Applicazione criterio SAFE al Motore Asincrono

Determinata dalla simulazione FEM, in 𝑀𝑎𝑥𝑤𝑒𝑙𝑙, la frequenza della forzante e vo- lendo utilizzare un approccio analitico per capire se i carichi agenti sono, in prima approssimazione, tali da generare una composizione costruttiva con la forma modale, è necessario studiare lo sviluppo in serie di Fourier della singola forzante. Tale svi- luppo avrà un’espressione analoga per tutti i denti statorici, in quanto tutti i denti sono uguali tra loro e l’interazione con il campo magnetico si ripeterà su ogni dente con le stesse modalità.

Gli effetti delle due forzanti, ad alta e bassa frequenza, sono presi in considerazione all’interno del modello sfruttando la linearità del sistema ed il principio di sovrappo- sizione degli effetti. L’unica differenza, fissata la tipologia di carico in relazione alla frequenza fondamentale, tra una sollecitazione e l’altra consiste nello sfasamento che la forza sul dente i-esimo ha rispetto alle forze sugli altri denti.

Di seguito verranno esplicitati alcuni passaggi del modello analitico, adottati in [6] per le ruote palettate, ed estesi ai motori elettrici.

Per sfruttare l’analogia con le formule adottate per le turbomacchine, si decide di determinare le forzanti in funzione della frequenza di rotazione 𝛺, per le quali è valida la relazione (1.7). Le forzanti, quindi possono essere scritte a partire dalla (2.11a e 2.11b) nella seguente maniera:

𝑓 = 2𝑓 (1 − 𝑠) = 2𝑝𝛺 (3.1)

𝑓 =𝑓 (1 − 𝑠) ∙ 𝑁

47 Data la natura ciclica del carico, lo sviluppo in serie di Fourier della forza agente sull’ i-esimo dente assume, per la forzante a bassa (3.3) e ad alta frequenza (3.4), la forma:

𝑓_{_} = 𝐹_{_} + 𝐹 _{_} 𝑐𝑜𝑠(2𝑛𝑝(𝛺𝑡 + 𝑖∆𝜗) + 𝜑 _{_} ) (3.3)

𝑓_{_} = 𝐹_{_} + 𝐹 _{_} 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑁 (𝛺𝑡 + 𝑖∆𝜗) + 𝜑 _{_} ) (3.4)

dove 𝑛 è il numero d’ordine dell’armonica in esame mentre 𝐹 e 𝜑 sono rispettiva- mente l’ampiezza e la fase dell’n-esima armonica dello sviluppo in serie, in genere diversi per la forzante ad alta e a bassa frequenza.

La risposta oscillatoria del dente statorico sarà esprimibile come sovrapposizione mo- dale, per cui lo spostamento 𝑥 dell’i-esimo dente sarà del tipo:

𝑥 = 𝑋 + 𝑋 𝑐𝑜𝑠(𝜔 𝑡 + 𝜑 ) 𝑐𝑜𝑠 (𝑑 ∆𝜗𝑖 + 𝜑 ) (3.5)

dove 𝑋 , 𝜔 e 𝜑 rappresentano rispettivamente l’ampiezza, la frequenza e lo sfasamento temporale del modo proprio m-esimo, mentre con 𝜑 e 𝑑 si sono in- dicati rispettivamente lo sfasamento angolare e il numero di diametri nodali.

Il diametro nodale è chiaramente un concetto specifico di questa trattazione e rap- presenta il luogo dei punti disposti lungo un diametro dello statore soggetti a sposta- mento radiale nullo in riferimento al modo proprio in esame.

Il numero di diametri nodali è un numero naturale positivo soggetto a una limitazione superiore data da:

𝑑 _ = 𝑠𝑒 𝑁 è 𝑝𝑎𝑟𝑖 (3.6)

𝑑 _ = 𝑠𝑒 𝑁 è 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑎𝑟𝑖 (3.7)

48 Le espressioni 3.6 e 3.7 possono essere racchiuse in un’unica relazione usando la fun- zione ‘’floor’’ (indicata dalle parentesi ⌊𝑥⌋) che fornisce come risultato un numero intero; questa funzione approssima l’argomento 𝑥 all’intero minore, qualora quest’ultimo non sia un numero intero, mentre lo lascia invariato qualora lo sia. Le due relazioni vengono quindi rispettate dalla 3.9.

𝑑 _{_} = 𝑁

2 (3.9)

Nonostante le simulazioni FEM forniscano in output le forzanti applicate ai singoli denti, essendo quest’ultimo appartenente ad un determinato settore angolare, la trattazione presente non fa riferimento ai denti statorici, ma ai settori angolari che, ripetuti lungo una circonferenza per un numero di volte pari al numero di denti sta- torici 𝑁 generano la geometria dello statore (Figura 39).

Figura 39. Settore geometrico di ripetizione

In tal modo vengono trascurati tutti i modi propri (e le relative frequenze) legati alle deformazioni dei singoli denti o non coerenti con il concetto di diametro nodale. Abusando quindi del termine ‘’dente statorico’’, in questa trattazione si farà riferi- mento quindi al settore angolare che contiene un singolo dente, come mostrato in Figura 39.

Derivando rispetto al tempo la relazione 3.5, è possibile ricavare un’espressione della velocità di vibrazione del singolo modo proprio e, sovrapponendo la velocità di vibra- zione così ottenute per tutti i modi propri in esame, ottenere l’espressione della ve- locità di vibrazione (𝑣 ) del dente i-esimo.

49 Il lavoro complessivamente immagazzinato nello statore, ottenibile come somma dei lavori compiuti dal carico sui denti, assume pertanto la seguente forma:

𝑑𝑊 = 𝑓 ∙ 𝑣 (3.10)

𝑊 = 𝑓 ∙ 𝑣 𝑑𝜏 (3.11)

𝑊 = 𝑊 (3.12)

Tali espressioni risultano valide indipendentemente dal tipo di forzante coinvolto, a patto di modificare di conseguenza l’espressione della forzante utilizzata.

Dall’espressione (3.12), è possibile notare che il termine costante 𝐹_ o 𝐹_ pro-

duce un lavoro fluttuante con media nulla, che quindi non si accumula nel tempo. Lo stesso vale per qualsiasi coppia di n-esima armonica ed m-esimo modo proprio aventi frequenza diverse. Inoltre, al fine di avere un contributo di lavoro positivo su tutti i denti (composizione costruttiva), è necessario che coincidano i termini di dipendenza angolare su tutti i denti.

Le seguenti relazioni esprimono, rispettivamente, la coincidenza delle frequenze e dei termini di dipendenza angolare per il carico a bassa frequenza:

2𝑛𝑝𝛺 = 𝜔 (3.13)

2𝑛𝑝∆𝜗𝑖 = 𝑑 ∆𝜗𝑖 + 𝑘(2𝜋) (3.14)

2𝑛𝑝∆𝜗𝑖 = −𝑑 ∆𝜗𝑖 + 𝑘(2𝜋) (3.15)

e per il carico ad alta frequenza:

50

𝑛𝑁 ∆𝜗𝑖 = 𝑑 ∆𝜗𝑖 + 𝑘(2𝜋) (3.17)

𝑛𝑁 ∆𝜗𝑖 = −𝑑 ∆𝜗𝑖 + 𝑘(2𝜋) (3.18)

Le condizioni sulle frequenze (3.13 e 3.16) corrispondono esattamente al criterio adottato per costruire il diagramma di Campbell. L’approccio del diagramma SAFE infatti non si contrappone alle considerazioni tratte dal metodo di Campbell, ma af- fianca ad esse un’ulteriore condizione riguardante il segno del lavoro introdotto nel sistema dalle forzanti nei vari punti.

Per quanto riguarda le ulteriori condizioni 3.14, 3.15, 3.17 e 3.18 è da notare che la dipendenza dall’indice di dente 𝑖 è solo fittizia, in quanto se l’espressione viene veri- ficata per un determinato valore 𝑖 , risulta verificata per qualunque altro indice 𝑖 (ba- sterà moltiplicare per 𝑖 l’intero 𝑘 che rendeva vera l’espressione per quel determi- nato valore di 𝑖 ).

Alla luce di queste considerazioni e ricordando che ∆𝜗 = 2𝜋 𝑁⁄ è possibile scrivere la seconda delle condizioni che determinano la composizione costruttiva di forzante a bassa frequenza e modo proprio nella forma:

2𝑛𝑝 ± 𝑑

𝑁 = 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 (𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜, 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑜 𝑛𝑢𝑙𝑙𝑜) (3.19)

Mentre per la forzante ad alta frequenza, la stessa condizione consiste in: 𝑛𝑁 ± 𝑑

𝑁 = 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 (𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜, 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑜 𝑛𝑢𝑙𝑙𝑜) (3.20)

Provando a manipolare le relazioni 3.19 e 3.20 e sfruttando le considerazioni effet- tuate in [6], è possibile ricondursi ad una relazione in cui, fissati i parametri costruttivi del sistema, viene calcolato il numero di diametri nodali che il modo proprio alla fre- quenza propria considerata (3.12 e 3.16) deve avere per generare una risonanza co- struttiva.

51 Per la forzante a bassa frequenza questa relazione è esprimibile come:

𝑑 = |2𝑛𝑝 − 𝑁 ⌊(2𝑛𝑝 + ⌊𝑁 ⁄ ⌋ 𝑁2 ⁄ )⌋| (3.21) Per la forzante ad alta frequenza, la stessa relazione viene scritta come:

𝑑 = |𝑛𝑁 − 𝑁 ⌊(𝑛𝑁 + ⌊𝑁 ⁄ ⌋) 𝑁2 ⁄ ⌋| (3.22)

3.2 Applicazione criterio SAFE al Motore Sincrono a Ri-