di gruppi:

1 −→ π1(Y ) −→ π1(X) −→ G(Y /X) −→ 1 e in particolare G(Y /X) ∼= π1(X)/p_◦π1(Y ).

4.2.5. In particolare, per il rivestimento universale eX vale che G( eX/X) = π1(X), e dunque la sequenza si pu`o vedere come

1 −→ G( eX/Y ) −→ G( eX/X) −→ G(Y /X) −→ 1 e perci`o G(Y /X) ∼= G( eX/X)/G( eX/Y ).

4.3. Teoremi fondamentali.

4.3.1. Corrispondenza di Galois. Sia Υ un rivestimento connesso normale di X. Allora c’`e una corrispondenza biunivoca (isomorfismo di reticoli) tra classi di isomorfismo di rivestimenti intermedi e classi di coniugio di sottogruppi del gruppo G(Υ/X); a rivestimenti normali corrispondono sottogruppi normali.

Ad ogni rivestimento Y intermedio tra Υ e X viene associato il sottogruppo G(Υ/Y ), e ad ogni sottogruppo H di G(Υ/X) viene associato il rivestimento Υ/H.

4.3.2. La stessa corrispondenza d`a luogo ad una corrispondenza biunivoca tra il reticolo dei rivestimenti puntati intermedi e il reticolo dei sottogruppi del gruppo G(Υ/X).

4.3.3. La verifica delle corrispondenza si ottiene mostrando la buona definizione modulo isomor-fismi di rivestimenti, e poi che le due mappe sono una l’inversa dell’altra verificando che le composizioni diano le identit`a.

L’affermazione sulla normalit`a `e facile se si suppone che esista il rivestimento universale: allora Y su X `e di Galois sse π1(Y ) `e normale in π1(X), sse i quozienti modulo π1(Υ) idem, sse G(Υ/Y ) `e nor-male in G(Υ/X). Ma si pu`o anche dimostrare direttamente senza ipotesi di esistenza del rivestimento universale.

Da un lato, se si suppone r : Y → X normale (q : Υ → Y e composto p = rq : Υ → X) mostriamo che G(Υ/Y ) `e normale in G(Υ/X): basta vedere che per f ∈ G(Υ/Y ) e h ∈ G(Υ/X) si ha hf h<sup>−1</sup>∈ G(Υ/Y ), cio`e qhf h⁻¹ = q. Se y ∈ Υ, da py = ph⁻¹y segue rqy = rqh⁻¹y, e per ipotesi esiste σ ∈ G(Y /X) con qy = σqh⁻¹y, e quindi qh = σq (sono due rialzamenti di p coincidenti in y). Allora abbiamo qhf h⁻¹= σqf h⁻¹= σqh⁻¹ = qhh⁻¹= q.

Dall’altro lato supponiamo G(Υ/Y ) normale in G(Υ/X), e mostriamo che l’azione di G(Y /X) `e transitiva sulle fibre di Y . Come preliminare, costruiamo (usando l’ipotesi di normalit`a) una funzione δ : G(υ/X) → G(Y /X); ad ogni h ∈ G(υ/X) associamo la sua fattorizzazione δ(h) ∈ G(Y /X) attraverso q, cio`e qh = δ(h)q (esiste perch´e se y, η ∈ Υ con qy = qη, allora η = τ y con τ ∈ G(Υ/Y ) da cui qhη = qhσy = qhσh<sup>−1</sup>hy = qhy, donde la fattorizzazione). Ora, se y<sup>0</sup> = qy e η<sup>0</sup> = qη sono in Y con ry<sup>0</sup> = rη<sup>0</sup>, abbiamo rqy = rqη, quindi per normalit`a esiste h ∈ G(Υ/X) con η = hy, da cui η⁰ = qη = qhy = δ(h)qy = δ(h)y⁰ (che d`a la transitivit`a voluta).

 4.3.4. Corrispondenza di Galois-Grothendieck. C’`e una corrispondenza biunivoca tra rivestimenti di X e rappresentazioni del gruppo fondamentale π1(X) (ad ogni rivestimento associa l’azione del gruppo sulla fibra, viceversa?); a rivestimenti connessi corrispondono azioni transitive; a rivestimenti normali corrispondono rappresentazioni associate alle classi di sottogruppi normali. Inoltre morfismi di rivestimento corrispondono biiettivamente a morfismi tra le corrispondenti rapp-resentazioni.

4.4. Analogia Galois algebrico - Galois topologico. 4.4.1.

Galois algebrico Galois topologico estensioni di K rivestimenti di X

automorfismi di L che fissano K automorfismi di Y che commutano su X

gruppo di Galois G(L/K) gruppo di automorfismi di rivestimento G(Y /X) estensioni normali Ω: rivestimenti normali Υ:

[Ω/K] ←→ L(G(Ω/K)) L −→ G(Ω/L) Ω^H ←− H [Υ/X] ←→ L(G(Υ/X)) Y −→ G(Υ/Y ) Υ/H ←− H

e allora G(L/K) = G(Ω/K)/G(Ω/L) e allora G(Y /X) = G(Υ/X)/G(Υ/Y ) Ω G(Ω/K)      | G(Ω/L) L | G(L/K) K Υ G(Υ/X)      | G(Υ/Y ) Y | G(Y /X) X

chiusura algebrica di K rivestimento universale di X

4.4.2. Il motivo profondo per cui le mappe sono inclusioni (estensioni di campi) nel lato algebrico e suriezioni (rivestimenti) nel lato topologico `e che il dizionario algebra-geometria `e controvariante: per passare da oggetti geometrici come gli spazi ad oggetti algebrici si usano le funzioni dagli spazi in qualche struttura semplice, quindi mappe tra spazi inducono mappe tra le funzioni in senso inverso per composizione (e mandando mappe suriettive in mappe iniettive).

Nel caso per esempio delle Superficie di Riemann si usano i campi delle funzioni meromorfe sulla superficie; allora la teoria di Galois delle estensioni di questi campi corrisponde alla teoria di Galois dei rivestimenti (ramificati) di Superficie di Riemann.

5. Applicazioni.

5.1. Applicazione alle variet`a reali.

5.1.1. Rivestimenti di variet`a reali sono canonicamente variet`a reali (e il rivestimento mappa di variet`a). Le variet`a reali sono localmente contraibili, dunque ammettono rivestimenti universali.

5.1.2. Rivestimenti di M e M r N con N sottovariet`a di M : se N ha codimensione almeno 2 ogni mappa tra restrizioni ad M r N di rivestimenti di M si estende ai rivestimenti; se N ha codimensione almeno 3 ogni rivestimento di M r N si estende ad un rivestimento di M .

5.1.3. Gruppi fondamentali di M e M r N con N sottovariet`a di M : la mappa canonica π1(M r N ) → π1(M ) `e suriettiva (risp. biiettiva) se N ha codimensione almeno 2 (risp. 3).

5.2. Applicazione ai gruppi topologici.

5.2.1. Rivestimenti di gruppi topologici connessi e localmente connessi per archi sono gruppi topologici e la mappa di rivestimento un morfismo di gruppi.

5.2.2. Gruppi classici. Rivestimenti universali (quindi con due fogli) di SOn(R) per n > 2. Il gruppo H1 dei quaternioni unitari (isomorfo ad S3) `e rivestimento con due fogli, quindi universale, di SO<sub>3</sub>(R) (tramite azione sui quaternioni reali H0∼= R<sup>3</sup>per coniugio: q agisce con r 7→ qrq); il prodotto H1× H1 `e rivestimento con due fogli, quindi universale, di SO₄(R) (tramite azione sui quaternioni H∼= R⁴: (p, q) agisce con r 7→ prq); in generale vi sono rivestimenti con i gruppi di Clifford.

5.3. Applicazione alle superficie reali compatte.

Conviene realizzare le superficie in questione come quozienti del piano reale o di una striscia, modulo l’azione di un gruppo discreto (traslazioni e/o riflessioni). Ovviamente la sfera `e rivestimento universale (e unico) di s`e stassa.

5.3.1. Cilindri. Il cilindro infinito `e quoziente del piano modulo il gruppo delle traslazioni generato da e1; il cilindro finito `e quoziente di una striscia R × I modulo lo stesso gruppo. Quindi i loro rivestimenti finiti sono tutti cilindri (infiniti o finiti, rispettivamente). D’altra parte, il cilindro infinito `e R×S1

, quello finito I × S1

, e quindi i loro rivestimenti si ottengono da quelli di S1

(R essendo il rivestimento universale, con gruppo di trasformazioni generato dalle traslazioni intere).

5.3.2. Moebius. Il nastro di Moebius infinito `e quoziente del piano modulo il gruppo generato da una “traslazione di e1 con inversione lungo e2”; quello finito usando una striscia R × I. Quindi i loro rivestimenti sono cilindri o nastri di Moebius a seconda dell’ordine pari o dispari di fogli.

5.3.3. Tori. Un toro `e quoziente del piano modulo le traslazioni generate da σ = e1 ed τ = e₂; i suoi rivestimenti finiti sono sempre tori, quelli infiniti cilindri. I sottogruppi facili da vedere sono

quelli generati da potenze dei generatori: hσ^mi, hτni (cilindri), hσm, τⁿi (tori) e hσmτⁿi (cilindri storti se mn 6= 0).

Per trovare tutti i sottogruppi, basta osservare come intersecano il sottogruppo normale generato da σ (risp. τ ) e che immagine hanno nel quoziente (che `e isomorfo al gruppo ciclico dell’altro genera-tore): si trovano quindi anche hσmτn⁰, τni e hσm, σm⁰τni (tori storti). Farsi uno schema del reticolo dei gruppi fondamentali e dei gruppi di Galois coinvolti.

5.3.4. Klein. L’otre di Klein `e quoziente del piano modulo le traslazioni generate da e2 (sia τ che genera un sottogruppo normale) e le traslazioni di e<sub>1</sub> seguite dalla riflessione rispetto ad e<sub>2</sub> (sia σ, che genera un sottogruppo non normale); la relazione τ στ = σ mostra che il gruppo di Galois `e isomorfo al gruppo fondamentale. Il rivestimento universale `e quindi il piano, e quello abeliano universale `e il quoziente del piano modulo il sottogruppo generato da τ2 (derivato), e si vede essere un cilindro infinito.

I rivestimenti infiniti sono cilindri o nastri di Moebius a seconda che la potenza coinvolta di σ sia pari o dispari, e sono normali nel primo caso, non nel secondo a meno che non vi siano τ o τ²nel sottogruppo. I rivestimenti finiti sono tori (normali) oppure otri di Klein (non normali, a meno che che non vi siano τ o τ² nel sottogruppo) a seconda che sia pari o dispari la potenza coinvolta di σ.

Pi`u precisamente, per trovare tutti i sottogruppi del gruppo di Galois, usiamo che hτ i `e sot-togruppo normale, e il quoziente isomorfo a hσi; quindi ogni sotsot-togruppo H `e generato da τn e σmτn⁰

con n⁰ < n se nm 6= 0. Troviamo cos`i i gruppi ciclici hτni (sempre normali), hσmi (normali solo per m pari, altrimenti il normalizzante `e hσi), e hσmτni (mai normali se mn 6= 0, con normalizzanti hτ, σ2i per m pari, hστni per n dispari).

Tra i sottogruppi non ciclici troviamo quelli del tipo hτn, σmi che sono normali sse m `e pari oppure n = 1, 2 (altrimenti il normalizzante `e hσ, τn/2i o hσ, τni asc n sia pari o dispari), e quelli del tipo hτn, σmτn⁰i che sono normali solo per n = 1, 2 (altrimenti hanno normalizzante dato da hτ, σ2i per m pari, hσ, στ^n/2i o hσ, στni asc n sia pari o dispari per m dispari).

Con queste informazioni dovrebbe essere possibile fare uno schema del reticolo dei gruppi fonda-mentali e dei gruppi di Galois coinvolti.

5.3.5. Piano proiettivo reale. Il piano proiettivo reale ha come rivestimento universale la sfera tridimensionale (di cui `e quoziente modulo antipodia).

5.3.6. Superficie orientabili di genere g > 1. In questo caso il rivestimento universale `e sempre il piano, con una “tassellazione” (iperbolica) fatta con poligon aventi 4g lati.

5.4. Applicazione ai complessi cellulari.

5.4.1. Rivestimenti di complessi cellulari sono complessi celllulari.

5.4.2. Se Y → X `e rivestimento, allora X1→ Y1`e rivestimento (vero per ogni scheletro?). 5.4.3. Una mappa di rivestimenti `e un isomorfismo sse lo `e la mappa indotta tra i loro 1-scheletri. 5.4.4. Un rivestimento `e normale sse lo `e per gli 1-scheletri.

5.4.5. La restrizione d`a un isomorfismo G(Y /X) ∼= G(Y¹/X¹).

5.4.6. Costruzioni di Cayley. Dato un gruppo G con generatori gα e relazioni r_β, possiamo costruire il complesso cellulare X_G avente π₁(X_G) ∼= G (una 0-cella, una 1-cella per ogni generatore, una 2-cella per ogni relazione). Possiamo anche costruire un complesso cellulare eX_G semplicemente connesso, dotato di una azione di G tale che eXG/G ∼= X, che quindi ne diventa il rivestimento universale: usiamo come 0-celle tutti gli elementi di G, 1-celle tra g e ggα per g ∈ G e gα tra i generatori, 2-celle per ogni ciclo dell’1-scheletro corrispondenti alle relazioni rβ; l’azione di G su eXG

`e per moltiplicazione a sinistra.

Esempi: esplicitare i casi dei gruppi ciclici finiti e loro prodotti (liberi e cartesiani).

5.4.7. Problema. Come procurarsi il rivestimento abeliano universale? Naturalmente basta quozientare il rivestimento universale con il sottogruppo derivato, ma si pu`o costruire direttamente usando come 0 celle gli elementi di Gab= G/G⁰, e poi procedere come per il rivestimento universale (1-celle per ogni generatore, 2-celle per ogni relazione).

5.4.8. Somme puntate di spazi. Dati due spazi di cui si conoscono i rivestimenti universali, come costruire il rivestimento universale della somma puntata dei due?

5.5. Applicazione ai grafi.

5.5.1. Rivestimenti di grafi sono grafi, rivestimenti universali sono alberi (infiniti).

5.5.2. Rivestimenti universali della somma puntata di n circonferenze `e un albero omogeneo con 2n lati per ogni vertice.

Il rivestimento universale abeliano `e il reticolato di Zⁿ:

Nel caso di due circonferenze possiamo esplicitare alcuni rivestimenti finiti (`e un buon esercizio capire quali sono normali, quali abeliani, quali sono i gruppi fondamentali in quanto sottogruppi della base, quali sono i gruppi di automorfismi sulla base): con due fogli ve ne sono 3,

con tre fogli ve ne sono 5,

5.5.3. _Problema. Dato un grafo Γ, T ⊆ Γ un albero massimale, e considerato l’albero rivestimento universale di Γ/T , come costruire il rivestimento universale di Γ?

5.5.4. Se Y → X `e rivestimento di grafi con n fogli, allora abbiamo che χ(Y ) = nχ(X) e c(Y ) = n(c(X) − 1) + 1.

5.5.5. Applicazioni ai gruppi. Sottogruppi di gruppi liberi sono liberi, e se G ha k generatori e H indice n, allora H ha n(k − 1) + 1 generatori (di solito molti pi`u di G, e tanti di pi`u quanto pi`u piccolo il sottogruppo!).