Applicazione criterio SAFE
3.3 Formulazione Diagramma SAFE
Sfruttando le equazioni 3.21 e 3.22, è possibile costruire una mappa che permette di sostituire alle relazioni del paragrafo precedente i parametri di input al variare del numero di armonica, in modo da rendere più diretto il confronto con il numero di diametri nodali dei modi propri analizzati.
Considerando contemporaneamente le condizioni riguardante la coincidenza di forma e le condizioni sulla coincidenza della frequenza (nel caso in esame le condi- zioni sono due perché si distinguono forzanti ad alta e a bassa frequenza), è possibile tracciare il diagramma SAFE.
Su questo grafico si riporta in ascissa il numero di diametri nodali, mentre in ordinata si indicano i valori di frequenza; dopodiché si collocano con dei marker il numero di diametri nodali in base alla frequenza propria dello statore (viene individuato quindi il modo proprio) ottenuti dall’analisi modale al FEM del sistema. Viene poi tracciata sul grafico una retta di pendenza pari alla velocità di rotazione del motore seguendo uno schema di riflessioni analogo al caso in Figura 40.
Figura 40. Posizionamento dell’armonica sul diagramma SAFE
Al variare del numero di armonica, il diametro nodale di accoppiamento corrispon- dente è (oltre ad essere definito dalla formula analitica) individuabile contando un numero di passi pari al numero d’ordine dell’armonica moltiplicato per il doppio del numero di paia polari (2𝑛𝑝), nel caso della forzante a bassa frequenza, e per il numero di barre rotoriche (𝑛𝑁 ), nel caso della forzante ad alta frequenza.
53 Se si immagina di contare il numero di passi muovendosi su una retta di pendenza pari alla velocità di rotazione 𝛺 del motore, si trova un valore in ascissa pari alla fre- quenza dell’armonica in esame, anch’esso determinato già dalla formula analitica del SAFE.
Una volta ottenuto il diagramma SAFE, è possibile determinare le condizioni di riso- nanza individuando sul grafico tutti i casi in cui un punto relativo a un modo proprio coincide con un punto relativo a un’armonica. Si parla di modo proprio, e non di fre- quenza propria come avverrebbe nel diagramma di Campbell, perché questo viene tenuto conto grazie all’informazione legata proprio al numero di diametri nodali. Il margine di sicurezza tra una determinata armonica e un modo proprio può essere valutato analizzando la distanza di frequenza tra i due punti corrispondenti (distanza verticale), mentre se i due punti risultano avere medesima ordinata (quindi stessa frequenza) ma ascissa diversa, significa che la combinazione tra il modo proprio e l’armonica in questione sarà di tipo distruttivo o parzialmente costruttivo, e non rap- presenta un punto interessante nell’ottica SAFE.
L’analisi condotta viene anch’essa implementata in 𝑀𝑎𝑡𝑙𝑎𝑏®, in modo da ottenere il
diagramma SAFE corrispondente. In questo modo, teoricamente, è possibile scegliere rapidamente la velocità di rotazione e il numero di barre rotoriche e il numero di paia polari che determinano una composizione costruttiva tra il modo proprio che si in- tende studiare e l’armonica che si sceglie per la sollecitazione.
In Figura 41 e 42 si riporta un esempio di diagramma SAFE tracciato per un motore avente 𝑁 = 48, 𝑝 = 2 per due diverse combinazioni di 𝑁 e 𝛺: in Figura 41 𝛺 = 1500 𝑟𝑝𝑚 e 𝑁 = 40 nella quale si distinguono, come di consueto, il diagramma per la forzante a bassa frequenza (Figura 41.a) e ad alta frequenza (Figura 41.b); in Figura 42 𝛺 = 1800 𝑟𝑝𝑚 e 𝑁 = 42 distinguendo il diagramma a bassa frequenza (Figura 42.a) e quello ad alta frequenza (Figura 42.b).
Si vuole far notare come nei diagrammi visualizzati fino ad adesso, si è scelto di indagare fino alla ventesima armonica, rendendo questo approccio piuttosto cautelativo, dato che difficilmente una qualsiasi forzante sarà tale da avere così tante armoniche con contributo rilevante.
I marker di color rosso indicano i modi propri di interesse per la tipologia di motore elettrico usato nell’esempio, determinati al FEM.
54 I marker di color nero indicano, al variare dell’armonica, la frequenza propria e il numero di diametri nodali necessari ottenuti dalle formule analitiche del SAFE.
41.a 41.b
Figura 41. Diagramma SAFE per forzante a bassa e ad alta frequenza per 𝛺 = 1500 𝑟𝑝𝑚 e 𝑁 = 40
42.a 42.b
Figura 42. Diagramma SAFE per forzante a bassa e ad alta frequenza per 𝛺 = 1800 𝑟𝑝𝑚 e 𝑁 = 42
55 Alcune prime considerazioni sui diagrammi tracciati mostrano come in genere gli sta- tori dei motori elettrici possiedono frequenze proprie il cui valore differisce l’una dall’altra dell’ordine di 1 𝑘𝐻𝑧 con numero di diametri nodali sempre crescente. Per questo il diagramma SAFE così come viene utilizzato per le ruote palettate, risulta essere utile solo in parte.
In fase di progettazione, infatti, l’utilizzo del criterio potrebbe essere utilizzato per diversi scopi che sostanzialmente si possono sintetizzare in:
Verifica della condizione di risonanza costruttiva una volta fissata la geometria statorica e gli altri parametri di input del criterio, compreso la velocità di rota- zione, sfruttando i diagrammi appena esposti;
Determinazione della velocità di rotazione e numero di armonica della forzante (ad alta o a bassa frequenza) in grado di generare una condizione di risonanza costruttiva, fissato il modo proprio da analizzare.
I diagrammi visti in Figura 41 e 42 sono gli stessi utilizzati per le turbomacchine ed applicati ai motori elettrici, i quali forniscono i risultati visti una volta fissata la velo- cità di rotazione.
Per fornire una migliore comprensione e un più ampio range di velocità di rotazione di indagazione, si è cercato di ottenere due diagrammi che non fanno altro che inver- tire le relazioni 3.13 e 3.21 per la forzante a bassa frequenza, 3.16 e 3.22 per la for- zante ad alta frequenza, fissato il modo proprio da analizzare (𝜔 e 𝑑 ). Si ottiene in output il numero di armonica 𝑛 della forzante per la quale viene rispettata l’equa- zione 3.21 e 3.22 ed infine fornire la frequenza di rotazione 𝛺 invertendo la relazione 3.13 e 3.16.
Utilizzando, quindi, gli stessi dati dell’esempio precedente e implementando il nuovo diagramma sul codice di calcolo 𝑀𝑎𝑡𝑙𝑎𝑏® è possibile ottenere i risultati mostrati in
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Figura 43. Diagramma SAFE per indagazione su match del primo modo proprio con forzante ad alta e a bassa frequenza
I quattro grafici mostrati in Figura 43 distinguono i casi di forzante a bassa frequenza (grafici superiori) e forzante ad alta frequenza (grafici inferiori). L’apprendimento de- gli stessi viene fatto a partire dal diagramma di sinistra, nel quale sulle ascisse si indi- cano il numero di armonica 𝑛 mentre sulle ordinate il numero di diametri nodali 𝑑 . La retta orizzontale rossa mostra il numero di diametri nodali del modo studiato, mentre i marker blu mostrano il numero di diametri nodali ottenuti dalla formula 3.21 al variare del numero di armonica fino alla ventesima.
Le stesse informazioni vengono plottate sul diagramma in basso a sinistra in cui i dia- metri nodali sono calcolati in base alla formula 3.22 (forzante ad alta frequenza). Qualora la retta passi per i marker indicati, si avrà il primo match riguardante la forma modale quindi, nel grafico a fianco, nota l’armonica da quello precedente, verrà de- terminata la velocità di rotazione affinché si abbia il match tra le frequenze nel ri- spetto delle relazioni 3.13 (diagramma in alto a destra) e 3.16 (diagramma in basso a destra).
Esaminando la Figura 43, non esiste alcuna armonica sia della forzante a bassa che ad alta frequenza in grado di ‘’generare’’ due diametri nodali e di conseguenza non esi- ste nessuna velocità di rotazione per la quale venga rispettato il criterio di Campbell. Le formule del SAFE, quindi, non prevedono nessuna condizione di risonanza costrut- tiva qualora si esamini il primo modo proprio.
57 Analizzando la disposizione dei marker nei diagrammi di sinistra è visibile come, fis- sati i parametri costruttivi, la distanza verticale tra un punto e il successivo è di 4 per la forzante a bassa frequenza mentre è di 8 per quella ad alta frequenza; quindi il modo proprio in grado di essere eccitato sarà il terzo in cui 𝑑 = 4, 𝜔 = 2502 𝐻𝑧 (Figura 44) e il quarto, in cui 𝑑 = 0, 𝜔 = 3202 𝐻𝑧 (Figura 45).
Figura 44. Diagramma SAFE per indagazione su match del terzo modo proprio con forzante ad alta e a bassa frequenza
La condizione di risonanza costruttiva per il terzo modo proprio, secondo il criterio SAFE (Figura 44), viene eccitata dalla forzante a bassa frequenza secondo le seguenti combinazioni:
𝛺 = 625.5 ∙ 60 = 37530 𝑟𝑝𝑚, 𝑓 = 1251 𝐻𝑧, prima armonica; 𝛺 = 56.9 ∙ 60 = 3414 𝑟𝑝𝑚, 𝑓 = 113,7 𝐻𝑧, undicesima armonica; 𝛺 = 48.1 ∙ 60 = 2887 𝑟𝑝𝑚, 𝑓 = 96.2 𝐻𝑧, tredicesima armonica.
Si intuisce facilmente come i parametri di funzionamento esplicitati sono molto di- stanti dai dati di targa di motori di questa tipologia (i dati dell’esempio fanno riferi- mento ad un motore di taglia medio alta, che difficilmente viene fatto girare alle ve- locità mostrate); senza considerare che con molta probabilità il contenuto dell’undi- cesima o tredicesima armonica possa essere poco rilevante.
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Figura 45. Diagramma SAFE per indagazione su match del quarto modo proprio con forzante ad alta e a bassa frequenza
Esaminando il quarto modo proprio, in Figura 45 viene mostrato come il match si abbia per la forzante sia a bassa frequenza che ad alta frequenza. La condizione di risonanza costruttiva per il modo proprio in esame, secondo il criterio SAFE, viene eccitata dalla forzante a bassa frequenza alla seguente condizione:
𝛺 = 66.7 ∙ 60 = 4003 𝑟𝑝𝑚, 𝑓 = 133.4 𝐻𝑧, dodicesima armonica.
Mentre, secondo la forzante ad alta frequenza, la condizione di risonanza costruttiva si avrà per:
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